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有限覆盖定理 使得 证明 用反证法 则存在有限子系 假设不然 即 不能被 将这样的一半记作 如果两半都如此 任取其一 中有限个开区间覆盖 其中至少 这样我们得到区间套 存在唯一点 由区间套定理知 因为 与区间套的构做方式矛盾 开区间 被开区间系 覆盖 存在有限子系 使得 例如 令 则 但不能被其任意一个有限子系覆盖 闭区间 被闭区间系 覆盖 存在有限子系 使得 例如 令 则 但不能被其任意一个有限子系覆盖 1 非空实数集若有上 下 界则必有上 下 确界 2 单调有界数列必收敛 3 区间套定理 4 有界数列必有收敛子列 5 数列收敛当且仅当它是Cauchy列 6 有限覆盖定理 以上六条等价 已经证过的结论 单调有界必有极限 2 有上界必有上确界 1 设A是一个非空实数集 某个元素不是自己的上界 有上界 不妨设A的 将此元素记作 A的一个上界记作 则令 否则令 令 令 如此我们得到一个数列 有下界 记 易知 其每一项都是A的 一个上界 数列 单调减少 所以收敛 由保序性 所以s是上确界 因为 所以 有限覆盖定理 6 因为没有收敛子列 存在有限个 使得 Bolzano定理 4 分别是其一个下界 一个上界 所以 由有限覆盖定理 因为每个开区间 只含 中有限项 中有限项 矛盾 项 中 有限覆盖定理 6 中至少有一个 记 这样找到有界数列 存在收敛子列 假设 开区间都不能覆盖 中 记作 由例题的结论 Bolzano定理 4 记 则 且 有 因为 所以 使得 所以 且 Cauchy收敛准则 5 单调有界必收敛 2 但发散 由Cauchy收敛准则知 对于 存在 对于 存在 对于 存在 所以 使得 使得 使得 矛盾 1 2 3 4 5 6 有上 下 界则必有上 下 确界 Cauchy收敛准则 Bolzano定理 区间套定理 单调有界必收敛 有限覆盖定理 邻域 即 开区间 聚点 设集合 若对于任意正数 例如 A中每个点都是A的 聚点 也都是A的聚点 例如 则A只有一个聚点 是A的一个聚点的充要条件是 命题 从而有收敛子列 记 7 有界无穷集必有聚点 证明 任取 设A是有界无穷集 是有界无穷集 任取 是有界无穷集 任取 含有A中无穷多个点 记 1 A是有限集 这些项组成的子列是常数列 收敛 2 A是无限集 此时A有聚点 记a是A的 一个聚点 记作 令 中标号大于n1的一项 记作 因为 从而 令 中标号大于n2的一项 记作 1 2 3 5 6 有上 下 界则必有上 下 确界
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