高三数学第一轮复习 函数及其表示课件 新人教B版.ppt

学案1函数及其表示 考点1 考点2 考点3 考点4 返回目录 返回目录 返回目录 考纲解读 返回目录 1 在高考试题中三种题型都可能出现 以选择 填空为主 属于低档题目 在解答题中偶尔有对函数建模能力的考查 2 对函数的概念 函数的记号 分段函数的求值以及求函数解析式等仍会重点考查 也有可能把定义一种新运算作为考查的目的 3 近几年对函数各种表示法的考查都涉及过 估计仍会保持这种考查方式 熟练应用三种表示方法解决函数的一些实际问题是高考的重中之重 考向预测 返回目录 1 函数的概念设集合a是一个的数集 对a中的数x 按照确定的法则f 都有唯一确定的数y与它对应 则这种对应关系叫做集合a上的一个函数 记作y f x x a 其中x叫做自变量 自变量取值的范围 数集a 叫做这个函数的 所有函数值构成的集合叫做这个函数的 2 函数关系的确定 1 因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定 所以确定一个函数就只需两个要素 和 值域 非空 任意 定义域 定义域 对应法则 返回目录 2 根据函数定义 我们要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系 只要检验 3 区间 1 闭区间 满足的全体实数x的集合 叫做闭区间 记作 2 开区间 满足的全体实数x的集合 叫做开区间 记作 自变量x在其定义域中的每一个值 是否都能确定唯一的函数值y 定义域和对应法则是否给出根据给出的对应法则 a x b a b a x b a b 返回目录 3 半开半闭区间 满足或的全体实数x的集合 都叫做半开半闭区间 分别记作或 4 映射 1 映射 设a b是两个 如果按照某种f 对a中的一个元素x 在b中有一个且仅有一个元素y与x对应 则称f是集合a到集合b的映射 记作f x 也可记作f a b x f x 2 给定一个集合a到集合b的映射 且a a b b 如果元素a和元素b对应 那么 我们把元素b叫做元素a的 元素a叫做元素b的 5 函数的表示函数的表示方法 和 a b a b a x b a x b 原象 非空集合 对应法则 任意 象 列表法图象法解析法 返回目录 考点1函数的概念 下列四组函数中 f x 与g x 是否为同一函数 为什么 1 f x lgx g x lgx2 2 f x x g x 3 f x g x logaax 4 f x lgx 2 g x lg 分析 判断两个函数是否为同一函数 关键是判断它们的对应法则 定义域和值域是否分别相同 如果有一个不同 它们便不是同一函数 返回目录 解析 1 f x 的定义域为 0 g x 的定义域为 0 0 定义域不同 故f x 与g x 不是同一函数 2 函数f x 的值域为 g x 的值域为 0 值域不同 故f x 与g x 不是同一函数 3 因为f x x x 0 g x x x r 定义域不同 故f x 与g x 不是同一函数 4 因为f x lgx 2 x 0 g x lg lgx 2 x 0 所以f x 与g x 的对应法则 定义域和值域都分别相同 故它们是同一函数 1 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时 这两个函数才是同一函数 换言之就是 定义域不同 两个函数也就不同 对应法则不同 两个函数也是不同的 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 它们也不一定是同一函数 因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则 2 函数的对应法则可以化简 例如题型一 3 4 中的函数 再比如函数f x x 和g x 从表面上看它们的对应法则不同 但实质上是相同的 3 当一个函数的对应法则和定义域给定后 它的值域便随之确定 所以 函数的三要素可简化为定义域 对应法则两要素 返回目录 返回目录 判断下列各组函数是否为同一函数 1 f x x2 2x 1 g t t2 2t 1 2 f x g x x 1 3 返回目录 解析 1 两函数的定义域 值域 对应法则均相同 所以它们是同一函数 2 y x 1 但x 1 而y x 1中x r 所以它们不是同一函数 3 函数f x 的定义域为 x x 0 而函数g x 的定义域为 x x 1或x 0 它们的定义域不同 所以不是同一函数 返回目录 考点2映射的概念 下列对应是否为从a到b的映射 1 a r b r f x y 2 3 a x x 0 b r f x y y2 x 4 a 平面 内的矩形 b 平面 内的圆 f 作矩形的外接圆 返回目录 解析 1 当x 1时 y值不存在 所以不是映射 2 a b两集合分别用列举法表述为a 2 4 6 由对应法则f a b 是映射 3 不是映射 如a中元素1有两个象 1 4 是映射 分析 解此题需要明确以下两点 集合a的元素是什么 什么是a到b的映射 欲判断对应法则f a b是否是从a到b的映射 必须做两点工作 明确集合a b中的元素 根据对应法则判断a中的每个元素是否在b中能找到唯一确定的对应元素 返回目录 返回目录 设a 0 1 2 4 下列对应法则能构成a到b的映射的是 a f x x3 1b f x x 1 2c f x 2x 1d f x 2x c 由映射的定义知c满足题意 故应选c c 考点3求函数解析式 根据下列条件分别求出函数f x 的解析式 1 2 f x 2 x2 3x 1 3 f x 2 3x 4 已知二次函数f x 满足f 3x 1 9x2 6x 5 求f x 返回目录 分析 1 可用配凑法 2 可将x 2看作一个整体 根据函数的定义 寻找x2 3x 1与x 2的对应关系 3 因考虑到x与的倒数关系 可通过解方程组来求解析式 4 可用待定系数法求解析式 但此题也可采用多种方法 返回目录 解析 1 因又 2或 2 则f x x2 2 x 2 2 返回目录 2 令x 2 t 则x t 2 代入已知得f t t 2 2 3 t 2 1 t2 7t 11 所以f x x2 7x 11 x r 3 由已知f x 2f 3x 以代替 中的x 得f 2f x 由 解得f x x x 0 4 解法一 换元法 令3x 1 t 则x f t 9 6 5 t2 2t 1 2t 2 5 t2 4t 8 f x x2 4x 8 返回目录 解法二 配凑法 f 3x 1 9x2 6x 5 3x 1 2 12x 4 3x 1 2 3x 1 8 f x x2 4x 8 解法三 待定系数法 设f x ax2 bx c a 0 则f 3x 1 a 3x 1 2 b 3x 1 c 9ax2 6a 3b x a b c f 3x 1 9x2 6x 5 9ax2 6a 3b x a b c 9x2 6x 5 9a 9a 16a 3b 6b 4a b c 5 c 8 f x x2 4x 8 比较两端系数 得 返回目录 1 求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式 2 换元法求解析式时 要注意换元变量范围应保持一致 例如 已知f cosx cosx 求f x 可求得f x x 但此处应有 x 1 3 求解析式的几种常见方法 代入法即已知f x g x 求f g x 用代入法 只需将g x 替换f x 中的x即得 换元法已知f g x g x 求f x 用换元法 g x t 解得x g 1 t 然后代入f g x 中即得f t 从而求得f x 当f g x 的表达式较简单时 可用 配凑法 其实质是换元素 返回目录 待定系数法当函数f x 类型确定时 可用待定系数法 如 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 解析 因为已知f x 是一次函数 故可设f x ax b a 0 从而根据题意列出恒等式 确定a b的值 解 设f x ax b 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2a 2b 2ax ax b 5a 2x 17 所以a 2 b 7 所以f x 2x 7 方程组法方程组法求解析式的实质是用了对称的思想 一般来说 当自变量互为相反数 互为倒数或是函数具有奇偶性时 均可用此法 在解关于f x 的方程时 可作恰当的变量代换 列出f x 的方程组 求得f x 如 已知f x 满足f x 2f x x 求f x 的解析式 解 f x 2f x x 用 x替换x得f x 2f x x 联立 消去f x 即得f x x 返回目录 根据下列条件分别求出函数f x 的解析式 1 f 1 x 2 2 f x 为二次函数且f 0 3 f x 2 f x 4x 2 返回目录 1 令t 1 t 1 x t 1 2 则f t t 1 2 2 t 1 t2 1 即f x x2 1 x 1 2 设f x ax2 bx c a 0 f x 2 a x 2 2 b x 2 c 则f x 2 f x 4ax 4a 2b 4x 2 4a 4a 14a 2b 2 b 1 又f 0 3 c 3 f x x2 x 3 返回目录 解析 返回目录 考点4分段函数 分析 先求出f 0 再把f 0 的值作为自变量求出f f 0 返回目录 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的问题时 首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段 从而选相应的关系式 对于分段函数 注意处理好各段的端点 返回目录 返回目录 如图 oab是边长为2的正三角形 直线x t 0 t 2 截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f t 1 求函数y f t 的解析式 并指明它的定义域 2 求函数y f t 的值域 返回目录 1 当0 t 1时 所截图形是一个直角三角形 其面积f t t2 tan60 t2 当1 t 2时 所截图形是一个四边形 它的面积可由正三角形oab的面积减去一个直角三角形的面积来计算 即f t 2 2 t 2 t tan60 2 t 2 当t 2时 所截图形即 oab f t t2 0 t 1 2 t 2 1 t 2 此函数的定义域为 0 2 综上 f t 解析 返回目录 2 当0 t 1时 0 t2 当1 t 2时 2 t 2 故函数f t 的值域为 0 正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键 函数的本质是一种特殊对应关系 它的特殊性在于 1 它是非空数集到非空数集的对应 2 定义域中的每个元素只有一个函数值 3 定义域中的每个元素一定有函数值 确定一个函数需要三个要素 定义域 对应法则 值域 对应法则是规定元素对应关系的法则 它不一定能够用解析式表示 如列表法和图象法表示的函数 对于f x 可以理解为根据对应法则f 自变量x对应的函数值 也可以理解为根据对应法