高教社杯全国大学生数学建模竞赛

欢迎下载本文档参考使用，如果有疑问或者需要CAD图纸的请联系q14844063212009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 冷亦琴 2. 徐莹 3. 顾冬冬 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：15艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。问题一:由附件1中的数据，我们可以建立两个模型总体回归模型和个人回归模型来确定最佳治疗终止时间。总体回归模型：对附件1所有病人的数据进行拟合，分析可得，对CD4，在第29.3679周时CD4浓度最高 对HIV，在第24.5758周时HIV浓度最低因此：最佳治疗终止时间为26.9719周（保留4位小数）；个人回归模型: 把附件1里病人分为重度、中度和轻度三类，再分别对各类病人的数据分别进行拟合，分析可得，对于CD4,三类病人分别有75.97%、79.45%、72.44%的概率结束治疗对于HIV，三类病人分别有86.05%、89.04%、96.85%的概率结束治疗三类病人的最佳终止治疗时间为：21.29、20.23、20.65周；问题二：我们把附件2中的数据按年龄划分为四段，使用线性规划模型方法，用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法13用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t=20左右达到最大.。 对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效。表明只有1425岁的年轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法。问题三： 在问题二的基础上，以治疗的费用为输入，利用MATLAB语句可比较出：对于第一年龄阶段，在治疗阶段1，疗法2和3比较优；在治疗阶段2，疗法1和2比较优；在治疗阶段3，疗法1和3比较优；在治疗阶段4，疗法2和3比较优。所以该年龄阶段考虑疗法2和3比较合适。对于第二年龄阶段，在治疗阶段1，疗法2，3和4比较优；在治疗阶段2，疗法1和4比较优；在治疗阶段3，疗法2，3和4比较优；在治疗阶段4，疗法3比较优。该年龄阶段考虑疗法3和4比较好。对于第三年龄阶段，在治疗阶段1，疗法2，3和4比较优；在治疗阶段2，疗法4比较优；在治疗阶段3，疗法3和4比较优；在治疗阶段4，疗法2和3比较优。所以该年龄阶段考虑疗法2，3和4都是可以的。对于第四年龄阶段，在治疗阶段1，疗法3和4比较优；在治疗阶段2，疗法2和4比较优；在治疗阶段3，疗法1和3比较优；在治疗阶段4，疗法2比较优。所以该年龄阶段考虑疗法2和3比较合适。关键词：总体回归，个人回归，HIV，CD4，最佳终止治疗时间一、问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。二、模型假设1、药物的疗效仅通过患者体内CD4和HIV的浓度的变化来判断，在CD4浓度最大且HIV浓度最低时，治疗效果最好；2、同类患者在相同的环境中接受相同的药物治疗，且药物对其具有相同的效果；3、不考虑体质、性别等因素对患者服药后体内CD4和HIV的浓度的影响。三、符号说明第i个病人第j次测量的测量时间第i个病人第j次测量的测量值（CD4或HIV）最佳结束治疗时间总体回归模型中常数项、一次项系数、二次项系数个人回归模型中第i个病人回归方程的常数项、一次项系数、二次项系数个人回归模型的的均值以CD4浓度做判断标准的结束治疗概率以HIV浓度做判断标准的结束治疗概率t治疗的时间四、模型的建立和求解问题一：利用附件1的数据确定最佳治疗终止时间由附件1中的数据随机抽取20个病人的数据，利用MATLAB绘制出CD4和HIV的浓度随时间变化的图形，如下：由图可以看出：CD4的浓度大致是先增后减的趋势，HIV的浓度大致是先减后增的趋势，所以建立时间的二次函数模型比较合适。这里我们使用两种方法来建立模型，一种是总体回归模型，一种是个人回归模型。1、总体回归模型：用附件1中全部的数据拟合一个模型，如：， 分别为第i病人第j次测量的时间和测量值（CD4或HIV），用MATLAB语句polyfit来估计系数 、的值。对CD4，=99.2559，=6.1144，=-0.1041，可以看出0，所以当t=29.3679周（保留4位小数）时，CD4的浓度达到最大；对HIV，=4.3957，=-0.1622，=0.0033，可以看出0, 0，所以当t=24.5758周（保留4位小数）时，HIV的浓度达到最大；所以平均在第=（29.3679+24.5758）/2=26.9719周时，CD4的浓度达到最大且HIV的浓度达到最小，应结束治疗时间。2、个人回归模型：用附件1中每一个病人的数据拟合一个模型，如：，分别为第病人第j次测量的时间和测量值（CD4或HIV），用MATLAB语句来估计系数 , ,的均值和均方差，用均值可得CD4的最大点和HIV的最小点。并对CD4统计 0（存在正最大点）的频率，对HIV统计 0, 0 （存在正最小点）的频率,分别作为及时结束治疗与继续治疗的概率。由附件1中的数据，基于不同患者对同一疗法的疗效有不同的差异，因此有必要对患者分为不同的患者群体分别加以研究。这里我们将病人按病情分为三类（重度、中度、轻度），其中0时刻CD4含量在50（乘以0.2个/ml）以下的为重度病人，50到100的为中度病人，100以上的为轻度病人。（1）重度病人考虑CD4，通过数据拟合，计算出，的均值分别为1610.5，487.5720，-11.4388，结束治疗概率为75.97%；考虑HIV，通过数据拟合，计算出，的均值分别为373.3827，-18.1099，0.4257，结束治疗的概率为86.05%。故可得二次函数模型：CD4：HIV：由二次函数极值可得，CD4的极大值在t=21.3122周处取得，即此时病人的CD4含量最高，HIV的极小值在t=21.2707周处取得，即此时病人的HIV含量最低，取两者平均值=21.29（保留2位小数），则为结束治疗时间。（2）中度病人考虑CD4，通过数据拟合，计算出，的均值分别为3111.5，410.1341，-9.7788，治疗结束的概率为79.45%；考虑HIV，通过数据拟合，计算出，的均值分别为232.5106，-14.5616，0.3737，并得出结束治疗的概率为89.04%。故可得二次函数模型：CD4： HIV： 由二次函数极值可得，CD4的极大值在t=20.9706周处取得，即此时病人的CD4含量最高，HIV的极小值在t=19.4830周处取得，即此时病人的HIV含量最低，取两者平均值=20.23周，则为结束治疗时间。（3）轻度病人考虑CD4，通过数据拟合，计算出，的均值分别为9192.2，352.3767，-8.1934，结束治疗概率为72.44；考虑HIV，通过数据拟合，计算出，的均值分别为379.5248，-23.2888，0.5880，结束治疗的概率为96.85%。故可得二次函数模型： CD4： HIV： 由二次函数极值可得，CD4的极大值在t=21.5037周处取得，即此时病人的CD4含量最高，HIV的极小值在t=19.8034周处取得，即此时病人的HIV含量最低，取两者平均值=20.65周，则为结束治疗时间。3、两种模型的分析与比较两种模型均采用MATLAB拟合的二次模型，但由于个人回归模型是将每个病人的数据拟合后再取平均，较为合理也更为准确。所以：重度、中度、轻度这三类病人的最佳终止治疗时间分别为：21.29周、20.23周、20.65周。问题二：利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。1、问题分析对于每种疗法随机取20个病人，画出他们CD4随时间变化的图形（折线），可以看出疗法13的CD4基本上水平，略有下降，而疗法4有先增后减的趋势。启示应建立时间的一次与二次函数模型，经统计分析比较，确定哪种较优。 模型建立(question2.m)2、利用问题一中的总体回归模型，只需增加年龄变量。考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，分成1425岁,2535岁,3545岁及45岁以上4组。对4种疗法分别用一次函数模型与二次时间函数模型 进行拟合，得到四个年龄阶段四种疗法的拟合图如下：第一年龄段 第二年龄段 第三年龄段 第四年龄段再将数据导入MATLAB，计算出系数，得到4种疗法的一次和二次函数分别为：（1）第一年龄阶段：疗法1:一次函数： 二次函数：由于二次函数中二次项系数为0，故，采用一次函数拟合较优。疗法2: 一次函数： 二次函数：单从函数关系难以区别优劣程度。疗法3: 一次函数： 二次函数： 二次函数极值点为负，故采用一次函数较优。疗法4: 一次函数： 二次函数： 一次函数为增函数，与要求不符，故采用二次函数较优。在第一年龄阶段，用t检验作回归系数是否为零的假设检验，结果是疗法1与3无显著性差异，而疗法1与2，1与4,2与3，2与4，3与4均有显著性差异。（2）第二年龄阶段：疗法1:一次函数： 二次函数：二次函数极值点为负，故采用一次函数较优。疗法2: 一次函数： 二次函数：二次函数极值点为负，故采用一次函数较优。疗法3: 一次函数： 二次函数 二次函数的二次项系数接近于0，故采用一次函数较优。疗法4: 一次函数： 二次函数: 一次函数的斜率接近于0，故采用二次函数较优。 在第二年龄阶段，用t检验作回归系数是否为零的假设检验，结果是疗法1与2,1与3，1与4,2与3无显著性差异，而疗法2与4，3与4均有显著性差异。（3）第三年龄阶段：疗法1:一次函数： 二次函数： 二次函数的二次项系数接近于0，故采用一次函数较优。疗法2: 一次函数： 二次函数： 二次函数极值点为负，故采用一次函数较优。疗法3: 一次函数： 二次函数： 单从函数关系难以区别优劣程度。疗法4: 一次函数： 二次函数： 两个函数关系式均较好，为减少误差，二次函数较优。在第三年龄阶段，用t检验作回归系数是否为零的假设检验，结果是疗法2与3，2与4,3与4无显著性差异，而疗法1与2，1与3,1与4均有显著性差异。（4）第四年龄阶段：疗法1:一次函数： 二次函数： 单从函数关系难以区别优劣程度。疗法2: 一次函数： 二次函数： 由于二次函数中二次项系数为0，故，采用一次函数拟合较优。疗法3: 一次函数： 二次函数： 单从函数关系难以区别优劣程度。疗法4: 一次函数： 二次函数： 一次函数为增函数，与要求不符，故采用二次函数较优。在第四年龄阶段，用t检验作回归系数是否为零的假设检验，结果是疗法1与2,1与3,1与4,2与3无显著性差异，而疗法2与4，3与4，均有显著性差异。另外将所得函数用图像画出:（其中蓝色代表疗法1，绿色代表疗法2，红色代表疗法3，黑色代表疗法4。） 计算结果：用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法13用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t=20左右达到最大.。 对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效。表明只有1425岁的年轻患者，才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法。问题三：如果病人需要考虑4种疗法的成本，对问题二中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。结合题目所给艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元可算得各种各种疗法的周花费。对于疗法一：日用药600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用，日花费分别为1.6美元和0.85美元，周花费分别为11.2美元和5.95美元，取大的值，所以周花费为11.2美元对于疗法二：日用药600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨），日花费1.6+1.85=3.45美元，周花费3.45*7=24.15美元对于疗法三：日用药600 mg zidovudine加400 mg didanosine，日花费1.6+0.85=2.5美元，周花费2.5*7=17.5美元对于疗法四：日用药600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平），日花费1.6+0.85+1.2=3.65美元，周花费3.65*7=25.55美元在问题二中，我们将附件2转化为了16个决策单元，取4种疗法的费用为输入，以各个年龄组每种疗法每个治疗阶段末与开始时CD4的比值为输出，利用MATLAB计算得，各个年龄组每种疗法每个治疗阶段末与开始时CD4的比值为：第一年龄阶段：治疗阶段1治疗阶段2治疗阶段3治疗阶段4疗法1-0.05080.3659-0.0711-0.0430疗法2-0.00960.0848-0.1331-0.0044疗法3-0.0039-0.0079-0.03020.0622疗法4-0.1485-2.0903-1.2662-4.4607第二年龄阶段：治疗阶段1治疗阶段2治疗阶段3治疗阶段4疗法1-0.00880.0812-0.0228-0.0497疗法2-0.0008-0.01600.0088-0.0173疗法30.0024-0.00260.04360.0052疗法40.01050.18380.3720-0.1934第三年龄阶段：治疗阶段1治疗阶段2治疗阶段3治疗阶段4疗法1-0.0177-0.0187-0.0395-0.0219疗法20.0053-0.0159-0.0389-0.0000疗法30.0151-0.05880.0008-0.0027疗法40.04210.28120.1312-0.2160第四年龄阶段：治疗阶段1治疗阶段2治疗阶段3治疗阶段4疗法-0.0098-0.01850.0446-0.0719疗法-0.0070-0.0006-0.0459-0.0216疗法0.0012-0.0171-0.0041-0.0361疗法0.00840.1771-0.1815-0.1903由上表分析可得：对于第一年龄阶段，在治疗阶段1，疗法2和3比较优；在治疗阶段2，疗法1和2比较优；在治疗阶段3，疗法1和3比较优；在治疗阶段