第二章数列极限习题解答.doc

第2章 数列极限2.1 数列极限的概念一 基本内容一、数列极限的定义在用定义证明极限时有两种方法1 分析法由不等式寻找与的关系，从而求N的方法称为分析法2 综合法由经放大得到n的简易表达式，从而求出N的方法称为综合法二、数列发散的定义数列发散外有的无穷多项”三、无穷小数列数列称为无穷小性质(1)无穷小的和差仍是无穷小； (2)无穷小的积仍是无穷小；(3)无穷小与有界量的积仍是无穷小；(4)为无穷小二 习题解答1 设，(1) 对下列分别求出极限定义中相应的N，；(2) 对可找到相应的N，这是否证明了趋于0？应该怎样做才对？(3) 对给定的，是否只能找到一个N？解：(1) 因为，所以时，故时，；时，；时，(2) 对可找到相应的N，这不能证明趋于0必须是，当时，才能证明的极限为0(3) 因为，而时，亦有，故N的选取不唯一2 按定义证明(1) 证：因为，所以，取，当时，故(2) 证：因为，所以，取，当时，故(3) 证：因为，所以，取，当时，故(4) 证：因为，所以，取，当时，故 (5) 证：设，则，且当时，于是，所以，取，当时，故3 指出哪些是无穷小数列？ (1) 解：因为，所以故是无穷小数列(2) 解：因为，所以故非无穷小数列(3) 解：因为，所以故是无穷小数列(4) 解：因为，所以故是无穷小数列(5) 解：因为，所以故是无穷小数列(6) 解：因为，所以故非无穷小数列 4 证明：若，则，证：因为，所以，于是当时，故5 用定义证明(1) 数列不以1为极限证：取，则，取，则，故数列不以1为极限(2) 数列发散证：，时，取，则，取，则，当时，取，则，取，则，故数列发散6 证明数列收敛于为无穷小数列，并用此结论证明证：设收敛于，则，即，于是，即为无穷小数列设为无穷小数列，则，于是，即因为，而是无穷小数列，所以7 证明若，则，举例说明反不成立证：因为，所以，此时亦有，故反之不成立，例如：，但不存在8 用语言证明(1) 证：因为，所以，取，则时，故(2) 证：因为，所以，取，则时，故(3) ，其中证：当时，；当时，所以，取，则时，故9 设，用语言证明提示：证：因为，所以，而，于是时，故10 利用上题结果求极限(1) 解：因为，所以，故(2) 解：因为，所以，故(3) 解：因为，所以故 (4) 提示：解：因为，所以故2.2 收敛数列的性质一 基本内容一、收敛数列的一般性质性质1 (唯一性) 若数列收敛，则极限唯一性质2 (有界性) 若数列收敛，则必有界性质3 (保号性) 若数列收敛，且，则性质(保号性) 如果，又，则性质4 (有序性) 设(1) 若，则；(2) 若，则性质5 (夹逼性) 设，且数列满足，则收敛，且二、收敛数列的四则运算定理1 若收敛，则也收敛，且(1) ；(2) ；(3) ；(4) 三、数列与其子列的关系数列是自然数集的一个无穷子集，且严格单调上升，则数列称为数列的子列，记作定理2 数列收敛的任一个子列都收敛，且极限相同二 习题解答1 求下列极限(1) 解：(2) 解：(3) 解：(4) 解：(5) 解： (6) 解：2 设，且，证明证：因为，且，所以取，则，取，则时，故结论成立3 设为无穷小数列,有界,证明为无穷小数列证：因为有界，所以，又为无穷小数列，所以，于是时，故为无穷小数列4 求下列极限(1) 解：(2) 解：(3) 解：设，则于是，所以(4) 解：因为 ， 而时，又，所以(5) 解：因为，而，所以(6) 解：因为，而，所以(7) 解：同上得 (8) 解：因为，所以(9) 解：因为，而，所以5 设与一个是收敛数列，一个发散数列，证明是发散数列又问和是否必为发散数列证：不妨设数列发散，数列收敛，假设数列收敛，则收敛，但发散，矛盾，故发散此结论对和不成立，例如，则，6 证明下列数列发散(1) 证：因为为奇数时，为偶数时，所以发散(2) 证：因为为奇数时，发散，所以发散(3) 证：因为时，时，所以发散7 判断下列结论是否成立(若成立，给出证明；若不成立，举出反例) (1) 若和都收敛，则收敛；(2) 若都收敛,且极限相同,则收敛解：(1)结论不成立，例如：，(2)结论成立实因：都收敛，且极限相同，不妨设，则，取，则时，故收敛8 求下列极限(1) 解：因为时，假设时结论成立，即，则时，所以，故(2) 解：因为，所以，故(3) ，解：因为，所以，从而，于是，而，所以(4) ，解：因为，所以9 设为个正数，证明证：设，则，而，所以10 设，证明(1) 证：因为，所以，而，故(2) 若，则证：因为，所以取，则，从而，于是，故2.3 数列极限存在的条件一 基本内容一、单调有界定理定义1 数列 ，数列 数列 (严格单调上升)，数列 (严格单调下降)定理1 单调有界数列必有极限推论 如果且单调上升，则；如果且单调下降，则二、柯西收敛准则数列收敛数列发散二 习题解答1 利用求下列极限(1) 解：(2) 解：(3) 解：(4) 解：(5) 解：(6) ， 提示：解：因为，所以2 试问下面的解题方法是否正确？求解：设及，由于，两边取极限得，所以解：给出的解题方法错误实因在的极限存在时，才能设，而发散，所以出现了错误的结论3 证明下列数列极限存在，并求其值(1) 设，解：因为，假设时，则时，从而又，所以 ，于是由单调有界定理知收敛设，对等式两边取极限得，由此得，(舍去)，故(2) 设，解：因为，假设时，则时，从而又，于是，所以，即 由单调有界定理知收敛，设，对等式两边取极限得，解之得，(舍去)，故(3) 设，解：当时，而，故4 利用为递增数列的结论，证明为递增数列证：因为，所以，于是，故 5 应用柯西收敛准则，证明下列数列收敛(1) 证：因为，所以，取，当时，故由柯西收敛准则知收敛(2) 证：因为，所以，取，当时，故由柯西收敛准则知收敛6 证明：若单调数列含有一个收敛子列，则收敛证：不妨设，且有收敛子列，记，则，且于是，即有上界，故由单调有界定理知结论成立7 证明：若，且，则证：因为，且，所以取，则即因为改变数列的有限项不改变数列的敛散性，所以不妨设，于是，而，故由夹逼性定理知8 证明：若为递增(递减)有界数列，则，又问逆命题是否成立证：设 ，因为有界，从而有上确界，设，则，且，由单调性知时，即，故 同理可证 时，9 利用不等式，证明为递减数列，并由此推出为有界数列证：当时，有，于是取，则，从而，即，故 而，故有界10 证明：证：因为，且，又 ，且，所以，于是故结论成立11 给定两个正数，令 ，证明、存在且相等证：因为，所以且有上界； 且有下界，故由单调有界定理知、存在设，在等式两边取极限得，从而，故结论成立12 设为有界数列，记，证明 (1) 为递减有界数列，为递增有界数列，且证：因为，所以，而，所以，于是当时，；当时，；当时，故结论成立(2) 设，则证：在不等式两边取极限即知结论成立(3) 收敛证：设，则，即，从而，于是，故由的任意性知总练习题21 求下列数列的极限(1) 解：因为，而，所以由夹逼性定理知(2) 解：因为，而，所以由夹逼性定理知 (3) 解：2 证明：(1) 证：当，结论显然成立，当时，由知，令，则，于是而，又，所以(2) 证：因为，而，所以(3) 证：因为，所以且，故结论成立3 设，证明(1) ，又问此等式能否反过来推出证：因为，所以，固定，设，则时，而，所以就上述，取，则时，故反之不成立，例如，但发散(2) 若，则证：因为，所以当时，由平均不等式得，从而当时，则，于是，而，所以4 应用上题结论证明下列各题(1) 证：因为，所以(2) 证：设，则，于是(3) 证：设，则，于是(4) 证：设，则，于是(5) 证：因为，所以，于是由3(2)题的结论得，从而(6) 证：因为，所以(7) 若，则证：设，则，于是 5 证明：若为递增数列，为递减数列， 且，则与都存在且相等证：因为 ， ，所以数列 又，于是，从而由此知有上界，有下界，故与都存在设，则，综上可知结论成立6 利用单调有界数列必有极限的证明下列极限收敛，并求其极限(1) 解：因为，假设时，则时，所以有下界5又，所以，由单调有界定理知收敛设，在等式两边取极限得，解之得，故为所求(2) 解：因为，假设时，则时，,所以有上界又，从而，由单调有界定理知收敛设，在等式两边取极限得，解之得 ，故为所求(3) 解：因为，假设时，则时，所以有上界又，所以，由单调有界定理知收敛设，在等式两边取极限得，解之得， 故为所求(4) 解：因为，假设时，则时，所以有下界又，所以，由单调有界定理知收敛设，在等式两边取极限得，解之得，故为所求(5) 解：因为，假设时，则时，所以有下界又，所以，由单调有界定理知收敛设，在等式取极限得，解之得， 故 为所求7 设数列满足，对一切，证明数列与都收敛证：因为，所以有上界，又 ，故由单调有界定理知收敛于是，由柯西收敛准则知，即从而时，故由柯西收敛准则知收敛8 设,证明数列收敛，且其极限为解：因为，假设时，则当时，所以有下界又，所以，由单调有界定理知收敛设，在等式两边取极限得，解之得， 故为所求9 设，记，证明数列与的极限都存在且等于证：因为，所以于是，又， ，从而 且有下界， 且有上界，故，收敛设，在等式，两边取极限得，从而得又，所以，故10 按柯西收敛准则叙述数列发散的充分必要条件，并用它证明下列数列是发散的(1) ； (2) 解：发散，(1)取，则，取，于是，且，故发散(2)取，则，取，于是，且，故发散11 设，记，证明 (1) ； (2) 提示：参考第一章总练习题1证：(1)因为，所以(2)因为，所以12 证明下列不等式(1) ，证：因为，所以(2) 证明：证：因为 ，且， 所以又 ，且，所以故(3) 证明：证：因为，所以 而，于是故又，所以，而，所以从而，故综上可知(4) 证明：证：因为 ， 当时，令，则(5) 证明：证：(6) 证明：证：因为，而，所以13 求极限解：当时，所以此时当时，所以此时当