【教学设计】《向量数量积的物理背景与定义》（人教B版）.docx

向量数量积的物理背景与定义 教材分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，在数学、物理等学科中的应用十分广泛。本节课的主要任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质和运算规律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。 教学目标【知识与能力目标】（1） 通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和物理意义；（2） 通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。【过程与方法能力目标】（1）通过物理中的“功”等实例，引出向量数量积的概念；（2）运用几何直观引导学生理解定义的实质。【情感态度价值观目标】由物理背景出发引出数量积概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养学生自主探索的能力。 教学重难点【教学重点】向量的数量积的定义和性质。【教学难点】对数量积定义的理解和应用。 课前准备 多媒体课件。 教学过程1、 新课导入一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）那么，力F所做的功W应该怎么计算？W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果。2、 探求新知1.向量的夹角两个非零向量a和b，作OA= a， OB= b。则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作并规定，0在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有 =2.特殊情况（1）=0 a与b同向（2）= a与b反向（3）=2 a与b垂直 记作ab3.注意：在两个向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的。在讨论垂直问题时规定零向量与任意向量垂直。4.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l，作OA= a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影。5.正射影的数量向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量。记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为，则有：al=|a|cos。6.向量的数量积（内积）定义定义：|a| |b|cos叫做向量a和b的数量积（或内积）记作ab即：ab= |a| |b|cos7.说明：（1）数量积a b等于a的长度与b在a方向上正射影的数量| b|cos的乘积。（2）两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一个向量。（3）零向量与任意向量的数量积为0，即0a=0。（4）这是一种新的运算法则，“”不能省略不写，ab不能写成ab，ab表示向量的另一种运算。（5）ab表示数量而不表示向量，决定其结果有三个量，这是与实数乘法的最大区别。（6）在运用数量积公式解题时，一定要注意向量的夹角的取值范围是0。三、总结根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质。（1）如果e是单位向量，则 ae=ea=|a|cos（2）abab=0，且ab=0ab（3）aa=|a|2，即|a|