高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10_3 二项式定理课件 理 新人教版

10 3二项式定理 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 二项式定理 知识梳理 k 1 2 二项式系数的性质 1 1 二项展开式形式上的特点 1 项数为 2 各项的次数都等于二项式的幂指数n 即a与b的指数的和为n 3 字母a按排列 从第一项开始 次数由n逐项减1直到零 字母b按排列 从第一项起 次数由零逐项增1直到n n 1 降幂 升幂 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 an kbk是二项展开式的第k项 2 二项展开式中 系数最大的项为中间一项或中间两项 3 a b n的展开式中某一项的二项式系数与a b无关 4 在 1 x 9的展开式中系数最大的项是第五 第六两项 5 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 则a7 a6 a1的值为128 考点自测 1 教材改编 x y n的二项展开式中 第m项的系数是 答案 解析 x y n展开式中第m项的系数为 2 2016 四川 设i为虚数单位 则 x i 6的展开式中含x4的项为A 15x4B 15x4C 20ix4D 20ix4 答案 解析 答案 解析 A 130B 135C 121D 139 式中含x2项的系数为 4 在的展开式中 只有第5项的二项式系数最大 则展开式中常数项是 答案 解析 7 题型分类深度剖析 题型一二项展开式 例1 1 2016 全国乙卷 2x 5的展开式中 x3的系数是 用数字填写答案 答案 解析 命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数 10 2 2015 课标全国 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为A 10B 20C 30D 60 答案 解析 方法一利用二项展开式的通项公式求解 x2 x y 5 x2 x y 5 方法二利用组合知识求解 例2 1 2015 课标全国 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32 则a 答案 解析 命题点2已知二项展开式某项的系数求参数 令x 1 得16 a 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令x 1 得0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 得16 a 1 2 a1 a3 a5 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1 a3 a5 8 a 1 所以8 a 1 32 解得a 3 3 2 答案 解析 求二项展开式中的特定项 一般是利用通项公式进行 化简通项公式后 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数为零 求有理项时 指数为整数等 解出项数k 1 代回通项公式即可 思维升华 跟踪训练1 1 x y x y 8的展开式中x2y7的系数为 用数字填写答案 20 答案 解析 2 x a 10的展开式中 x7的系数为15 则a 用数字填写答案 答案 解析 题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题 例2在 2x 3y 10的展开式中 求 1 二项式系数的和 2 各项系数的和 3 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和 4 奇数项系数和与偶数项系数和 5 x的奇次项系数和与x的偶次项系数和 解答 设 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各项系数的和为a0 a1 a10 奇数项系数和为a0 a2 a10 偶数项系数和为a1 a3 a5 a9 x的奇次项系数和为a1 a3 a5 a9 x的偶次项系数和为a0 a2 a4 a10 由于 是恒等式 故可用 赋值法 求出相关的系数和 2 令x y 1 各项系数和为 2 3 10 1 10 1 4 令x y 1 得到a0 a1 a2 a10 1 令x 1 y 1 或x 1 y 1 得a0 a1 a2 a3 a10 510 得2 a0 a2 a10 1 510 得2 a1 a3 a9 1 510 1 赋值法 普遍适用于恒等式 是一种重要的方法 对形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对形如 ax by n a b R 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 2 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 思维升华 跟踪训练2 1 2016 北京海淀区模拟 设m为正整数 x y 2m展开式的二项式系数的最大值为a x y 2m 1展开式的二项式系数的最大值为b 若13a 7b 则m等于A 5B 6C 7D 8 答案 解析 经检验符合题意 故选B 解答 当x 0时 左边 1 右边 a0 a0 1 题型三二项式定理的应用 例4 1 设a Z且0 a 13 若512012 a能被13整除 则a等于A 0B 1C 11D 12 答案 解析 2 1 028的近似值是 精确到小数点后三位 1 172 答案 解析 1 整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题 整除问题中要关注展开式的最后几项 而求近似值则应关注展开式的前几项 2 二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理 注意选择合适的形式 思维升华 A 1B 1C 87D 87 前10项均能被88整除 余数是1 答案 解析 2 已知2n 2 3n 5n a能被25整除 求正整数a的最小值 解答 原式 4 6n 5n a 4 5 1 n 5n a 显然正整数a的最小值为4 典例 1 2016 河北武邑中学期末 若展开式的各项系数绝对值之和为1024 则展开式中含x项的系数为 2 2016 河北邯郸一中调研 已知 x m 7 a0 a1x a2x2 a7x7的展开式中x4的系数是 35 则a1 a2 a7 二项展开式的系数与二项式系数 现场纠错系列15 错解展示 现场纠错 纠错心得 和二项展开式有关的问题 要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数 是系数和还是二项式系数的和 解析答案 1 5 2 27 1 返回 解析 故展开式中含x项的系数为 15 答案 1 15 2 1 令x 1 得0 1 a1 a2 a7 即a1 a2 a3 a7 1 令x 0 a0 m 7 m 1 a0 m 7 1 在 x m 7 a0 a1x a2x2 a7x7中 返回 课时作业 1 在x2 1 x 6的展开式中 含x4项的系数为A 30B 20C 15D 10 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2015 湖南 已知的展开式中含的项的系数为30 则a等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4x 2 x 6 x R 展开式中的常数项是A 20B 15C 15D 20 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12x 3kx 0恒成立 k 4 4 2015 湖北 已知 1 x n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等 则奇数项的二项式系数和为A 29B 210C 211D 212 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 若在 x 1 4 ax 1 的展开式中 x4的系数为15 则a的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x 1 4 ax 1 x4 4x3 6x2 4x 1 ax 1 x4的系数为4a 1 15 a 4 答案 解析 6 若 1 x 1 x 2 1 x n a0 a1 1 x a2 1 x 2 an 1 x n 则a0 a1 a2 a3 1 nan等于 答案 解析 在展开式中 令x 2 得3 32 33 3n a0 a1 a2 a3 1 nan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 若 x a 2 1 5的展开式中常数项为 1 则a的值为A 1B 9C 1或 9D 1或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 依题意 a2 10a 10 1 解得a2 10a 9 0 即a 1或a 9 8 2016 北京 在 1 2x 6的展开式中 x2的系数为 用数字作答 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 2016 天津 的展开式中x7的系数为 用数字作答 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 10 若将函数f x x5表示为f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中a0 a1 a2 a5为实数 则a3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 f x x5 1 x 1 5 11 1 x 8 1 y 4的展开式中x2y2的系数是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 168 解答 12 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 1 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 2 2 3 2 4 方法一 1 2x 7展开式中 a0 a2 a4 a6大于零 而a1 a3 a5 a7小于零 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 1093 1094 2187 方法二 a0 a1 a2 a7 即 1 2x 7展开式中各项的系数和 令x 1 a0 a1 a2 a7 37 2187 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 求证 1 2 22 25n 1 n N 能被31整除 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25n 1 32n 1 31 1 n 1