高中数学第二章空间向量与立体几何章末复习课课件北师大版选修2_1

第二章空间向量与立体几何 章末复习课 学习目标1 理解空间向量的概念 掌握空间向量的运算法则及运算律 2 掌握空间向量数量积的运算及其应用 会用数量积解决垂直问题 夹角问题 3 理解空间向量基本定理 掌握空间向量的坐标表示 4 会用基向量法 坐标法表示空间向量 5 会用向量法解决立体几何问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一空间中点 线 面位置关系的向量表示 设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为 v 则 a a kv k R a b 0 a b v 0 知识点二用坐标法解决立体几何问题 步骤如下 1 建立适当的空间直角坐标系 2 写出相关点的坐标及向量的坐标 3 进行相关坐标的运算 4 写出几何意义下的结论 关键点如下 1 选择恰当的坐标系 坐标系的选取很重要 恰当的坐标系可以使得点的坐标 向量的坐标易求且简单 简化运算过程 2 点的坐标 向量的坐标的确定 将几何问题转化为向量的问题 必须确定点的坐标 直线的方向向量 平面的法向量 这是最核心的问题 3 几何问题与向量问题的转化 平行 垂直 夹角问题都可以通过向量计算来解决 如何转化也是这类问题解决的关键 题型探究 类型一空间向量及其运算 例1如图 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD是边长为1的正方形 S到A B C D的距离都等于2 给出以下结论 其中正确结论的序号是 答案 解析 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则 三角形法则及各运算公式 理解向量运算法则 运算律及其几何意义 反思与感悟 解答 由已知ABCD是平行四边形 类型二利用空间向量解决位置关系问题 例2在四棱锥P ABCD中 PD 平面ABCD ABCD是正方形 E是PA的中点 求证 1 PC 平面EBD 证明 如图 以D为坐标原点 分别以DC DA DP所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设平面EBD的一个法向量为n x y z 2 平面PBC 平面PCD 证明 设平面PBC的一个法向量为m x1 y1 z1 1 证明两条直线平行 只需证明这两条直线的方向向量是共线向量 2 证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线 利用共面向量定理 即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量 3 证明面面平行的方法 转化为线线平行 线面平行处理 证明这两个平面的法向量是共线向量 反思与感悟 4 证明两条直线垂直 只需证明这两条直线的方向向量垂直 5 证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直 6 证明面面垂直的方法 转化为证明线面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练2在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 求证 平面AED 平面A1FD1 证明 如图 建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1 则设m x1 y1 z1 n x2 y2 z2 分别是平面AED和A1FD1的一个法向量 令y1 1 得m 0 1 2 令z2 1 得n 0 2 1 m n 0 1 2 0 2 1 0 m n 故平面AED 平面A1FD1 类型三利用空间向量求角 例3如图所示 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 点E F分别在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 过点E F的平面 与此长方体的面相交 交线围成一个正方形 1 在图中画出这个正方形 不必说明画法和理由 解答 交线围成的正方形EHGF如图所示 2 求直线AF与平面 所成角的正弦值 解答 作EM AB 垂足为M 则AM A1E 4 EM AA1 8 因为EHGF为正方形 所以EH EF BC 10 设n x y z 是平面EHGF的法向量 用向量法求空间角的注意点 1 异面直线所成角 两异面直线所成角的范围为0 90 需找到两异面直线的方向向量 借助方向向量所成角求解 2 直线与平面所成的角 要求直线a与平面 所成的角 先求这个平面 的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos n a 再利用公式sin cos n a 求 3 二面角 如图 有两个平面 与 分别作这两个平面的法向量n1与n2 则平面 与 所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补 所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角 反思与感悟 跟踪训练3如图 在几何体ABCDE中 四边形ABCD是矩形 AB 平面BEC BE EC AB BE EC 2 G F分别是线段BE DC的中点 1 求证 GF 平面ADE 证明 方法一如图 取AE的中点H 连接HG HD 由四边形ABCD是矩形 得AB CD AB CD 所以GH DF 且GH DF 从而四边形HGFD是平行四边形 所以GF DH 又DH 平面ADE GF平面ADE 所以GF 平面ADE 方法二如图 取AB中点M 连接MG MF 又G是BE的中点 可知GM AE 又AE 平面ADE GM平面ADE 所以GM 平面ADE 在矩形ABCD中 由M F分别是AB CD的中点 得MF AD 又AD 平面ADE MF平面ADE 所以MF 平面ADE 又因为GM MF M GM 平面GMF MF 平面GMF 所以平面GMF 平面ADE 因为GF 平面GMF 所以GF 平面ADE 2 求平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值 解答 方法一如图 在平面BEC内 过B点作BQ EC 因为BE CE 所以BQ BE 又因为AB 平面BEC 所以AB BE AB BQ 则A 0 0 2 B 0 0 0 E 2 0 0 F 2 2 1 设n x y z 为平面AEF的法向量 取z 2 得n 2 1 2 方法二同方法一 当堂训练 2 3 4 5 1 在 BCD中 因为点G是CD的中点 答案 解析 2 3 4 5 1 2 若a 0 1 1 b 1 1 0 且 a b a 则实数 的值是A 1B 0C 1D 2 a b 1 1 又由 a b a 知 a b a 0 0 1 1 1 1 0 解得 2 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知向量a 4 2m m 1 m 1 与b 4 2 2m 2 2m 平行 则m 1或3 当2 2m 0 即m 1时 a 2 0 0 b 4 0 0 满足a b 当2 2m 0 即m 1时 综上可知 m 3或m 1 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知平面 经过点O 0 0 0 且e 1 1 1 是 的一个法向量 M x y z 是平面 内任意一点 则x y z满足的