高中数学第二章解三角形2三角形中的几何计算课件北师大版必修5

第二章解三角形 2三角形中的几何计算 1 能够运用正弦定理 余弦定理处理三角形中的计算问题 2 能够运用正弦定理 余弦定理进行平面几何中的推理与证明 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一平面图形中的计算问题 画出图形 理清已知条件 要求的目标 根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件 答案 梳理 对于平面图形的长度 角度 面积等计算问题 首先要把所求的量转化到三角形中 然后选用正弦定理 余弦定理解决 构造三角形时 要注意使构造三角形含有尽量多个已知量 这样可以简化运算 知识点二平面图形中的最值问题 思考 先求出两直线交点坐标 4k 3k 再把约束条件 点在圆上或内部 转化为代数式 4k 2 3k 2 9 从中求得k的最大值为 问题 直线x 2y 2k 0与直线2x 3y k 0的交点在圆x2 y2 9上或圆的内部 如何求k的最大值 答案 梳理 类似地 对于求平面图形中的最值问题 首先要选用恰当的变量 然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系 借助于三角函数的相关知识求最值 知识点三解三角形常用公式 在 ABC中 有以下常用结论 1 a b c b c a c a b 2 a b 3 A B C 4 sin A B cos A B sinA sinB A B sinC cosC 5 三角形常用面积公式 题型探究 类型一利用正弦 余弦定理求线段长度 例1如图所示 在四边形ABCD中 AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 求BC的长 解答 在 ABD中 由余弦定理 得AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB 设BD x 则有142 102 x2 2 10 xcos60 x2 10 x 96 0 x1 16 x2 6 舍去 BD 16 在 BCD中 反思与感悟 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系 再利用正弦 余弦定理求解 跟踪训练1如图所示 在 ABC中 已知BC 15 AB AC 7 8 sinB 求BC边上的高AD的长 解答 在 ABC中 由已知设AB 7x AC 8x x 0 又 0 7x 知B也为钝角 不合题意 故C 120 C 60 由余弦定理 得 7x 2 8x 2 152 2 8x 15cos60 x2 8x 15 0 解得x 3或x 5 AB 21或AB 35 解答 类型二利用正弦 余弦定理求角度问题 设BE x 在 BDE中 利用余弦定理 可得BD2 BE2 ED2 2BE ED cos BED 在 ABC中 利用余弦定理 反思与感悟 运用正弦 余弦定理解决有关问题时 需根据需要作出辅助线构造三角形 再在三角形中运用定理求解 解答 又0 A 180 A 60 在 ABC中 C 180 A B 120 B 类型三利用正弦 余弦定理解决平面几何中的面积问题 例3已知 ABC的角A B C所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinB sinA p b 2 a 2 1 若m n 求证 ABC为等腰三角形 证明 证明 m n asinA bsinB a2 b2 a b ABC为等腰三角形 2 若m p 边长c 2 角C 求 ABC的面积 解答 由题意可知m p 0 即a b 2 b a 2 0 a b ab 由余弦定理可知 4 a2 b2 ab a b 2 3ab 即 ab 2 3ab 4 0 ab 4 舍去ab 1 反思与感悟 解本题的关键是灵活运用正弦定理 余弦定理和三角形的面积公式 并能熟练地运用公式进行求值 跟踪训练3 1 在 ABC中 若已知三边为连续整数 最大角为钝角 求最大角的余弦值 解答 设三边长分别为a 1 a a 1 由于最大角是钝角 所以 a 1 2 a2 a 1 2 0 解得0 a 4 又因为a为整数 所以a 1或2或3 当a 1时 a 1 0 不合题意舍去 当a 2时 三边长为1 2 3 不能构成三角形 当a 3时 三边长为2 3 4 设最大角为 则 2 求以 1 中的最大角为内角 相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积 解答 设相邻两边长分别为x y 则x y 4 当堂训练 1 三角形的两边长为3cm 5cm 其夹角的余弦值是方程5x2 7x 6 0的根 则此三角形的面积是 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 在 ABC中 周长为7 5cm 且sinA sinB sinC 4 5 6 下列结论 a b c 4 5 6 a b c 2 a 2cm b 2 5cm c 3cm A B C 4 5 6其中成立的个数是A 0B 1C 2D 3 答案 解析 1 2 3 4 5 由正弦定理知a b c 4 5 6 故 对 错 错 结合a b c 7 5 知a 2 b 2 5 c 3 对 选C 1 2 3 4 5 3 ABC中 若A 60 b 16 此三角形面积S 则a的值为A 7B 25C 55D 49 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 在 ABC中 a b 12 A 60 B 45 则a 答案 解析 1 2 3 4 5 5 在 ABC中 三个角A B C的对边边长分别为a 3 b 4 c 6 则bccosA accosB abcosC的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 规律与方法 1 正弦 余弦定理