数学归纳法1.ppt

数学归纳法 回想等差数列通项公式的推倒过程 像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法 叫做归纳法 思考 归纳法有什么优点和缺点 优点 可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律 缺点 仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的 举例说明 一个数列的通项公式是 an n2 5n 5 2请算出a1 a2 a3 a4 猜测an 由于a5 25 1 所以猜测是不正确的 所以由归纳法得到的结论不一定可靠 1 1 1 1 猜测是否正确呢 在使用归纳法探究数学命题时 必须对任何可能的情况进行论证后 才能判别命题正确与否 思考1 与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢 思考2 如果一个数学命题与正整数n有关 我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢 多米诺骨牌成功的关键有两点 1 第一张牌被推倒 2 假如某一张牌倒下 则它的后一张牌必定倒下于是 我们可以下结论 多米诺骨牌会全部倒下 基础 依据 证明一个与正整数n有关的数学命题关键步骤如下 这种证明方法叫做数学归纳法 1 证明当n取第一个值n0时命题成立 完成这两个步骤后 就可以断定 命题对从开始的所有正整数n都成立 2 假设当时 命题成立证明当时 命题也成立 基础 依据 证明 1 当n 1时 等式是成立的 2 假设当n k时等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知等式对任何都成立 试用数学归纳法证明 因此数学归纳法是一种科学的递推方法 1 是递推的基础 2 是递推的依据 例2 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 n2 2 假设n k时 等式成立 即 1 n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 1 3 5 2k 1 k2 那么当n k 1时 由 可知对任何n N 时 等式都成立 需要证明的式子是 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 2k 1 k 1 2 这就是说 当n k 1时 等式也成立 例3 用数学归纳法证明 右边 那么当n k 1时 2 假设当n k时 等式成立 等式成立 证明 1 当n 1时 左边 12 1 就是 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知的等式对任何都成立 思考 试问等式2 4 6 2n n2 n 1成立吗 某同学用数学归纳法给出了如下的证明 请问该同学得到的结论正确吗 解 设n k时成立 即 这就是说 n k 1时也成立 2 4 6 2k k2 k 1 则当n k 1时2 4 6 2k 2 k 1 k2 k 1 2k 2 k 1 2 k 1 1 所以等式对任何n N 都成立 事实上 当n 1时 左边 2 右边 3左边 右边 等式不成立 该同学在没有证明当n 1时 等式是否成立的前提下 就断言等式对任何n N 都成立 为时尚早 证明 当n 1时 左边 右边 假设n k时 等式成立 那么n k 1时 等式成立 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n N 都成立 即 第二步的证明没有在假设条件下进行 因此不符合数学归纳法的证明要求 因此 用数学归纳法证明命题的两个步骤 缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 缺了第一步递推失去基础 缺了第二步 递推失去依据 因此无法递推下去 答 不一定 举例说明 用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是 此时n取的第一值 用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题时 需注意 要完成两个证明 一个结论 1 在完成第一个证明时 弄清n取的第一个值是多少 2 在第二步中 要弄清当n k 1时 我们要证明的是什么 并且这个证明要在假设条件下进行 不能脱离假设条件 否则不符合数学归纳法的证明要求 2 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是 1 证明当取第一个值 如或2等 时命题成立 递推基础 在完成了这两步骤以后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 1 数学归纳法适用范围 仅限于与正整数有关的数学命题 3 数学归纳法优点 克服了完全归纳法的繁杂 不可行的缺点 又克服了不完全归