高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3_2 双曲线的简单性质课件 北师大版选修2-11

第三章 3双曲线 3 2双曲线的简单性质 学习目标1 了解双曲线的简单性质 范围 对称性 顶点 实轴长和虚轴长等 2 理解离心率的定义 取值范围和渐近线方程 3 掌握标准方程中a b c e间的关系 4 能用双曲线的简单性质解决一些简单问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一双曲线的范围 对称性 思考 观察下面的图形 1 从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的 那么是否与椭圆一样有范围限制 有限制 因为 1 即x2 a2 所以x a或x a 答案 思考 2 是不是轴对称图形 对称轴是哪条直线 是不是中心对称图形 对称中心是哪个点 关于x轴 y轴和原点都是对称的 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫作双曲线的中心 答案 梳理 2 双曲线的对称轴为 对称中心为 a a a a x轴 y轴 原点 知识点二双曲线的顶点 思考 1 双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点 你认为对吗 为什么 不对 双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点 只有在标准形式下 坐标轴才是双曲线的对称轴 此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点 答案 思考 2 双曲线是否只有两个顶点 双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗 是 只有两个顶点 双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上 只能在实轴上 答案 梳理 a 0 a 0 0 a 0 a 知识点三渐近线与离心率 思考1 能否和椭圆一样 用a b表示双曲线的离心率 答案 思考2 离心率对双曲线开口大小有影响吗 满足什么对应关系 答案 梳理 2 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 叫作双曲线的离心率 用e表示 e 1 3 双曲线的性质见下表 题型探究 类型一已知双曲线的标准方程研究其简单性质 例1求双曲线nx2 my2 mn m 0 n 0 的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标 离心率 顶点坐标和渐近线方程 解答 引申探究将本例改为 求双曲线9y2 4x2 36的顶点坐标 焦点坐标 实轴长 虚轴长 离心率和渐近线方程 请给出解答 解答 因此顶点坐标为 3 0 3 0 实轴长是2a 6 虚轴长是2b 4 由双曲线的方程研究性质的解题步骤 1 把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键 2 由标准方程确定焦点位置 确定a b的值 3 由c2 a2 b2求出c的值 从而写出双曲线的性质 反思与感悟 跟踪训练1求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 解答 由此可知 实半轴长a 4 虚半轴长b 3 类型二由双曲线的性质确定标准方程 例2求下列双曲线的标准方程 解答 F2 0 3 解得 20或 7 舍去 解答 则c2 10k b2 c2 a2 k 1 根据双曲线的某些性质求双曲线方程 一般用待定系数法转化为解方程 组 但要注意焦点的位置 从而正确选择方程的形式 2 巧设双曲线方程的六种方法与技巧 反思与感悟 渐近线为y kx的双曲线方程可设为k2x2 y2 0 渐近线为ax by 0的双曲线方程可设为a2x2 b2y2 0 跟踪训练2 1 求与双曲线 1有共同的渐近线 且经过点M 3 2 的双曲线的标准方程 解答 点M 3 2 在双曲线上 解答 a2 3b2 又 直线AB的方程为bx ay ab 0 解 组成的方程组 得a2 3 b2 1 类型三共轭双曲线与等轴双曲线 解答 命题角度1共轭双曲线 又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线 反思与感悟 答案 解析 命题角度2等轴双曲线例4已知等轴双曲线的焦点在x轴上 且焦点到渐近线的距离是 求此双曲线的方程 解答 反思与感悟 1 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 2 等轴双曲线的性质 渐近线方程为y x 渐近线互相垂直 离心率e 3 等轴双曲线的特征是a b 等轴双曲线的方程可以设为x2 y2 0 当 0时 双曲线的焦点在x轴上 当 0时 双曲线的焦点在y轴上 答案 解析 依据等轴双曲线的性质 得e 类型四直线与双曲线的位置关系 命题角度1直线与双曲线位置关系的判定与交点问题例5已知直线y kx 1与双曲线x2 y2 4 1 若直线与双曲线没有公共点 求k的取值范围 解答 得 1 k2 x2 2kx 5 0 直线与双曲线没有公共点 则 式方程无解 解答 2 若直线与双曲线有两个公共点 求k的取值范围 直线与双曲线有两个公共点 则 式方程有两个不相等的根 解答 3 若直线与双曲线只有一个公共点 求k的值 直线与双曲线只有一个公共点 则 式方程只有一解 当1 k2 0 即k 1时 式方程只有一解 当1 k2 0时 应满足 4k2 20 1 k2 0 反思与感悟 代入 得 b2 a2k2 x2 2a2mkx a2m2 a2b2 0 2a2mk 2 4 b2 a2k2 a2m2 a2b2 的解的个数进行判断 0 直线与双曲线有两个交点 称直线与双曲线相交 0 直线与双曲线有一个交点 称直线与双曲线相切 时 直线l只与双曲线一支相交 交点有两个 如图 时 直线l与双曲线两支都相交 交点有两个 跟踪训练5设双曲线C y2 1 a 0 与直线l x y 1相交于A B两个不同的点 1 求双曲线的离心率e的取值范围 解答 得 1 a2 x2 2a2x 2a2 0 解答 设A x1 y1 B x2 y2 易知P 0 1 又x1 x2是方程 的两个根 命题角度2直线与双曲线的相交弦及弦长问题例6 1 求直线y x 1被双曲线x2 1截得的弦长 解答 化简得3x2 2x 5 0 解答 方法一 该直线的斜率不存在时 直线与双曲线无交点 故可设直线的方程为y kx 1 它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P x y 设此方程的解为x1 x2 则4 k2 0 4k2 20 4 k2 0 得4x2 y2 y 0 y 4或y 1 方法二设弦的两个端点坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 弦的中点为P x y 得4 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 整理得4x2 y2 y 0 y 4或y 1 反思与感悟 2 涉及弦长的中点问题 常用 点差法 将弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 同时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与量间的关系 其具体解题思路如下 跟踪训练6已知双曲线的方程为2x2 y2 2 1 过定点P 2 1 作直线交双曲线于P1 P2两点 当点P 2 1 是弦P1P2的中点时 求此直线方程 解答 若直线斜率不存在 即P1P2垂直于x轴 则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上 不可能是点P 2 1 所以直线l斜率存在 故可设直线l的方程为y 1 k x 2 即y kx 2k 1 得 2 k2 x2 2k 2k 1 x 4k2 4k 3 0 设直线l与双曲线的交点P1 x1 y1 P2 x2 y2 又点P 2 1 是弦P1P2的中点 当k 4时 4k2 2k 1 2 4 2 k2 4k2 4k 3 56 5 0 综上可知 所求直线的方程为4x y 7 0 2 过定点Q 1 1 能否作直线l 使l与此双曲线相交于Q1 Q2两点 且Q是弦Q1Q2的中点 若存在 求出l的方程 若不存在 请说明理由 解答 假设这样的直线l存在 设Q1 x1 y1 Q2 x2 y2 2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 2 x1 x2 y1 y2 0 若直线Q1Q2垂直于x轴 则线段Q1Q2中点不可能是点Q 1 1 直线Q1Q2的方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 即2x2 4x 3 0 16 24 0 直线l与双曲线没有公共点 因此这样的直线不存在 当堂训练 答案 解析 A 4B 3C 2D 1 2 3 4 5 1 方程表示双曲线 答案 解析 2 3 4 5 1 3 等轴双曲线的一个焦点是F1 6 0 则其标准方程为 2 3 4 5 1 等轴双曲线的焦点为 6 0 c 6 2a2 36 a2 18 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 答案 解析 2 3 4 5 1 规律与方法 双曲线的综合问题常涉