专题3：动态几何之定值问题探讨.doc

【2013年中考攻略】专题3：动态几何之定值问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQBC于点Q，PRBD于点R（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想【答案】解：（2）图2中结论PRPQ=仍成立。证明如下：连接BP，过C点作CKBD于点K。四边形ABCD为矩形，BCD=90。又CD=AB=3，BC=4，。SBCD=BCCD=BDCK，34=5CK，CK=。SBCE=BECK，SBEP=PRBE，SBCP=PQBC，且SBCE=SBEPSBCP，BECK=PRBEPQBC。又BE=BC，CK=PRPQ。CK=PRPQ。又CK=，PRPQ=。（3）图3中的结论是PRPQ=【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。【分析】（2）连接BP，过C点作CKBD于点K根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。（3）图3中的结论是PRPQ=125 。连接BP，SBPESBCP=SBEC，SBEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PRPQ=。例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x24x+3与x轴交于AB两点（点A在点B左边），与y轴交于点C（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx24kx+3k（k0）写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；是否存在实数k，使ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由【答案】解：（1）抛物线，二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，1）。（2）二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。存在实数k，使ABP为等边三角形，顶点P（2，k）A（1，0），B（3，0），AB=2要使ABP为等边三角形，必满足|k|=，k=。线段EF的长度不会发生变化。直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，kx24kx+3k=8k，k0，x24x+3=8。解得：x1=1，x2=5。EF=x2x1=6。线段EF的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a0时，抛物线的开口向上；a0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。（2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。 当ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的倍，由此确定k的值。联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过B作BQPH，垂足为Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB。又EF为折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，即。又四边形PEFG与四边形BEFC全等，。，当x=2时，S有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由AAS证明ABPQBP，从而由HL得出BCHBQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。（3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。例4：（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的O上，i）如图一，当A=45时，R=1，求BOC的度数和BC的长度； ii）如图二，当A为锐角时，求证sinA= ；（2）.若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当MAN=60，BC=2时，分别作BPAM，CPAN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由. 【答案】解：（1）i）A=45， BOC=90（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。又R=1，由勾股定理可知BC=。 ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。 可知ECBC（直径所对的圆周角为90）， 且E=A（同弧所对的圆周角相等）。 故sinA=sinA=。 （2）保持不变。理由如下：如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在RtAPC中，CK=AP=AK=PK。同理得：BK=AK=PK。CK=BK=AK=PK。点A、B、P、C都在K上。由（1）ii）sinA=可知sin60=。AP=（为定值）。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。【分析】（1）i）根据圆周角定理得出BOC=2A=90，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则E=A，CE=2R，利用sinA=sinE= ，得出即可。（2）首先证明点A、B、P、C都在K上，再利用sinA= ，得出AP= （定值）即可。例5：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，O)、B(2，0)、C(0，l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D(0，2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线相切； (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc，则 解得。抛物线对应二次函数的解析式 所以。 （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上， ，x22=4(y2+1)。又，。又y2l，ON=2y2。设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ，ON=2EF，即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，以ON为直径的圆与相切。（3）过点M作MHNP交NP于点H，则，又y1=kx1，y2=kx2，（y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一xl)2。又点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，即x24kx4=0，x2x1=4k，x2x1=4。MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2xl =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。延长NP交于点Q，过点M作MS交于点S，则MSNQ=y12y22= MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。例6：（2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想【答案】解：（1）作图如下： （2）在图2中， ，四边形EFGH的周长为。 在图3中，四边形EFGH的周长为。猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，。又FC=FC，RtFCERtFCM（ASA）。EF=MF，EC=MC。同理：NH=EH，NB=EB。MN=2BC=16。，。GM=GN。过点G作GKBC于K，则。四边形EFGH的周长为。矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明RtFCE和RtFCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GKBC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。例7：（2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；（1）EAF的大小是否发生变化？请说明理由.（2）ECF的周长是否发生变化？请说明理由.练习题：1. （2011湖南岳阳8分）如图，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD与ECF叠放在一起（1）操作：如图，将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）求证：BHGD=BF2（2）操作：如图，ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AGCE，交FE于点G，连接DG探究：FD+DG= 请予证明2. （2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d11；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，PAC的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值3. （2011湖南郴州10分）如图，RtABC中，A=30，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动作PMPQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F（1）求证：PQEPMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=，PEM的面积为，求y关于的函数关系式，当为何值时，有最大值，并将这个值求出来4. （2011辽宁营口14分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PEPD总成立(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明) (1) (2) 5. （2011贵州遵义12分）如图，梯形ABCD中，ADBC，BC20cm，AD10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EFBC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0t10）（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由6. （2011黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQBC于点Q，PRBD于点R。（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012湖北十堰3分）如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150；其中正确的结论是【 】A B C D 【答案】A。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。【分析】正ABC，AB=CB，ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。 连接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150。故结论正确。故结论错误。如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形。则。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选A。例2：（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范围为：0t4。（2）结论：AEF的面积S不变化。AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t，则CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 4（8t）8+（8t）4（8）。化简得：S=32为定值。所以AEF的面积S不变化，S=32。（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化简得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去。当t=秒时，四边形APQF是梯形。【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由勾股定理可求PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点D的坐标。点P到达终点所需时间为82=4秒，点Q到达终点所需时间为41=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0t4。（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以AEF的面积S不变化，S=32。（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。例3：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2试说明S1S2是常数；当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.【答案】解：（1）CGAP，CGD=PAG，则。GF=4，CD=DA=1，AF=x，GD=3x，AG=4x。，即。y关于x的函数关系式为。当y =3时，解得:x=2.5。（2），为常数。（3）延长PD交AC于点Q.正方形ABCD中，AC为对角线，CAD=45。PQAC，ADQ=45。GDP=ADQ=45。DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。，化简得：，解得：。0x2.5，。在RtDGP中，。【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。（3）延长PD交AC于点Q，然后判断DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在RtDGP中，解直角三角形可得出PD的长度。例4：（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。例5：（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AEBF于点G，且BE=1（1）求证：ABEBCF；（2）求出ABE和BCF重叠部分（即BEG）的面积；（3）现将ABE绕点A逆时针方向旋转到ABE（如图2），使点E落在CD边上的点E处，问ABE在旋转前后与BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABE=BCF=90，AB=BC。ABF+CBF=90。AEBF，ABF+BAE=90。BAE=CBF。在ABE和BCF中，ABE=BCF，AB=BC，BAE=CBF，ABEBCF（ASA）。 （2）解：正方形面积为3，AB=。在BGE与ABE中，GBE=BAE，EGB=EBA=90，BGEABE。又BE=1，AE2=AB2+BE2=3+1=4。练习题：1. （2011山东东营12分）如图所示，四边形OABC是矩形点A、C的坐标分别为()，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重含)，过点D作直线交折线OAB于点E。 (1) 记ODE的面积为S求S与b的函数关系式： (2) 当点E在线段OA上时，且tanDEO=。若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重叠部分妁面积；若改变请说明理由。2. （2011浙江舟山、嘉兴12分）已知直线（0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1） 直接写出1秒时C、Q两点的坐标； 若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求的值（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2）， 求CD的长； 设COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？ 三、其它定值问题：典型例题：例1：（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 y=2x。（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时。当QH与QM不重合时，QNQM，QGQH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，MQH=GQN。又QHM=QGN=90，QHMQGN。当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FCOA于点C，过点A作ARx轴于点R。AOD=BAE，AF=OF。OC=AC=。ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC。OF=。点F（，0）。设点B（x，），过点B作BKAR于点K，则AKBARF。，即。解得x1=6，x2=3（舍去）。点B（6，2）。BK=63=3，AK=62=4。AB=5。在ABE与OED中，BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB。ABE=DEO。BAE=EOD，ABEOED。设OE=x，则AE=x （），由ABEOED得，即。顶点为。如图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个当时，E点只有1个，当时，E点有2个。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。（2）如图1，过点Q作QGy轴于点G，QHx轴于点H，构造相似三角形QHM与QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED。在相似三角形ABE与OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。例2：（2012山东淄博4分）如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【 】(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个【答案】C。【考点】正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。【分析】如图，图中，ABC=ABD450DBE， 即ABC22.50。 根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，CDBC。 图中，由折叠的性质，ABC=ABF，ECFB， ABC=ABF=ADE=BDC。BC=DC。 又由正方形对折的性质和平行线的性质，知AD=BD， 根据直角三角形斜边上中线的性质，得DC=AB，即BC=AB。 满足它的一条直角边等于斜边的一半。 图中，由正方形对折的性质，它的一条直角边等于另一条直角边的一半，不可能再有一条直角边等于斜边的一半。 图中，由正方形折叠的性质和平行线的性质，知AB=CB，AB=2BD，ABE=CBE， BC=2BD。BCD=300。CBD=600。 ABECBECBD=1800。ABE =600。AEB =300。 AB=BE。满足它的一条直角边等于斜边的一半。 综上所述，这样的图形有2个。故选C。例3：（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。若直线lBD，如图1所示，试求的值；若l为满足条件的任意直线。如图2所示，中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。【答案】解：（1）二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1）， ，解得。二次函数的解析式为：。（2）证明：在中，令y=0，得，解得x1=3，x2=2。C（2，0），BC=5。令x=0，得y=-1，M（0，1），OM=1。又AM=BC，OA=AMOM=4。A（0，4）。设ADx轴，交抛物线于点D，如图1所示，则，解得x1=5，x2=6（位于第二象限，舍去）。D点坐标为（5，4）。AD=BC=5。又ADBC，四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。设直线BD解析式为：y=kx+b，B（3，0），D（5，4）， ，解得：。直线BD解析式为：。（3）在RtAOB中，又AD=BC=5，ABCD是菱形。若直线lBD，如图1所示，四边形ABCD是菱形，ACBD。AC直线l。BA=BC=5，BP=BQ=10。若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时中的结论依然成立，理由如下：ADBC，CDAB，PADDCQ。APCQ=ADCD=55=25。 。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且ADBC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。推出AC直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出。判定PADDCQ，得到APCQ=25，利用这个关系式对进行分式的化简求值，结论为 不变。例4：（2012四川成都12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 (a，b，c为常数，且a0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值，并写出探究过程【答案】解：（1）经过点（3，0），解得。直线解析式为。令x=0，得。C（0，）。抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（3，0），另一交点为B（5，0）。设抛物线解析式为y=a（x+3）（x5），抛物线经过C（0，），=a3（5），解得。抛物线解析式为y= （x+3）（x5），即。（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF，如答图1。（i）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG。又COA=EOF=900，AC=EF，CAOEFG（AAS）。EG=CO=，即yE=。，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）。E（2，），SACEF=。（ii）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，同理可求得E（），SACEF=。（3）要使ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）。B（5，0），C（0，），直线BC解析式为。xP=1，yP=3，即P（1，3）。令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3k，联立得x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3。y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）。根据勾股定理得：M1M2=，M1P=，M2P=。M1PM2P=M1PM2P=M1M2。=1为定值。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）把点A的坐标代入即可求出的值。由抛物线的对称轴和点A的坐标可得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。（2）分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。（3）设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2两点坐标的关