78对数平均不等式的源与流

中国高考数学母题一千题(第0001号)对数平均不等式的源与流生成二元函数不等式的一个母题 对于正数a,b,除算术平均值A(a,b)=、几何平均值G(a,b)=外,还有对数平均值L(a,b)=(ab),它们之间除众所周知的均值不等式:G(a,b)A(a,b)外,还有加细不等式:G(a,b)L(a,b)0,b0,ab,求证:.母题解析:不妨设ab0,则lna-lnb2(1-)ln1),f(t)=lnt-2(1-),则(t)=-=0f(t)在(1,+)上单调递增f(t)f(1)=0;令=t(t1),g(t)=2(t-)-lnt,则(t)=2(1+)-=2(-)2+0g(t)在(1,+)上单调递增g(t)g(1)=0. 若用ea,eb分别替代加细基本不等式中的a,b可得:e(a,bR,ab),该不等式与加细基本不等式等价,它们具有深刻背景,它是阿达玛(Hadamard)积分不等式的特例: 阿达玛积分不等式:设f(x)是区间(m,n)上的凹函数,则对任意的a、b(m,n),且af(); 阿达玛积分不等式具有明显的几何意义:如图,设直线x=a与x轴相交于点A,与曲线y=f(x)相交于点D,直线x=b与x轴相交于点B,与曲线y=f(x)相交于点C,直线x=与x轴相交于点M,与曲线y=f(x)相交于点N,设曲线在点N处的切线l与直线AD,BC分别交于点D,E;由f(x)在区间(m,n)上是凹函数曲线y=g(x)不在切线l的下方梯形ABCD的面积曲边梯形ABCD的面积梯形ABED的面积(b-a)f()(b-a)f(). 1.对数平均不等式 子题类型:(2014年全国高中数学联赛山东预赛试题)设0ab,证明:.解析:为对数平均不等式的部分,采用主元法证明:由lnb-lnaa),则(x)=-0f(x)在(a,+)上单调递减f(x)f(a)=0f(b)0lnb-lna0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数;()设a0),则(x)=h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,且hmin(x)-k(2)=;当0m0)公共点的个数为0;当m=时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数为1;当m时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数为2;()由f(x)=ex=,=,由加细基本不等式知,.点评通过换元易知,对数平均不等式:(a,b0,ab)指数平均不等式:e(a,bR,ab). 3.构造商函数 子题类型:(2012年辽宁高考理科试题)设f(x)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=在(0,0)点相切.()求a,b的值;()证明:当0x2时,f(x)ln(x+1);而f(x)=ln(x+1)+-1+-10成立.故当0x2时,f(x).点评:对数平均不等式是二元不等式,通过恰当的赋值可得许多一元不等式,如ln(1+x),当0x3时,ln(1+x)n0,求证:lnm-lnn.2.(2013年陕西高考文科试题)已知函数f(x)=ex,xR.()求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;()证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点;()设a0,且x1时,f(x).4.(2007年山东高考试题)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b0.()当b时,判断函数f(x)在定义域上的单调性; ()求函数f(x)的极值点;()证明:对任意的正整数n,不等式ln(+1)-都成立.5.(2015年全国高中数学联赛辽宁预赛试题)设实数a,b,满足0ab,01.()证明:lna+10,b0,求证:+f(1)=0lnm-lnn.2.解:()()略;()由f(x)=exf()=e,=,由加细基本不等式知,ef().3.解:()f(x)的定义域为(0,+);由f(x)=+(x)=-;由曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0f(1)=1,(1)=-b=1,a-b=-a=1,b=1;()由f(x)=+f(x)(*);当0xx;当x1时,(*)x;由=x.4.解:()当b时,由f(x)的定义域为(-1,+),(x)=(x+)2+0f(x)在定义域上的单调递增;()当b时,(x)0f(x)在定义域上单调递增f(x)无极值点;当0b-1,x2=-+f(x)在(0,x1)和(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2;当b0时,由(x)=0x1=-ln(x+1)x2-x3;由;而x2-x32x(1-x)(x+2)成立,故ln(x+1)x2-x3.5.解:()由lna+1lnb+1(b-a)(lna+1)blnb-alna(b-a)(lnb+1)b-ab(lnb-lna),且a(lnb-lna)b-aab;由0aba;又由ab;()令g()=alna+(1-)blnb-a+(1-)blna+(1-)b(01),则()=alna-blnb-(a-b)lna+(1-)b-(a-b)=(a-b)-lna+(1-)b-1()=-0,(1)=(a-b)