高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12_5 二项分布及其应用课件 理 新人教版

12 5二项分布及其应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 条件概率及其性质 知识梳理 1 一般地 设A B为两个事件 且P A 0 称P B A 为在事件A发生的条件下 事件B发生的 在古典概型中 若用n A 表示事件A中基本事件的个数 则P B A 2 条件概率具有的性质 如果B和C是两个互斥事件 则P B C A 条件概率 0 P B A 1 P B A P C A 1 设A B为两个事件 若P AB P A P B 则称事件A与事件B 2 若A与B相互独立 则P B A P AB P A P B A 3 若A与B相互独立 则 也都相互独立 2 相互独立事件 相互 独立 P B P A P B 1 一般地 在相同条件下重复做的几次试验称为 2 一般地 在n次独立重复试验中 用X表示事件A发生的次数 设每次试验中事件A发生的概率为p 则P X k 此时称随机变量X服从 记为 并称p为成功概率 3 二项分布 n次独立重复试验 二项分布 X B n p 超几何分布与二项分布的区别 1 超几何分布需要知道总体的容量 而二项分布不需要 2 超几何分布是不放回抽取 而二项分布是放回抽取 独立重复 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 条件概率一定不等于它的非条件概率 2 相互独立事件就是互斥事件 3 对于任意两个事件 公式P AB P A P B 都成立 4 二项分布是一个概率分布 其公式相当于 a b n二项展开式的通项公式 其中a p b 1 p 5 P B A 表示在事件A发生的条件下 事件B发生的概率 P AB 表示事件A B同时发生的概率 考点自测 1 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球 从中依次摸出两个小球 则在第一次摸得红球的条件下 第二次仍是红球的概率为 答案 解析 第一次摸出红球 还剩2红5黑共7个小球 2 教材改编 小王通过英语听力测试的概率是 他连续测试3次 那么其中恰有1次获得通过的概率是 答案 解析 3 2015 课标全国 投篮测试中 每人投3次 至少投中2次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为A 0 648B 0 432C 0 36D 0 312 答案 解析 投中3次的概率为P k 3 0 63 4 某地区空气质量监测资料表明 一天的空气质量为优良的概率是0 75 连续两天为优良的概率是0 6 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质量为优良的概率是 答案 解析 已知连续两天为优良的概率是0 6 那么在前一天空气质量为优良的前提下 要求随后一天的空气质量为优良的概率 可根据条件概率公式 0 8 5 教材改编 国庆节放假 甲去北京旅游的概率为 乙去北京旅游的概率为 假定二人的行动相互之间没有影响 那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 答案 解析 记在国庆期间 甲去北京旅游 为事件A 乙去北京旅游 为事件B 甲 乙二人至少有一人去北京旅游 的对立事件为 甲 乙二人都不去北京旅游 题型分类深度剖析 题型一条件概率 例1 1 从1 2 3 4 5中任取2个不同的数 事件A为 取到的2个数之和为偶数 事件B为 取到的2个数均为偶数 则P B A 等于 答案 解析 2 如图所示 EFGH是以O为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一粒豆子随机地扔到该圆内 用A表示事件 豆子落在正方形EFGH内 B表示事件 豆子落在扇形OHE 阴影部分 内 则P B A 答案 解析 AB表示事件 豆子落在 OEH内 引申探究 解答 1 若将本例 1 中的事件B 取到的2个数均为偶数 改为 取到的2个数均为奇数 则结果如何 2 在本例 2 的条件下 求P A B 解答 条件概率的求法 1 定义法 先求P A 和P AB 再由P B A 求P B A 2 基本事件法 借助古典概型概率公式 先求事件A包含的基本事件数n A 再求事件AB所包含的基本事件数n AB 得P B A 思维升华 跟踪训练1 2016 开封模拟 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡 这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着 现需要一只卡口灯泡 电工师傅每次从中任取一只并不放回 则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下 第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 答案 解析 方法一设事件A为 第1次抽到的是螺口灯泡 事件B为 第2次抽到的是卡口灯泡 方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡 其中有7只卡口灯泡 例2设某校新 老校区之间开车单程所需时间为T T只与道路畅通状况有关 对其容量为100的样本进行统计 结果如下 解答 题型二相互独立事件的概率 1 求T的分布列 由统计结果可得T的频率分布为 以频率估计概率得T的分布列为 2 刘教授驾车从老校区出发 前往新校区做一个50分钟的讲座 结束后立即返回老校区 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率 解答 设T1 T2分别表示往 返所需时间 T1 T2的取值相互独立 且与T的分布列相同 设事件A表示 刘教授共用时间不超过120分钟 由于讲座时间为50分钟 所以事件A对应于 刘教授在路途中的时间不超过70分钟 方法一P A P T1 T2 70 P T1 25 T2 45 P T1 30 T2 40 P T1 35 T2 35 P T1 40 T2 30 0 2 1 0 3 1 0 4 0 9 0 1 0 5 0 91 方法二P P T1 T2 70 P T1 35 T2 40 P T1 40 T2 35 P T1 40 T2 40 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 09 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1 首先判断几个事件的发生是否相互独立 2 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁或难以入手时 可从其对立事件入手计算 思维升华 跟踪训练2 2017 青岛月考 为了分流地铁高峰的压力 某市发改委通过听众会 决定实施低峰优惠票价制度 不超过22千米的地铁票价如下表 解答 1 求甲 乙两人所付乘车费用不相同的概率 则甲 乙两人所付乘车费用相同的概率 2 设甲 乙两人所付乘车费用之和为随机变量 求 的分布列 解答 由题意可知 6 7 8 9 10 所以 的分布列为 题型三独立重复试验与二项分布 命题点1根据独立重复试验求概率例3甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜3局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的概率是外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立 1 分别求甲队以3 0 3 1 3 2胜利的概率 解答 设 甲队以3 0 3 1 3 2胜利 分别为事件A B C 2 若比赛结果为3 0或3 1 则胜利方得3分 对方得0分 若比赛结果为3 2 则胜利方得2分 对方得1分 求乙队得分X的分布列 解答 X的可能取值为0 1 2 3 故X的分布列为 命题点2根据独立重复试验求二项分布例4一款击鼓小游戏的规则如下 每盘游戏都需击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每盘游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除200分 即获得 200分 设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓出现音乐相互独立 1 设每盘游戏获得的分数为X 求X的分布列 解答 X可能的取值为10 20 100 200 根据题意 有 所以X的分布列为 2 玩三盘游戏 至少有一盘出现音乐的概率是多少 解答 设 第i盘游戏没有出现音乐 为事件Ai i 1 2 3 所以 三盘游戏中至少有一盘出现音乐 的概率为 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 1 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时 首先要确定好n和k的值 再准确利用公式求概率 2 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时 关键是理清事件与事件之间的关系 确定二项分布的试验次数n和变量的概率 求得概率 思维升华 跟踪训练3 2016 沈阳模拟 某学校举行联欢会 所有参演的节目都由甲 乙 丙三名专业老师投票决定是否获奖 甲 乙 丙三名老师都有 获奖 待定 淘汰 三类票各一张 每个节目投票时 甲 乙 丙三名老师必须且只能投一张票 每人投三类票中的任何一类票的概率都为 且三人投票相互没有影响 若投票结果中至少有两张 获奖 票 则决定该节目最终获一等奖 否则 该节目不能获一等奖 1 求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率 解答 设 某节目的投票结果是最终获一等奖 这一事件为A 则事件A包括 该节目可以获两张 获奖 票 或者获三张 获奖 票 2 求该节目投票结果中所含 获奖 和 待定 票票数之和X的分布列 解答 所含 获奖 和 待定 票票数之和X的值为0 1 2 3 因此X的分布列为 典例 1 中国乒乓球队甲 乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛 甲夺得冠军的概率是 乙夺得冠军的概率是 那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 2 某射手每次射击击中目标的概率都是 这名射手射击5次 有3次连续击中目标 另外两次未击中目标的概率是 独立事件与互斥事件 现场纠错系列18 错解展示 现场纠错 纠错心得 1 搞清事件之间的关系 不要混淆 互斥 与 独立 2 区分独立事件与n次独立重复试验 返回 A B是互斥事件 2 设 第i次射击击中目标 为事件Ai i 1 2 3 4 5 射手在5次射击中 有3次连续击中目标 另外2次未击中目标 为事件A 则 返回 课时作业 1 把一枚硬币连续抛两次 记 第一次出现正面 为事件A 第二次出现正面 为事件B 则P B A 等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 长春模拟 一袋中有5个白球 3个红球 现从袋中往外取球 每次任取一个记下颜色后放回 直到红球出现10次时停止 设停止时共取了X次球 则P X 12 等于 答案 解析 X 12 表示第12次取到红球 前11次有9次取到红球 2次取到白球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 已知A B是两个相互独立事件 P A P B 分别表示它们发生的概率 则1 P A P B 是下列哪个事件的概率A 事件A B同时发生B 事件A B至少有一个发生C 事件A B至多有一个发生D 事件A B都不发生 答案 解析 P A P B 是指A B同时发生的概率 1 P A P B 是A B不同时发生的概率 即事件A B至多有一个发生的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 甲命中目标 为事件A 乙命中目标 为事件B 丙命中目标 为事件C 则击中目标表示事件A B C中至少有一个发生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 函数f x x2 4x X存在零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 2016 安徽黄山屯溪一中月考 甲罐中有5个红球 2个白球和3个黑球 乙罐中有4个红球 3个白球和3个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以A1 A2和A3表示由甲罐取出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的球是红球的事件 则下列结论中正确的是 答案 解析 B 事件B与事件A1相互独立 D P B 的值不能确定 它与A1 A2 A3中哪一个发生都有关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意A1 A2 A3是两两互斥的事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由此知A D不正确 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X B 2 p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 答案 解析 灯泡甲亮满足的条件是a c两个开关都开 b开关必须断开 否则短路 设 a闭合 为事件A b闭合 为事件B c闭合 为事件C 则甲灯亮应为事件AC 且A B C之间彼此独立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设事件A发生的概率为p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 荆州质检 把一枚硬币任意抛掷三次 事件A 至少一次出现反面 事件B 恰有一次出现正面 则P B A 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 现有4个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏 掷出点数大于2的人去参加乙游戏 1 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 这4个人中恰有k人去参加甲游戏 为事件Ak k 0 1 2 3 4 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 解答 设 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 为事件B 则B A3 A4 由于A3与A4互斥 故 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 用X Y分别表示这4个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 X Y 求随机变量 的分布列 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 的所有可能取值为0 2 4 由于A1与A3互斥 A0与A4互斥 故 所以 的分布列是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 西安模拟 在一块耕地上种植一种作物 每季种植成本为1000元 此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性 且互不影响 其具体情况如下表 1 设X表示在这块地上种植1季此作物的利润 求X的分布列 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设A表示事件 作物产量为300kg B表示事件 作物市场价格为6元 kg 300 10 1000 2000 300 6 1000 800 由题设知P A 0 5 P B 0 4 因为利润 产量 市场价格 成本 所以X所有可能的取值为 500 10 1000 4000 500 6 1000 2000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 5 0 4 0 5 1 0 4 0 5 故X的分布列为 P X 800 P A P B 0 5 0 4 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若在这块地上连续3季种植此作物 求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设Ci表示事件 第i季利润不少于2000元 i 1 2 3 P C1C2C3 P C1 P C2 P C3 0 83 0 512 由题意知C1 C2 C3相互独立 由 1 知 P Ci P X 4000 P X 2000 0 3 0 5 0 8 i 1 2 3 3季的利润均不少于2000元