动能定理3.ppt

第十章动能定理 第一节力的功第二节质点的动能定理第三节质点系和刚体的动能第四节质点系的动能定理第五节功率功率方程第六节势力场势能机械能守恒定律 功的一般表达式 几种常见力的功 第一节力的功 质点系内力的功 约束力的功 力的元功 在一无限小位移中力所做的功称为元功 功的一般表达式 或写成直角坐标形式 在一般情况下 上式右边不表示某个坐标函数的全微分 所以元功用符号而不用 力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分 即 重力的功 重力的功仅与质点运动开始和终了位置的高度差有关 而与运动轨迹无关 几种常见力的功 弹性力的功 弹性力可表示为 弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始及终了位置的变形量 而与质点的运动路径无关 定轴转动刚体上作用力的功 作用于定轴转动刚体上的力的元功为 如图所示 刚体上任意一点的无限小位移可写为 作用于点Mi上的力的元功为 作用于刚体上的全部力的元功为 平面运动刚体上力系的功 其中FR为力系的主矢量 Mc为力系对质心的主矩 如图所示 两质点间有相互作用的内力 当质系内质点间的距离可变化时 内力的元功之和不为零 因此刚体内力的功之和恒等于零 质点系内力的功 光滑铰链或固定铰支链约束 由于约束力的方向恒与位移的方向垂直 所以约束力的功为零 约束力的功 理想约束 约束力的元功的和等于零的约束称为理想约束 常见的理想约束有 光滑固定面和可动铰支链约束 其约束力垂直于作用点的位移 约束力不做功 固定端约束这种约束和刚体的内力一样 其元功之和恒等于零 柔性而不可伸长的绳索约束绳索两端的约束力 大小相等 即 由于绳索不可伸长 所以两点的微小位移和在绳索中心线上的投影必相等 因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零 质系内所有质点在某瞬时动能的算术和为该瞬时质系的动能 动能是描述质系运动强度的一个物理量 第二节质点的动能定理 牛顿第二定律 即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分 上式两边点乘dr 将上式积分 得 为作用于质点上的力在有限路程上的功 质点系的动能 平面运动刚体的动能 第三节质点系和刚体的动能 平移刚体的动能 定轴转动刚体的动能 当刚体平动时 刚体上各点速度相同 于是平动刚体的动能为 质点系的动能 平移刚体的动能 定轴转动刚体的动能 当刚体绕固定轴转动时 其上任一点的速度为 于是绕定轴转动刚体的动能为 刚体作平面运动时 可视为绕通过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动 平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和 平面运动刚体的动能 设质系由n个质点组成 其中任意一质点 质量为mi 速度为vi 作用于该质点上的力为Fi根据质点动能定理的微分形式有 n个方程相加 得 第四节质点系的动能定理 质系动能定理的微分形式 在质系无限小的位移中 质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和 即 质系动能定理的积分形式 质系在任意有限路程的运动中 起点和终点动能的改变量 等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和 解 分为两个阶段1 重物由位置 落到板上 在这一过程中 只有重力做功 应用动能定理 有 由于弹簧的变形量是正值 因此取正号 即 例10 2提升机构如图所示 设启动时电动机的转矩M视为常量 大齿轮及卷筒对于轴的转动惯量为J2 小齿轮 联轴节及电动机转子对于轴的转动惯量为J1 被提升的重物重为P 卷筒 大齿轮及小齿轮的半径分别为R r2及r1 略去摩擦及钢丝绳质量 求重物从静止开始上升距离s时的速度及加速度 解 1 以整个系统 包括电机 为研究对象 2 计算主动力的功 系统所受的约束为理想约束 只有电动机的转矩和重力做功 则 3 计算系统始末位置的动能 4 应用动能定理 并求解重物的速度 运动学关系为 解 1 以鼓轮和圆柱体组成的整个系统作为分析对象 2 分析系统的受力并计算力的功 3 分析系统的运动并计算动能 主动力的功为 速度有如下关系 4 应用质系动能定理并求解 质系动能定理 1 具有理想约束的一个自由度系统 应用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系 进一步对时间求导数 可求出系统的加速度量 所以 在这种情形下应用动能定理求解已知力求运动的问题是很方便的 小结 2 应用动能定理解题的步骤 1 明确分析对象 一般以整个系统为研究对象 2 分析系统的受力 区分主动力与约束力 在理想约束的情况下约束力不做功 4 应用动能定理建立系统的动力学方程 而后求解 5 对问题的进一步分析与讨论 3 分析系统的运动 计算系统在任意位置的动能或在起始和终了位置的动能 第五节功率功率方程 功率 力在单位时间内所作的功 称为功率 它是用来衡量机器性能的一项重要指标 用N表示功率 则 力偶或转矩M的功率 功率方程 由动能定理 等号两边除以dt 即 它表明机器的输入 消耗的功率与动能变化率之间的关系 如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用 具有这种特性的空间就称为力场 例如地球表面的空间为重力场 如质点在某一力场内运动时 力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关 而与质点运动的路径无关 则这种力场称为势力场或保守力场 质点在势力场内所受的力称为势力或保守力 如重力 弹性力及万有引力都是势力 第六节势力场势能机械能守恒定律 势力场 重力场中的势能 如图所示重力的势能为 为了计算方便 取基点的位置 势能 势能 在势力场中质点从某一位置移至选定的基点的过程中势力所做的功 以V表示 即 对于质点系或刚体 弹性力场中的势能 在弹性力场中 如取弹簧的自然位置为基点 保守系统 具有理想约束 且所受的主动力皆为势力的质系称为保守系统 对于保守系统 动能定理 势力的功与路径无关 可通过势能计算 如以0点为零势点 则 机械能守恒定律 机械能守恒定律 即保守系统在运动过程中 其机械能保持不变 或质系的动能和势能可以互相转化 但总的机械能保持不变 机械能 质系在某瞬时的动能与势能的代数和 因为势力场具有机械能守恒的特性 因此势力场又称为保守力场 而势力又称为保守力 质系在非保守力作用下运动时 则机械能不守恒 例如摩擦力做功时总是使机械能减少 但是减少的能量并未消失 而是转化为另一形式的能量 有势力与势能的关系 势能的大小因其在势力场中的位置不同而异 可写作坐标的单值连续函数 称为势能函数 注意到势力的功与路径无关 其元功必是函数V的全微分 即 由高等数学知 V的全微分 得到 即作用在质点系上各有势力在坐标轴上的投影 等于势能函数对相应坐标的偏导数冠以负号 设初始条件为 在有限路程中主动力的功为 例10 4无重量不可伸长的细绳绕过质量为m 半径为R的均质圆盘 弹簧刚度为k 与细绳相连 如图所示 列写该系统的运动微分方程 解 系统具有一个自由度 建立坐标x x取任意值时 系统的动能为 由动能定理的积分形式 T0为初始位置系统的动能 两边对t时间求导数