九年级数学复习分式、一元二次方程、圆、图形的全等、样本与总体等各章内容华东师大版知识精讲.doc

亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 九年级九年级数学数学复习分式 一元二次方程 圆 图形的全等 样本与复习分式 一元二次方程 圆 图形的全等 样本与 总体等各章内容总体等各章内容华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 复习分式 一元二次方程 圆 图形的全等 样本与总体等各章内容 教学过程 例 1 计算 1 1313 2 5 2 3 3222 解 解 原式 1 1 9 12 5 4 9 2 8 9 144 25 4 9 532 75 2 xy x xy y yx 2 22 2 解 解 原式 xy x xy xy y xy 22 x xy y xy xy xy xy 22 22 3 x x x x xx xx 1 3 46 3 2 2 解 解 原式 x xxx x x xx xx 134 3 3 6 2 2 xxxx x x x x xx x x x x x x 22 712 3 3 32 62 32 6 3 例 2 解方程 1 x xxx 2 1 2 2 1 1 0 解 解 x xxxxx 2211210 xxxxx 222 222320 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 540 4 5 x x 经检验 是原方程的解x 4 5 原方程的解是 x 4 5 2 3724 2 x 解 解 x 78 2 x x 72 2 72 2 xx 12 72 272 2 3 xx 2 420 解 解 xx 2 42 xx 2 446 x x x 26 26 26 2 xx 12 2626 例 3 已知关于 x 的方程有实数根 求 m 的取值范围 mxmxm 2 2 31910 解 解 m 0 时 方程为210 1 2 xx m 0 时 若方程有实根 则 则 0 2 314910 2 mmm 4 9613640 24440 1 5 22 mmmm mm m 时 方程有实根 m 1 5 例 4 已知关于 x 的方程 和 有整数mxx 2 440 xmxmm 22 44450 根 求 整数 m 的值 解 解 方程 有整数根 方程 有实根 1 2 41601 mm 同理 方程 的判别式大于等于零 即 2 22 44 4450 mmm 161616200 5 4 22 mmmm 5 4 1m 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc m 是整数 m 0 1 1 m 0 时 方程 是无整数根 m 0 舍去x 2 50 m 1 时 方程 为 有 xx 2 440 xx 12 2 方程 为xxxx 2 12 45015 有 舍去mxxm 14401 2 时 方程 为无实根 m 1 例 5 如图 AC BC C 90 A的平分线 AD 交 BC 于 D 过 B 作 BE AD 交 AD 的延长线于 E 求证 AD 2BE 证明 证明 延长 AC BE 到 M 点 BE AE C 90 M 3 1 M 90 3 1 在 ACD 和 BCM 中 13 ACCB ACBBCM ACD BCM BM AD 在 AEM 和 AEB 中 12 AEAE AEMAEB AEM AEB BE EM AD BM 2BE 例 6 如图 在 O 的直径 AB 的延长线上取一点 P 自 P 引 PC 切 O 于 C 已知 PC 的 长为 O 的半径的倍 PB 3 求 图中阴影部分的面积 3 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 解 解 连结 OC PC 是切线 PCO 90 PCOC 3 tan 13 PC OC 1 60 cos 即1 1 2 1 2 OC OP OC OBPB OC OC OC 3 1 2 3 SOCPC OCP 1 2 1 2 33 3 9 2 3 SOC OCB扇形 60 360 3 2 2 SSS OCPOCB阴影 扇形 9 2 3 3 2 例 7 如图 AB 是 O 的直径 BC 是 O 的切线 1 若 CD 1 求 O 的半径 C 3 2 取 BE 中点 F 连 DF 判断 DF 和 O 的位置关系 解 解 1 设半径为 R 则 在 中 有RtBCOBCOBOC 222 31 321 1 222 22 RR RRR R O 的半径为 1 2 连结 BD 则 ADB 90 EDB 90 F 为 EB 中点 DF FB DO OB OF OF ODF OBF ODF 90 DF 切 O 于 D 例 8 如图 AB 是 O 的直径 点 P 在 BA 的延长线上 弦 CD AB 垂足为 E POC PCE 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 1 求证 PC 是 O 的切线 2 若 OE EA 1 2 PA 6 求 O的半径 3 求 sin PCA 的值 解 解 1 POC PCE POC OCE PCE OCE OCP 90 OC 是半径 PC 是 O 切线 2 设 OE x EA 2x 则OA 3x OCxP OE OC 31 1 3 sinsin 3 36 1 3 1 x x x OA 3 即半径为 3 3 3 OCA 90 而 OCA OAC 3 OAC 90 2 OAC 90 3 2 AE 2 OE 1 OC 3 CEOCOE 22 2 2 ACCEAE AE AC 22 842 3 32 2 2 3 3 3 sinsin 例 9 1 如图甲 OA OB 是 O 的两条半径 且 OA OB 点 C 是 OB 延长线上任 意一点 过点 C 作 CD 切 O 于点 D 连接 AD 交 OC 于 E 求证 CD CE 2 若将图甲中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于 F 交 O 于 B 其他条 件不变 如图乙 那么上述结论 CD CE 还成立吗 为什么 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 3 若将图甲中的半径 OB 所在直线向上平行移动到 O 外的 CF 点 E 是 DA 的延 长线与 CF 的交点 其他条件不变 如图丙 那么上述结论 CD CE 还成立吗 为什么 证明 证明 1 连接 OD 则 OD CD CDE ODA 90 在 Rt AOE 中 AEO A 90 在 O 中 OA OD A ODA CDE AEO 又 AEO CED CDE CED CD CE 2 CE CD 仍然成立 原来的半径 OB 所在直线向上平行移动 CF AO 于 F 在 Rt AFE 中 A AEF 90 连接 OD 有 ODA CDE 90 且 OA OD A ODA AEF CDE 又 AEF CED CED CDE CD CE 3 CE CD 仍然成立 原来的半径 OB 所在直线向上平行移动 AO CF 延长 OA 交 CF 于 G 在 Rt AEG 中 AEG GAE 90 连接 OD 有 CDA ODA 90 且OA OD ADO OAD GAE CDE CED CD CE 例 10 如图 A 和 B 是外离两圆 A 的半径为 2 B 的半径为 1 AB 4 P 为连结 两圆圆心的线段 AB 上一点 PC 切 A 于点 C PD 切 B 于点 D 1 若 PC PD 求 PB 的长 2 试问线段 AB 上是否存在一点 P 使 如果存在 则这样的 PPCPD 22 4 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 点有几个 并求出 PB 的值 如果不存在 说明理由 3 当点 P 在线段 AB 上运动到某处 使 PC PD 时 就有 APC PBD 请问 除上述情况外 当点 P 在线段 AB 上运动到何处 说明 PB 的长为多少 或 PC PD 具有 何种关系 时 这两个三角形仍相似 并判断此时直线 CP 与 B 的位置关系 证明你的 结论 证明 证明 1 PC 切 A 于点 C PC AC PCPAAC 222 同理 PC PD PDPBBD 222 PAACPBBD 2222 设 PB x 把代入得PAx 4xx 2222 142 解得x 13 8 1 13 8 2 即 PB 的长为 PA 长为 13 8 19 8 2 2 假定存在一点 P 使 设 PB x 则 PCPD 22 4 PDx 22 1 PCx 222 42 代入条件得 4214 222 xx 化简得 解得2870 2 xx x 2 2 2 P 在两圆间的圆外部分 1212 PBx 即 满足条件的 P 点只有一个 这时 PB 2 2 2 3 当 PC PD 2 1 或时 也有 PCA PDBPB 4 3 这时 在 PCA 与 PDB 中 AC BD PC PD AP BP CDRt 2 1 或 PCA PDB BPD APC BPE E在 CP 的延长线上 B 点在 DPE 的角平分线上 B 到 PD 与 PE 的距离相等 B 与 PD 相切 B 也与 CP 的延长线 PE 相切 例 11 如图 B 为线段 AD 上一点 ABC 和 BDE 都是等边三角形 连结 CE 并延长 交 AD 的延长线于点 F ABC 的外接圆 O 交 CF 于点 M 1 求证 BE 是 O 的切线 2 求证 AC2 CM CF 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 3 若求 BD CMMF 2 7 7 12 7 7 4 若过点 D 作 DG BE 交 EF 于点 G 过 G 作 GH DE 交 DF 于点 H 则易知 DGH 是等边三角形 设等边 ABC BDE DGH 的面积分别为 S1 S2 S3 试探究 S1 S2 S3之间的等量关系 请直接写出其结论 证明 证明 1 连结 OB ABC 和 BDE 都是等边三角形 AB BC AC CAB ABC EBD 60 且 OBC 30 又 CBE 180606060 OBE 30 60 90 即 OB BE BE 是 O 的切线 2 方法一 连结 AM 则 AMC ABC CAF 60 又 ACM FCA ACM FCA AC CF CM AC ACCMCF 2 方法二 连结 BM 证 BCM FCB 3 由 可求得 AC 2ACCMCF 2 设FBxFBFAFMFCx x 由 得 2 12 7 7 2 7 解得xxFB 464 舍去 由 EB AC 得 BE AC FB FA BE 2 4 6 BEBD 4 3 4 3 4 SSS S S S S 2 2 13 1 2 2 3 或 例 12 已知 如图 1 所示 ACG 90 AC 2 点B 为 CG 边上的一个动点 连结 AB 将 ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到 ADB 过点 D 作 DF CG 于点 F 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 1 当 BC时 判断直线 FD 与以 AB 为直径的 O 的位置关系 并加以证明 2 3 3 2 如图 2 点 B 在 CG 上向点 C 运动 直线 FD 与以 AB 为直径的 O 交于 D H 两点 连结 AH 当 CAB BAD DAH时 求 BC 的长 解 解 1 判断 直线 FD 与以 AB 为直径的 O 相切 证明 如图 作以 AB 为直径的 O ADB 是将 ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到的 ADB ACB ADB ACB 90 O 为 AB 的中点 连结 OD 点 D 在 O 上 ODOBAB 1 2 在 Rt ACB 中 AC 2BC 2 3 3 tanCAB BC AC 3 3 CAB BAD 30 ABC ABD 60 BOD 是等边三角形 BOD 60 ABC BOD FC DO DF CG ODF BFD 90 OD FD FD 为 O 的切线 2 如图 延长 AD 交 CG 于点 E 同 1 中的方法 可证点 C 在 O 上 四边形 ADBC 是圆内接四边形 FBD 1 2 同理 FDB 2 3 1 2 3 FBD FDB 又 DFB 90 FBD CAD 45 ACE 90 EC AC 2 设 BC x 可知 BD BC x 又 EDB 90 EBxEBBCECxx 222 解得x 2 22 BC 2 22 模拟试题模拟试题 一 填空题 1 一个氧原子重量为克 20 个氧原子重量为 克 用科265710 25 学记数法表示 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 2 当 x 时 分式的值有意义 当 x 时 分式 21 13 x x 的值为 0 x xx 2 4 21 3 一个扇形的弧长是 20 面积是 240 则扇形的直径是 cm cm2 4 若方程有两个相等的实数根 则 m xmx 2 40 5 从 2 3 4 5 中任取两个数字组成一个能被 5 整除的两位数的概率是 6 已知相切两圆的圆心距为 18cm 其中一个圆的半径是 7cm 则另一个圆的半径 为 7 如图 1 OA OB OC 两两不相交 且它们的半径都是 1cm 则图中阴影部分 的面积之和为 图 1 二 解答题 1 已知 如图 2 AE AB AD AC AB AC B C 求证 BD CE 图 2 2 计算 1 23 602004 1 2 01 tan x xxx xx x 2 2 2 4 44 1 2 2 1 3 解方程 2190 2 x 35 210 2 xx 2 1 3 1 6 1 2 xxx 4 如图 3 一台机器的大轮 O1和 O2外切于点 C 且两轮都和板面相切于 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc A B 若 O1的半径为 3cm O2的半径为 1cm 求阴影部分的面积 图 3 5 已知关于 x 的方程的两根的平方和是 11 求 k 的值 xkxk 22 2120 6 如图 4 正方形 ABCD 中 E F 分别在 AD DC 上 且 EBF 45 BM EF 交 EF 于 M 求证 BA BM 图 4 7 如图 AB 是 O 的直径 点 P 在 AB 的延长线上 弦 CE 交 AB 于点 D 连结 OE AC 已知 POE 2 CAB P E 图 5 求证 CE AB 求证 PC 是 O 的切线 若 BD 2OD 且 PB 9 求 O 的半径及 tan P 的值 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc 试题答案试题答案 一 填空题 1 531410 24 2 1 3 2 3 48cm 4 4 5 1 4 6 11cm 或 25cm 7 1 2 2 cm 二 解答题 1 证明 AE AB AD AC BAE CAD 90 BAE DAE CAD DAE CAE DAB 在 CAE 和 BAD 中 CB CAAB CAEBAD CAE BAD BD CE 2 解 原式 23 23 23 31 1 1 2 23312 3 解 原式 xx xx x x x 22 2 1 2 2 1 2 x xx x x x x x x x x x 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 解 219 2 x 或213213xx xx 12 21 解 31050 2 xx 1043540 2 亿库教育网 http www eku cc 亿库教育网 http www eku cc x 1040 6 102 10 6 510 3 xx 12 510 3 510 3 解 21316 xx 22336 55 1 xx x x 经检验 为增根 舍去x 1 原方程无解 4 解 连结 过 O2作 O2M O1A 于 MO AO BO O 1212 则 MO2BA 为矩形 O AcmO Bcm 12 31 O MO AO Bcm O Ocm 112 12 2 314 cos MO O O M O O 12 1 12 2 4 1 2 AO OO O B 1212 60120 O MO M 21 60 tan 23 2 3 SO AO BO M O ABO梯形 12 1 2 1 2 312 34 3 122 扇形 S O A O AN 1 60 360 3 2 1 2 S O B O NB扇形 2 120 360 1 3 2