狄拉克符号(Dirac).doc

狄拉克符号（Dirac）1狄拉克符号 量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量-态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。1.1狄拉克符号的引入1.1.1 态空间 任何力学量完全集的本征函数系作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数作为该空间的一个态矢，有 （1）即为态矢在基矢上的分量，态矢在所有基矢上的分量构成了态矢在这个表象中的表示（矩阵） （2）微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是的 表象 1.1.2 态空间中内积（标积）的定义 设态空间中两个任意态矢与在同一表象中的分量表示各为与，则两态矢内积的定义为 （3）注意：1.1.3狄拉克符号的引入 态空间中的与在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间伴随空间 引入符号，称为右矢 Ket矢，Bra矢（Bracket 括号 ）微观体系的一个量子态用表示，的集合构成右矢空间，在右矢空间中的分量表示可记为矩阵 （4）约定：右矢空间的态矢一律用字母 表示 力学量的本征态矢一律用量子数，或连续本征值表示 引入符号 ，称为左矢 微观体系的一个量子态也可用表示，但在同一表象中与的分量互为共轭复数 （5）的集合构成左矢空间 引入狄拉克符号后，任意两个态矢的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和 （6）这里 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示1.2.1 离散谱 力学量完全集的本征函数具有离散的本征值时，对应的本征矢或等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 第n行 （7） （1）基矢具有正交归一性 （8） （2）展开定理 （9） 两边同时左乘得 （10） 说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把代入中得， 所以 （11） 称为基矢的封闭性 狄拉克符号运算中非常重要的关系式1.2.2 连续谱 当力学量本征值构成连续谱时，对应的基矢记为 （1）正交归一性 （12） （2）展开定理 （13） （14） （3）封闭性 （15） 注意：只表示某力学量抽象的本征矢，例如只表示本征值为的力学量的本征矢，而具体的基矢形式为：表象中，动量表象中，同理 1.3 态矢在基矢下的形式1.3.1 离散谱 基矢为，态矢记为或，用基矢展开 （16）展开系数构成在表象中的分量，也可写成 （17）相应的左矢 （18） （19）1.3.2 连续谱 （20） 或 （21）1.3.3 注意：只表示一个抽象的态矢，只有为表象的波函数； 为表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用1.4.1 离散谱 （1）算符作用在基矢上 （22） 算符矩阵元 （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程） （24） 即有 （25） 或 （26） 注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，是算符作用前、后的态矢在表象中的分量，也是具体表象中的矩阵元。1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢上 （27） （28） （2）算符作用在态矢上（算符方程） （29） 具体表象下 （30） （31）例如 即为表象中方程 1.4.3 算符对左矢空间的作用 （1）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即；的共轭式应该是，若考虑算符的厄米性 则有 （32） （2）由可得 （33） 最后列出几个常用的公式 例题1 求证在动量表象中，薛定谔方程（34）可变为微分积分方程 式中是动量表象中的波函数 解：因 （35） 利用 式（34）可变为 （36） 因 （37） 而 （38）将（38）代入（37）得 （39）将（39）与（35）代入（36）得 2 关于一维线性谐振子的讨论2.1 坐标表象 一维线性谐振子算符及其本征函数在坐标表象中为 （40） （41）的本征值为 （42） 由厄米多项式的递推公式可导出对于谐振子在运算中常用关系式 （43） （44）2.2 能量表象以（或）为基矢，为自身表象 （45）对角矩阵 对角元素即为的本征值 由（43）有 故 （46）由（44）得 故 （47）由（46）（47）写出矩阵如下 2.3 动量表象以（或）为基矢， 2.3.1 在动量表象的矩阵元 （48） 实际上，动量表象中 直接可得上述结果。2.3.2 在动量表象中的本征函数 式中 利用厄米多项式的母函数 构成 比较两边的系数，得 根据厄米多项式的性质 得 最后得 （49）2.4 占有数表象2.4.1 引入新算符 （50） 可见不是厄米算符（），二者的对易关系为可由 （51） 但二者之积构成一厄米算符 （52） 采用与时 （53）2.4.2与的作用（1）因为上述算符都是表象中的表示，所以谐振子波函数也采用表象中的表示， （54）故 利用（43）（44）得 （55）同理可得 （56）（2）采用狄拉克符号 （57）不采用具体表象时 （58）另外， （59） 即为算符的本征态，本征值为又有 （60）可见 都是的本征态，分别对应能量2.4.3 占有数表象由可知，谐振子能量以为基点（零点能），并且只能以为基本单位变化。若把作为一个“粒子”的能量，那么所表示的是个“粒子”的能量，对应的表示体系具有个“粒子”的状态。微观粒子体系的所有可能状态，构成了正交归一完备系，而以为基矢的表象成为占有数表象。体系的任意状态可以在占有数表象中展开。但必须注意，占有数表象中，不是与的本征矢，但作用态后得态，即“粒子”数减少一个，所以称为“粒子”的湮灭算符；同理，为“粒子”的产生算符，而为“粒子”数算符。2.4.4 占有数表象中问题的讨论（1）算符、的本征矢，有以下关系 （61）（2）算符