第9章多元函数微分法及其应用近年试题.doc

0809 B 一 填空题 每小题 3 分 共 18 分 2 设 则其全微分 ln xyz dz 11 dxdy xy 3 函数的所有间断点是 xy xy u 2 2 2 2 2 2 x yyx xR yR 二 选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 则极限 22 yx xy yxf lim 0 0 yxf y x A 不存在 B 1 C 2 D 0 A 当点沿曲线趋向时 P x yykx 0 0 显然 当 k 取值不同是 极限也不相同 2 222 00 lim lim xx y kx kx f x y xk x 2 1 k k 所以 不存在 22 0 0 lim x y xy xy 2 在曲线所有切线中 与平面平行的切线 32 tztytx 433 zyx A 只有一条 B 只有两条 C 至少有 3 条 D 不存在 曲线的切向量 平面的法向量 2 12 3 Tttttt 1 3 3 n 所以只有一条切线满足条 22 12 3 1 3 3 1 690tttt 2 31 0t 1 3 t 得得 件 3 点是函数的 0 0 xyz A 极值点 B 驻点但不是极值点 C 是极值点但不是驻点 D 以上都 不对 分析 令 得 0 0 是驻点 但点 0 0 是的鞍点 不是极值点 0 0 xy zyzx xyz 四 计算题 每小题 8 分 共 32 分 1 设求和 sinyxvxyuvez u x z y z 解 zffufv xxuxvx e sine cose sin cos uuxy v yvyxyxy e sine cos uu zffufv v xv yyuyvy e sin cos xy xxyxy 五 解答题 每小题分 10 共 20 分 1 要造一个容积为定数 a 的长方形无盖容器 如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小 此时最小表面积为多少 解 设长方体的长宽高分别为则问题就是在条件下 zyx 0 x y zxyza 求函数 22Sxyxzyz 0 0 0 zyx 的最小值 作拉格朗日函数 22 L x y zxyxzyzxyza 求其对的偏导数 并使之为零 得到 x y z 20 20 2 0 0 yzyz xzxz xyxy xyza 因为都不等于零 得 代入 得zyx 11 22 zxy 0 xyza 这是唯一可能的极值点 由问题本身可知最小值一 333 1 2 2 2 2 xa ya za 定存在 所以最小值就在这个可能的极值点处取得 即长宽高为时 最 333 1 2 2 2 2 aaa 小表面积 2 3 3 2 Sa 0910B 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 2 设函数是由方程给出 则全微分 yxfz zzyx4 222 dz 2 d224x xydyzdzdz 2 xdxydy dz z 3 曲面在点处的切平面方程为 14 222 zyx 3 2 1 P 切平面得法向量 1 2 3 1 2 3 2 2 2 nxyz 2 4 6 切平面方程为2 1 4 2 6 3 0 23140 xyzxyz 或或 二 选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 二元函数在点处可微是两个偏导数都存 yxf 00 yx 0000 yxfyxf yx 在的 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 四 计算题 每小题 10 分 共 40 分 1 设 而 求 vuzln 2 y x u yxv23 x z y z 解 2 2 2 23 3 23ln 2 yyx x yx y x x z 2 2 3 2 23 2 23ln 2 yyx x yx y x y z 1011B 一 填空题 每小题 3 分 共 15 分 1 设二元函数 则 1ln 1 yxxez yx 0 1 dz 1 0 1 0 1 0 1 ln 1 1 x yx yx y x dzexeydxxedy y 1 0 d2ed e 2 dzxy 2 旋转抛物面在点处的法线方程是 1 22 yxz 4 1 2 法线的方向向量 2 1 4 2 1 4 2 2 1 sxy 4 2 1 法线方程是 214 421 xyz 二 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 4 设的全微分为 则点 C yxfz ydyxdxdz 0 0 不是的连续点 不是的极值点 A yxf B yxf 是的极小值点 是的极大值点 C yxf D yxf 分析 得 由 则点 z xy x zy z1 1 0 xxyyxy zz 2 10 10ACBA 是的极小值点 0 0 yxf 三 求偏导数 每小题 10 分 共 20 分 1 设 其中具有二阶连续偏导数 求 3 x y xyfxz f y z 2 2 y z yx z 2 解 23 12 2 3 zy x fxyff xx 23 12 3x fx yfxyf 3 12 1 z xxff yx 42 12 x fx f 2 42 12 2 z x fx f yy 42 11122 122 11 xfxfxfxf xx 53 111222 2x fxx fxf yx z 2 2z y x 42 12 x fx f x 342 1111222122 22 4 2 yy x fxfyfxfxf yf xx 34 121122 42 x fxfx yfyf 2 设是方程在点确定的隐函数 求及 yxzz arctan zyxxyz 1 1 0 x z 1 1 0 y z 解解 令 1 分 arctan zyxxyzzyxF 则 2 1 1 zyx xyFz 6 分 2 1 1 zyx yzFx 2 1 1 zyx xzFy 8 分 1 1 1 1 2 2 zyxxy zyxyz F F x z z x 10 分1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 zyxxy zyxxz F F y z z y 六 应用题 本题满分 10 分 从斜边长为 的一切直角三角形中 求有最大周长的直角三角形 并求出最大周长 l 解 解 设另两边长分别为 则 周长 2 分yx 222 lyx lyxC 设拉格朗日函数 4 分 222 lyxlyxyxF 令 6 分 0 021 021 222 lyxF yF xF y x 解方程组得为唯一驻点 且最大周长一定存在 8 分lyx 2 2 故当时 最大周长为 10 分lyx 2 2 lC 21 1112B 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 1 在点处的yxz 2 1 1 dz 2 2 dzxydxx dy 1 1 2 x y dzdxdy 2 设函数在点取得极值 则常数 yxyaxxyxf22 22 1 1 a 所以 2 1 1 1 1 4 0 xx y fxay 1 1 1 1 220 yx y fxy 5 a 例 36 设函数在处取得极值 试求常数 a 并确定 22 22f x yxaxxyy 1 1 极值的类型 分析 这是二元函数求极值的反问题 即知道取得极值 只需要根据可导函 f x y 数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题 解 因为在处的偏导数均存在 因此点必为驻点 则有 f x y x y 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 40 220 f xay x f xy y 因此有 即 410a 5a 因为 2 2 1 1 4 f A x 2 1 1 1 1 22 f By x y 2 2 1 1 1 1 22 f Cx y 22 42 2 40ACB 40A 所以 函数在处取得极小值 f x y 1 1 二 选择题 每小题 2 分 共 10 分 3 在点处函数的全微分存在的充分条件为 P yxfdf A 均存在 B 连续 yx ff f C 的全部一阶偏导数均连续 D 连续且均存在ff yx ff 三 计算题 每小题 8 分 共 40 分 1 设是由方程所确定的隐函数 计算的值 yxzz zzyx2 222 2 2 x z x z 解 设 则 222 2F x y zxyzz 2 x Fx 2 y Fy 22 z Fz 2 221 zxx xzz 2 2 1 zx xxz 2 1 1 x zxz z 22 23 1 1 1 1 1 x zx zx z zz 4 求函数在点沿着从该点到点的方向导数 zxyzxyu 3 1 2 15 5 5 解 方向 3 4 12 l 0 34 12 13 13 3 l 13 12 cos 13 4 cos 13 3 cos 3 3 1 2 5 3 1 2 4 3 1 2 zyx uuu 13 68 coscoscos zyx uuu l z 五 证明题 每小题 7 分 共 7 分 证明在点偏导数存在 但不可微 22 0 0 0 0 0 xy x y f x yxy x y 0 0 证 0 0 0 0f xfy 00 0 0 0 0 0 0 limlim00 x xx fxf f x 00 0 0 0 0 0 0 limlim 00 y yy fyf f y 3 分 0 0 f x y所以函数在处可导 22 0 22 00 lim lim 0 0 0 0 lim yx yx yx yxf yfxfz yx 当点沿曲线趋向时 Pxy ykx 0 0 2 2222222 000 limlimlim xx y k x x yx ykx xyxyxkx 2 1 k k 显然 当 k 取值不同是 极限也不相同 所以 不存在 22 0 lim x y xy 这表示当时 0 0 0 0 0 xy zfxfyo 0 0 f x y所以函数在点不可微 1213B 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 2 极限 xy xy yx 11 lim 2 0 分子有理化 1 2 3 设二元函数 则 xy ez dz xyxy dzye dxxe dy 二 选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 设函数 则极限 22 yx xy yxf lim 0 0 yxf yx A B C D 不存在 012 当点沿曲线趋向时 P x yykx 0 0 显然 当 k 取值不同是 极限也不相同 2 222 00 lim lim xx y kx kx f x y xk x 2 1 k k 所以 不存在 22 0 0 lim x y xy xy 2 二元函数在点处的全微分存在是它在该点连续的 yxf 00 yx A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 如果函数在一点可微分 则函数在该点连续 三 计算题 每小题 8 分 共 40 分 1 设 求 和 33 xyyxz x z y z yx z 2 2 2 y z 解 23 3 z x yy x 32 3 z xy x y 2 22 33 z xy x y 2 2 6 z xy y 2 设是由方程所确定的隐函数 求和 yxzz y z z x ln x z y z 解 I 用隐函数求导公式 y z z x zyxFln 1 zx F 1 yy F zz x z F1 2 1 1 2 zx z zz x z x z 1 1 2 2 zxy z zz x y y z 解 II 将看作的函数 两边对求导 得 zyx x x z zz x z xz 1 2 即 同理两边对求导得 zx z x z y 2 zxy z y z 解 III 将方程两边求全微分 得 解出得 y dy z dz z xdzzdx 2 dz dyzxy z dx xz z dz 2 将 z 看作的函数 继续求导 即得二阶偏导数 zx z x z 2 zxy z y z yx 3 2 2 2 xz z x z 3 2 22 2 2 xzy xz y z 3 22 xzy xz yx z 四 应用题 每小题 10 分 共 20 分 1 求旋转抛物面上垂直于直线的切平面方程 22 yxz 0352 01 zyx zyx 解 令 任取旋转抛物面上一点 该点的法向量 22 F x y zxyz M x y z 已知直线的方向向量 2 2 1 xyz nF F Fxy 111 3 4 1 125 ijk s 因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行 所以代入 得 221 341 xy 3 2 2 xy 22 yxz 925 4 44 z 所以所求的切平面方程为 325 3 4 2 0 24 xyz 或 25 340 4 xyz 注 已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求 1 把看成是的函数 在方程组中对求导 得 y zx 10 2530 xyz xyz x 解得 10 1250 dydz dxdx dydz dxdx 4 3 1 3 dy dx dz dx 则方向向量 4 1 1 3 3 s 2 令 直线的方向向量 1F x y zxyz 253G x y zxyz 11 11 11 3 4 1 25 51 12 T 2 求函数在条件下的最大值与最小值 1 yxz8 22 yx 解 令 于是由 22 1 8 F x y zxyxy 解得即 为可能的极值点 可能的极值 22 120 120 80 x y Fx Fy Fxy 22 22 xx yy 2 2 2 2 从而所求函数的最大值是 最小值是 2 2 5z 2 2 3z 2 2 5z 2 2 3z 五 综合题 每小题 10 分 共 20 分 2 设是定义在上的连续函数 是由圆和直线 xf 0 D 222 Ryx 所围成的区域在第一象限部分 记 tanxy 0 y0 R 2 0 求 D dxdyyxfRF 22 R F 2 解 区域用极坐标表示D 0 0 R D dxdyyxfRF 22 2 D fd d 2 00 R dfd F R 2 00 R dfd R 2 0 f RRd R F 2 2 0 f RRd 2 f RR 0607 高数 A 一 填空题 每小题 4 分 共 32 分 一 填空题填空题 本题共 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 20 分 分 1 函数的定义域为 22 arccos yx z zyxf 2222 0 x y zzxyxy 5 曲面上点 P 1 1 2 处的切平面方程为 22 4yxz 切平面的法向量 1 1 2 2 2 1 2 2 1 nxy 切平面方程或 2 1 2 1 20 xyz 2260 xyz 二 单项选择题二 单项选择题 本题共 本题共 5 小题 每题小题 每题 4 分 满分分 满分 20 分 分 1 考虑二元函数的下面 4 条性质 点处在 00 yxyxf 连续 两个偏导数连续 可微 两个偏导数存在 若用表示可由性质推出性质 则有 A QP PQ A B C D 2 坐标原点 0 0 是函数的 B xyyxz5 32 A 既是驻点也是极值点 B 驻点但非极值点 C 极值点但非驻点 D 既非驻点也非极值点 所以 0 0 是驻点但非极值点 2 250ACB 三三 计算题一 计算题一 本题共两小题 满分 本题共两小题 满分 15 分 分 1 已知 x z y x z 求 tanln xy z 2 解 2 sec 11 cot tan x zxy x xyy y y 22 1 cot zzx y xx yyy y 2 23 11 cotcsc xx yyyy 2 已知 求 1 0 222 zyx zyx dx dy dx dz 和 解 注意在方程组中对求导 得 yy x zz x 222 10 1 xyz xyz x 解得 10 2220 dydz dxdx dydz xyz dxdx dyxz dxzy dzyx dxzy 0708 高数 A 一一 填空题 本题共填空题 本题共 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 20 分 分 1 极限 sin 11 lim 0 0 xy xy yx 0 0 1 11 lim sin 2sin 1 1 x y xyxy xyxyxy 2 曲面上点 P 2 1 0 处的切平面方程为 3 xyze z 设 3 z F x y zezxy 切平面的法向量 2 1 0 e1 1 2 0 z ny x 切平面方程或 2 2 1 0 xy 240 xy 二 单项选择题 本题共二 单项选择题 本题共 5 小题 每题小题 每题 4 分 满分分 满分 20 分 分 1 设 则它在点 1 0 处 B 23 3yxxz A 取得极大值 B 无极值 C 取得极小值 D 无法判定是否有极值 解 2 1 0 1 0 33 0 x zx 1 0 1 0 2 0 y zy 1 0 1 0 6 6 xx zx 1 0 2 yy Cz 1 0 0 xy Bz 所以函数在点 1 0 处无极值 2 120 ACB 三三 计算题 本题共两小题 满分 计算题 本题共两小题 满分 14 分 分 1 7 分 设函数其中具有二阶连续偏导数 求 yxxyfz f 2 2 x z 1 7 分 解 3 分 21 ff y x z 7 分 221211 2 2 2 2ff yfy x z 2 7 分 设函数 求 zzyx2 222 yx z y z x z 2 解 令 1 分 zyxFzzyx2 222 2 分22 2 2 zFyFxF zyx 4 分 1z x F F x z z x 1z y F F y z z y 将看作的函数 继续求导 得zyx 7 分 3 2 1 z xy yx z 0809A 一一 填空题 每小题填空题 每小题 2 分 满分分 满分 10 分 分 1 极限 11 lim 0 1 xy xy yx 1 0 1 1 lim x y xy xy 1 21 1 xy xy 2 曲面在点 1 1 2 处的切平面方程为 22 yxz 设 切平面的法向量 22 F x y zxyz 1 1 2 2 2 1 2 2 1 nxy 切平面方程或 2 1 2 1 z 2 0 xy 2220 xyz 二 选择题 每题二 选择题 每题 2 分 满分分 满分 10 分 分 1 函数在可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的 A yxf 00 yx A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 非充分亦非必要条件 2 设在点 0 0 处 C xyz A 取得极大值 B 取得极小值 C 无极值 D 无法判定是否有极值 三三 求偏导数或全微分 每小题 求偏导数或全微分 每小题 8 分 满分分 满分 24 分 分 1 设函数 求 dz 和 4422 4zxyx y 2 2 x z 解 32 48 z xxy x 32 48 z yx y y 3232 48 48 dzxxydxyx y dy 2 3222 2 48 128 z xxyxy xx 2 设 求 23 ln 2 yxv y x uvuz y z x z 解 2 2 2 23 3 23ln 2 yyx x yx y x x z 2 2 3 2 23 2 23ln 2 yyx x yx y x y z 3 设由确定 有一阶连续偏导 求 yxzz zf xyz xyz f zz xy 解 设则 F x y zzf xyz xyz 12 x Ffyzf 1212 1 yz FfxzfFfxyf 12 12 1 x z Fyzffz xFxyff 12 12 1 y z F xzffz yFxyff 六 六 8 分 分 求函数的极值 4 6 22 yyxxyxf 解 解方程组 2 2 62 4 0 6 42 0 x y fx yxyy fx yxxy 求得以下五组解 30066 20404 xxxxx yyyyy 于是驻点 又 0 0 0 4 6 0 6 4 3 2 22 28 4 3 2 212 xxxyyy fx yyy fx yxyfx yxx 所以 1 在处 00 0 0 0 0 0 24 0 0 0 xxxyyy AfBfCf 故不是极值 22 240 ACB 0 0 f 2 在处 0 4 0 4 0 0 4 24 0 4 0 xxxyyy AfBfCf 故不是极值 22 240 ACB 0 0 f 3 在处 6 0 6 0 0 6 0 24 6 0 0 xxxyyy AfBfCf 故不是极值 22 240 ACB 6 0 f 4 在处 6 4 6 4 0 6 4 24 6 4 0 xxxyyy AfBfCf 故不是极值 22 240 ACB 6 0 f 5 在处 3 2 3 2 80 3 2 0 3 2 18 xxxyyy AfBfCf 故函数在点取得极大值 极大值为 36 2 1440 ACB 3 2 综上所述 函数的极大值为 36 无极小值 0910 高数 A 一 填空题 每小题 3 分 共 18 分 1 设 则 0 xyze z x z z zyz xexy 3 函数的全微分为 22 yxz 22xdxydy 二 选择题 每小题 3 分 共 18 分 4 曲面在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为 3 zyx B A B 3 C 9 D 1 3 三 计算题 每小题 8 分 共 32 分 1 设 yx z y x z 2 sin 求 解 y x yx z cos 1 y x y x y x y yx z sincos 1 32 2 四 应用题 每小题 8 分 共 16 分 1 在已给的椭球面内的一切内接长方体 各边分别平行于1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 坐标轴 中 求其体积最大者 解 此题是条件极值 约束条件是内接于椭球面 由椭球的对称性 不妨设是该 zyx 球面上位于第 卦限的任一点 则约束条件为 本题不易变为一元函数 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 采用拉格朗日数乘法解之 设内接长方体的相邻边长为 其体积为 0 2 2 2 zyxzyx xyzV8 构造拉格朗日函数 xyzzyxL8 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 求得 333 abc x y z xyzV8 33 8abc 六 8 分 设函数 f u 在 0 内具有二阶偏导数 且 满足等式 22 yxfz 0 2 2 2 2 y z x z 验证 若求函数 f u 的表达式 0 u uf uf 1 1 0 1 ff 解 设 则 22 yxu 2 分 1 3 2 2 2 2 uf u x uf u uf u x x z uf u x x z 同理 1 3 2 2 2 2 uf u y uf u uf u y y z 由 4 分 0 2 2 2 2 y z x z 0 1 uf u uf 设 du dp ufpuf 则原方程化为 u du p dp p udu dp 0 1 积分得 即 6 分 u C p u C uf 由得 C 1 1 1 f 于是 1 ln Cuuf 代入得 C1 0 0 1 f 函数 f u 的表达式为 8 分 ln uuf 1011 高数 A 一 填空题 每小题 3 分 共 15 分 1 sin lim 2 0 x xy yx 2 二 选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 设可导函数满足则 B yxf0 0000 yxfyxf yx 是的极值点 是的驻点 00 yxA yxf 00 yxB yxf 是的连续点 在处可微分 00 yxC yxf D yxf 00 yx 三 求下列函数的导数 每小题 6 分 共 18 分 1 已知 求 x y zarctan y z x z 解 2 2222 22 1 1 1 y zyzx xx yy xxyyxy xx 2 已知 求 0 xyze z y z x z 解 设则 z F x y zexyz x Fyz z yz FxzFexy x z z Fzyz xFexy y z z F zxz yFexy 3 已知 求 22 yxxyfz x z y z 解 12 2 z yfxf x y z 12 2 xfyf 1112 高数 A 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 1 极限 y xy yx sin lim 0 0 0 二 选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 函数在点处的全微分存在的充分条件是 yxf 00 yx A 在点处的两个一阶偏导数都存在 yxf 00 yx B 在点处连续 yxf 00 yx C 在点处的两个一阶偏导数都连续 yxf 00 yx D 在点处连续并且两个一阶偏导数都存在 yxf 00 yx 2 设 则它在点处 32 yxz 0 0 A 取得极大值 B 无极值 C 取得极小值 D 无法判定是否有极值 解 解方程组求得解于是驻点又 2 20 30 x y zx zy 0 0 x y 0 0 2 0 6 xxxyyy fx yfx yfx yy 所以在处 00 0 0 2 0 0 0 0 0 0 xxxyyy AfBfCf 可能是极值点 也可能不是极值点 22 240 ACB 00 但是在附近函数有大于 0 的点也有小于 0 的点 所以在处无极值 00 00 三 计算题 每小题 10 分 共 40 分 1 设 求 和 yxzsin 2 x z y z yx z 2 2 2 y z 1 解 5 分yx x z sin2 yx y z cos 2 10 分yx yx z cos2 2 yx y z sin 2 2 2 2 求函数的极值 2 22 yyxeyxf x 解 解方程组 22 2 2241 0 22 0 x x x y fx yexyy fx yey 求得解于是得唯一驻点又 1 2 1 x y 1 1 2 22 4484 x xx fx yexyy 22 4 1 2 xx xyyy fx yeyfx ye 11 1 20 1 0 0 0 2 22 xxx