抽象函数经典习题.doc

经典习题11. 若函数的定义域为,则函数的定义域为( )A. B. C. D.2. 若 A102 B99 C101 D1003. 定义R上的函数满足：（ ） A B2 C4 D64. 定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是_.5. 已知函数是定义在(0,+)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_.6. 已知函数是定义在（-，3上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。7. 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,求数列的前项和.8. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。9. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, 0. (1)求; (2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明.10. 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:.11. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B=,若 =,试确定的取值范围.12. 已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值; (2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足 条件的函数至少一个周期的图象.13. 函数对于x0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：； （2）若成立，求x的取值范围。14. 设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有 （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数， 并证明你的结论 1. B 2. A 3. A 4. ,解:由得, ,得5. ；解：令，则，则. 函数是定义在(0,+)上的增函数 , 由得，不等式的解集为。6. ；解：等价于 7. （1）解：令，则 令，则 （2）证明：令，则， 令，则 是奇函数。 （3）当时，令，则 故，所以，故8. （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而11. (1)证明:令,则 当时,故,当 时, 当时,则 (2)证明: 任取,则,0,故0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。解 （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x2时，4. 已知f(x)在(1，1)上有定义，f()1，且满足x，y(1，1)有f(x)f(y)f()证明：f(x)在(1，1)上为奇函数；对数列x1，xn1，求f(xn);求证()证明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0令yx，则f(x)f(x)f(0)0f(x)f(x)0 f(x)f(x)f(x)为奇函数 ()解：f(x1)f()1，f(xn1)f()f()f(xn)f(xn)2f(xn)2即f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列f(xn)2n1()解： 而 6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。 故即原式成立。 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证解：（1）取可得又由条件，故（2）显然在0，1满足条件；-也满足条件 若，则 ，即满足条件， 故理想函数 （3）由条件知，任给、0，1，当时，由知0，1，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值；()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式； ()若数列bn满足，将数列bn的项重新组合成新数列，具体法则如下：，求证：。解：()令，得，令，得，由、得，又因为为单调函数，()由（1）得，()由Cn的构成法则可知，Cn应等于bn中的n项之和，其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1，即这一项为2+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1），令，有，.再令，有， （2）,又是定义域上单调函数， 当时，由，得，当时， 由，得，化简，得，即，数列为等差数列. ，公差.，故. （3），令=,而. =， ，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=， ，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为.11. 设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当x0时，0f（x）1。（1）求证：f（0）=1，且当x1；（2）求证：f（x）在R上单调递减；（3）设集合，若，求a的取值范围。解：（1）令m=1，n=0，得f（1）= f（1）f（0）又当x0时，0 f（x）1，所以f（0）=1设x0令m=x，n=x，则f（0）= f（x）f（x）所以f（x）f（x）=1又0 f（x）0恒成立所以所以所以f（x2）0使，试问f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。解：（1）令a=b=0则f（0）+ f（0）=2 f（0）f（0）所以2 f（0）f（0）1=0又因为，所以f（0）=1（2）令a=0，b=x，则f（x）+ f（x）=2 f（0）f（x）由f（0）=1可得f（x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函数。（3）令，则因为所以f（x+c）+ f（x）=0所以f（x+c）= f（x）所以f（x+2c）= f（x+c）= f（x）= f（x）所以f（x）是以2c为周期的周期函数。16.设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-20032003时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；（3）解关于的不等式，其中.分析与解：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，则f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)为奇函数设3x1x23，y=x1，x=x2则f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因为x0时，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在区间2003、2003上单调递减x=2003时，f(x)有最大值f(2003)=f(2003)=f(2002+1)=f(2002)+f(1)=f(2001)+f(1)+f(1)=2003f(1)=4006。x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= 4006。由原不等式，得f(bx2) f(b2x)f(x) f(b)。即f(bx2)+f(b2x)2f(x)+f(b)f(bx2b2x)2 f(xb)，即fbx(xb)f(xb)+f(xb)fbx(xb)f2 f(xb)由f(x)在xR上单调递减，所以bx(xb)2(xb)，(xb)(bx2) 0b22, b或b当b时，b，不等式的解集为当b时，b，不等式的解集为当b=时，不等式的解集为当b=时，不等式解集为17.已知定义在上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（）试求的值；（）判断并证明函数的单调性；（）若函数存在反函数，求证：分析与解：（）在中，令，则有即：也即：由于函数的值域为，所以，所以（）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故（）式成立所以，任取，且，则，故且所以，所以，函数在R上单调递减（）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，为了证明本题，需要考虑的关系式在（）式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：不难验证：对于任意的，上式都成立（根据一一对应）这样，我们就得到了的关系式这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端事实上，由于，所以，所以，点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定的值19.设函数的定义域为全体R，当xbc1,且a、b、c成等差数列，求证：；（3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且mn0时，有，求证：解：(1)取x=1,q=2,有若存在另一个实根，使得（2），则0，又a+c=2b,ac-b=即acb(3)又令m=b,n=,b且q则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且即4m=,由0n1得，23. 设是定义域在上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（l）求证在上是减函数；（ll）如果，的定义域的交集为空集，求实数的取值范围；（lll）证明若，则，存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.解：（1）奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负 对于任意且有从而与异号在上是减函数（2） 的定义域为 的定义域为 上述两个定义域的交集为空集 则有： 或解得：或故c的取值范围为或（3） 恒成立 由(2)知：当时 当或时且 此时的交集为当 且 此时的交集为故时，存在公共定义域，且当或时，公共定义域为；当时，公共定义域为.28.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；解:（1）由已知对于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函数.（2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-）0，（11分）讨论：（1）当a0，即a-时，原不等式解集为x | x或xa；（2）当a=0即a=-时，原不等式的解集为；（3）当a0时，即-a0时，原不等式的解集为x | xa或x33.己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？