17第十七讲 解直角三角形.doc

教育是一项良心工程第十七讲 解直角三角形一、课标下复习指南1锐角三角函数的定义如图171，在ABC中，C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA；把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA；把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA图171；2三角函数值(1)特殊角的三角函数值角度三角函数030456090sin a01cos a10tan a01不存在(2)会用计算器求090的任意角的三角函数值(3)锐角三角函数值的性质当0a90时，0sin a1，且正弦值随着角度的增大而增大；0cos a1，且余弦值随着角度的增大而减小；tan a0，且正切值随着角度的增大而增大3互余角的三角函数间的关系sin(90a)cos a；cos(90a)sin a；4同角三角函数间的关系5解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边)，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形6解直角三角形相关的知识如图172，在RtABC中，C90，图172(1)三边之间的关系：a2b2c2；(2)两锐角之间的关系：AB90；(3)边与角之间的关系：，(4)如图173，若直角三角形ABC中，CDAB于点D，设CDh，ADq，DBp，则图173由CBDABC，得a2pc；由CADBAC，得b2qc；由ACDCBD，得h2pq；由ACDABC或由ABC的面积，得abch(5)如图174，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则图174CDADBD点D是RtABC的外心，外接圆半径(6)如图175，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则图175(7)直角三角形的面积：如图173，SABC如图175，SABC图1757直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型已知条件解法一条边和斜边c和锐角AB90A，acsinA，bccosA一个锐角直角边a和锐角AB90A，两条边两条直角边a和b，由求角A，B90A直角边a和斜边c，由求角A，B90A8测量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、倾斜角、株距、坡距等二、例题分析例1 解答下列各题：(1)化简求值：sin30；(2)若(2a，b为锐角)，求的值；(3)在ABC中，C90，化简分析 第(3)题可以先利用关系式sin2Acos2A1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式解 (1)(2)，且2a为锐角，2a60，a30(3)说明：由第(3)题可得到今后常用的一个关系式：12sinacosa(sinacosa)2例如，若设sinacosat，则例2 (1)如图176，在ABC中，若C90，B50，AB10，则BC的长为( )图176A10tan50B10cos50C10sin50D(2)如图177，在ABC中，C90，sinA，求cosAtanB的值图177(3)如图178所示的半圆中，AD是直径，且AD3，AC2，则sinB的值等于_图178分析 (1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边(3)要求sinB的值，可以将B转化到一个直角三角形中解 (1)选B(2)在ABC中，设BC3k，则AB5k(k0)由勾股定理可得AC4k，(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得C90而BD，所以说明 已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2Acos2A1，读者可自己尝试完成例3 如图179，在ABC中，BAC120，AB10，AC5，求sinBsinC的值图179分析 为求sin B，sin C，需将B，C分别置于直角三角形之中，另外已知A的邻补角是60，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解解 过点B作BDCA的延长线于点D，过点C作CEBA的延长线于点EBAC120，BAD60又CDCAAD10，同理，可求得说明 由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中例4 (1)如图1710，在ABC中，ACB105，A30，AC8，求AB和BC的长；图1710(2)在ABC中，ABC135，A30，AC8，如何求AB和BC的长?(3)在ABC中，AC17，AB26，锐角A满足，如何求BC的长及ABC的面积?若AC3，其他条件不变呢?分析 第(1)题的条件是“两角一夹边”由已知条件和三角形内角和定理，可知B45；过点C作CDAB于D，则RtACD是可解三角形，可求出CD的长，从而RtCDB可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决解 (1)过点C作CDAB于DA30，ACD105，B45ACsin ACDBCsin B，ABADBDACcosABCcosB(2)作CDAB的延长线于D，则AB(3)作BDAC于D，则BC25，SABC204当AC3时，ACB为钝角，BC25，SABC36说明 对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30、45、60的角)，然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小例5 在ABC中，A30，BC3，AB，求BCA的度数和AC的长分析 由于A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图1711)，可求得由于此题的条件是“两边一对角”，且已知的对角边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而，所以此题有两解图1711解 作BDAC于D(1)C1点在AD的延长线上在ABC1中，C160由勾股定理，可分别求得(2)C2点在AD上由对称性可得，BC2DC160，综上所述，当BCA60时，AC6；当BCA120时，AC3说明 由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一例6 如图1712，某船向正东航行在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30方向，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A，D两点间的距离(结果保留根号)图1712解 作CEAD于E，设CEx(海里)，CADCDA45，CEAEDEx在RtCEB中，CEB60，BEDEBDx10解得(海里)答：A，D两点间的距离为海里说明 已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图1713)：图1713例7 如图1714，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸b上的A处测得DAB30，然后沿河岸走了100m到达B处，测得CBF60，求河流的宽度CF的值(结果精确到个位)图1714解 过点C作CEAD交AB于ECDAE，CEAD，四边形AECD是平行四边形AECD50，EBABAE50，CEBDAB30又CBF60，故ECB30CBEB50在RtCFB中，CFCBsinCBF答：河流的宽度约为43m例8 如图1715所示，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50 m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10，已知山坡的坡角为15，求树AB的高(精确到0.1m)(参考数据：sin100.17，cos100.98，tan100.18，sin150.26，cos150.97，tan150.27)图1715分析 这是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解解 如图1716，延长CD交PB于F，则DFPB图1716DFDBsin15500.2613.0，CEBFDBcos15500.9748.5AECEtan1048.50.188.73ABAECDDF8.731.513.023.2(m)答：树高约为23.2m说明 一些特殊的四边形，可以通过切割补形的方法将其转化为若干个三角形来解例9 如图1717，D是AB上一点，且CDAC于C，SACDSCDB23，ACCD18，求tanA的值和AB的长图1717解 作DEAC交CB于E，则EDCACD90设CD4k(k0)，则CE5k，由勾股定理得DE3kACD和CDB在AB边上的高相同，ADDBSACDSCDB23即ACCD18，5k4k18解得k2说明 本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等例10 如图1718，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD3图1718(1)动点P在AB上由A向B移动，设APt，PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PCz，求z与t之间的函数关系式解 (1)作PEBC于E，则BPABAP2t(0t2)B60，SPCD即(2)由(1)不难得出，说明 锐角三角函数及解直角三角形的内容经常与函数、圆等知识进行综合三、课标下新题展示例11 (2009济宁市)坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高图1719为小华测量塔高的示意图她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角a35，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角b45，然后用皮尺量出A，B两点间的距离为18.6m，量出自身的高度为1.6m请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan350.7，结果保留整数)图1719(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为a m(如图1720)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：图1720在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：_；要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据? _解 (1)设CD的延长线交MN于E点，MN长为x m，则ME(x1.6)mb45，DEMEx1.6CEx1.618.6x17，解得x45太子灵踪塔MN的高度为45m(2)测角仪、皮尺；站在P点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)例12 (2009泰安市)如图1721，OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y与x轴交于点E求点E的坐标图1721解 作AFx轴于FOFOAcos601，AFOF点A坐标为代入直线解析式，得当y0即时，x4点E坐标为(4，0)四、课标考试达标题(一)选择题1已知RtABC中，C90，AC2，BC3下列各式中，正确的是( )ABCD2如图1722，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD2，AC3，则sinB的值是( )图1722ABCD3已知在RtABC中，C90，则tanA的值为( )ABCD4如果a是锐角，且，那么cos(90a)( )ABCD5已知a是锐角，且cosa的值小于，那么a( )A大于60B大于30C小于30D小于606如图1723，P为O外一点，PA切O于点A，OP5，PA4，则sinAPO的值等于( )图1723ABCD7如图1724，已知O的半径为1，AB与O相切于点A，OB与O相交于点C，CDOA，垂足为D，则tanAOB的值等于( )图1724AODBOACCDDAB8如图1725，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l15.2m，l26.2m，l37.8m，l410m4种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )图1725Al1Bl2Cl3Dl4(二)填空题9若，a为锐角，则a_10在ABC中，C90，则A_，AB_，SABC_11如图1726，在ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于_图172612把两块含有30的相同的直角尺按如图1727所示摆放，使点C，B，E在同一条直线上，连接CD，若AC6cm，则BCD的面积是_cm2图172713如图1728，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形纸片，A点坐标为(0，2)，E是线段BC上一点，且AEB60，将纸片沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标是_图1728(三)解答题14计算sin24515如图1729，在四边形ABCD中，BD90，ABBC，AD7，tanA2，求CD的长图172916如图1730，已知正方形纸片ABCD中，E为BC上一点，将正方形折叠起来，使A点和E点重合，折痕为MN，