高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件 新人教B版选修11.ppt

第二章 圆锥曲线与方程 2 1椭圆2 1 1椭圆及其标准方程 学习目标 1 了解椭圆的实际背景 了解从具体情境中抽象出椭圆的过程 椭圆标准方程的推导与化简过程 2 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 命题甲 动点p到两定点a b的距离之和 pa pb 2a a 0且a为常数 命题乙 点p的轨迹是椭圆 且a b是椭圆的焦点 则命题甲是命题乙的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析若p点的轨迹是椭圆 则一定有 pa pb 2a a 0 且a为常数 所以命题甲是命题乙的必要条件 若 pa pb 2a a 0 且a为常数 不能推出p点的轨迹是椭圆 这是因为 仅当2a ab 时 p点的轨迹是椭圆 而当2a ab 时 p点的轨迹是线段ab 当2a ab 时 p点无轨迹 所以命题甲不是命题乙的充分条件 综上可知 命题甲是命题乙的必要不充分条件 答案b 预习导引 1 椭圆 平面内与两个定点f1 f2的的点的轨迹 或集合 叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 距离之和等于定长 大于 f1f2 焦距 焦点 2 椭圆的标准方程 0 c 0 c c2 a2 b2 c2 a2 b2 c 0 c 0 要点一用待定系数法求椭圆的标准方程例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解方法一因为椭圆的焦点在x轴上 由椭圆的定义知 所以b2 a2 c2 10 4 6 2 若椭圆经过两点 2 0 和 0 1 求椭圆的标准方程 解方法一当椭圆的焦点在x轴上时 椭圆经过两点 2 0 0 1 当椭圆的焦点在y轴上时 椭圆经过两点 2 0 0 1 与a b矛盾 故舍去 方法二设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 椭圆过 2 0 和 0 1 两点 规律方法求椭圆的标准方程时 要 先定型 再定量 即要先判断焦点位置 再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程 最后由条件确定待定系数即可 当所求椭圆的焦点位置不能确定时 应分焦点在x轴上和焦点在y轴上进行讨论 但要注意a b 0这一条件 当已知椭圆经过两点 求椭圆的标准方程时 把椭圆的方程设成mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式有两个优点 列出的方程组中分母不含字母 不用讨论焦点所在的坐标轴 从而简化求解过程 跟踪演练1求适合下列条件的标准方程 1 两个焦点坐标分别是 3 0 3 0 椭圆经过点 5 0 解因为椭圆的焦点在x轴上 所以a 5 c 3 所以b2 a2 c2 52 32 16 2 两个焦点坐标分别是 0 5 0 5 椭圆上一点p到两焦点的距离之和为26 解因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 所以a 13 c 5 所以b2 a2 c2 144 要点二椭圆定义的应用例2如图所示 点p是椭圆上的一点 f1和f2是焦点 且 f1pf2 30 求 f1pf2的面积 又 p在椭圆上 由余弦定理知 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos30 f1f2 2 2c 2 4 式两边平方 得 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 20 规律方法在椭圆中由椭圆上的点 两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多 要解决这些题目 我们经常利用椭圆的定义 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式 这就需要我们在解题时 要充分理解题意 分析条件 利用椭圆定义 正弦定理 余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系 在解题中 经常把 pf1 pf2 看作一个整体来处理 跟踪演练2已知椭圆的方程为 椭圆上有一点p满足 pf1f2 90 如图 求 pf1f2的面积 在 pf1f2中 由勾股定理可得 pf2 2 pf1 2 f1f2 2 即 pf2 2 pf1 2 4 又由椭圆定义知 pf1 pf2 2 2 4 所以 pf2 4 pf1 从而有 4 pf1 2 pf1 2 4 要点三与椭圆有关的轨迹问题例3已知b c是两个定点 bc 8 且 abc的周长等于18 求这个三角形的顶点a的轨迹方程 解以过b c两点的直线为x轴 线段bc的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系xoy 如图所示 由 bc 8 可知点b 4 0 c 4 0 由 ab ac bc 18 得 ab ac 10 因此 点a的轨迹是以b c为焦点的椭圆 不包括与x轴的两交点 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a 10 由a 5 c 4 得b2 a2 c2 25 16 9 又因为点a不在x轴上 规律方法利用椭圆的定义求轨迹方程 是先由条件找到动点所满足的条件 看其是否符合椭圆的定义 再确定椭圆的方程 特别注意点a不在x轴上 因此y 0 跟踪演练3已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过b且与圆a内切 求圆心p的轨迹方程 解如图 设圆p的半径为r 又圆p过点b pb r 又 圆p与圆a内切 圆a的半径为10 两圆的圆心距 pa 10 r 即 pa pb 10 大于 ab 点p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 2a 10 2c ab 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 1 设f1 f2为定点 f1f2 6 动点m满足 mf1 mf2 6 则动点m的轨迹是 a 椭圆b 直线c 圆d 线段解析 mf1 mf2 6 f1f2 动点m的轨迹是线段f1f2 1 2 3 4 d 2 若方程表示焦点在y轴上的椭圆 则实数m的取值范围是 a 98 1 2 3 4 1 2 3 4 即实数m的取值范围是8 m 25 答案b 3 m n 0 是 方程mx2 ny2 1表示焦点在y轴上的椭圆 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 1 2 3 4 答案c 1 2 3 4 1 2 3 4 则 df1 df2 2a 6 d f1 f2分别为mn am bm的中点 bn 2 df2 an 2 df1 an bn 2 df1 df2 12 答案12 课堂小结1 平面内到两定点f1 f2的距离之和为常数 即 mf1 mf2 2a 当2a f1f2 时 轨迹是椭圆 当2a f1f2 时 轨迹是一条线段f1f2 当2a f1f2 时 轨迹不存在 2 对于求