【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 8.3抛物线（第1课时）课件 理.ppt

第八章圆锥曲线方程 抛物线 第讲 3 第一课时 1 平面内与一个定点f和一条定直线l 点f在直线l外 的距离 的点的轨迹叫做抛物线 其中这个定点是抛物线的 这条定直线是抛物线的 2 设抛物线的焦点到准线的距离为p 对于下列四个图形 相等 焦点 准线 这四个图形对应的抛物线的标准方程分别是 1 2 3 4 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 3 对于抛物线y2 2px p 0 1 x的取值范围是 y的取值范围是 2 抛物线关于 对称 3 抛物线的顶点坐标是 焦点坐标是 准线方程是 4 抛物线的离心率e 过焦点且垂直于对称轴的弦长 通径 为 0 r x轴 0 0 1 2p 5 设点p x0 y0 在抛物线上 点f为抛物线的焦点 则 pf 6 设点a x1 y1 b x2 y2 为抛物线上两点 且ab为抛物线的焦点弦 则y1y2 x1x2 4 抛物线y2 ax a 0 的焦点坐标是 准线方程是 抛物线x2 ay a 0 的焦点坐标是 准线方程是 通径长是 p2 a 1 设a 0 a r 则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 a a 0 b 0 a c 0 d 随a的符号而定解 将y 4ax2化为标准方程为故选c c 2 以抛物线y2 2px p 0 的焦半径 pf 为直径的圆与y轴的位置关系为 a 相交b 相离c 相切d 不确定解 利用抛物线的定义知 答案为c c 3 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线c y2 8x相交于a b两点 f为c的焦点 若 fa 2 fb 则k 解 抛物线c y2 8x的准线为l x 2 直线y k x 2 k 0 恒过定点p 2 0 d 如图 过a b分别作am l于m bn l于n 由 fa 2 fb 得 am 2 bn 所以点b为ap的中点 连结ob 则 ob af 所以 ob bf 所以点b的横坐标为1 故点b的坐标为 1 所以故选d 1 如右图所示 直线l1和l2相交于点m l1 l2 点n l1 以a b为端点的曲线段c上任一点到l2的距离与到点n的距离相等 若 amn为锐角三角形 am an 3 且 nb 6 建立适当的坐标系 求曲线段c的方程 题型1求抛物线方程 解 以直线l1为x轴 线段mn的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 如图 由条件可知 曲线段c是以点n为焦点 以l2为准线的抛物线的一段 其中a b分别为曲线段c的端点 设曲线段c的方程为y2 2px p 0 xa x xb y 0 其中xa xb为a b的横坐标 p mn 所以由得 联立 解得代入 式 并由p 0 解得或因为 amn为锐角三角形 所以 故舍去所以由点b在曲线段c上 得综上 曲线段c的方程为y2 8x 1 x 4 y 0 点评 本题体现了坐标法的基本思路 考查了定义法 待定系数法求曲线方程的步骤 综合考查了学生分析问题 解决问题的能力 抛物线的标准方程形式有四种 求抛物线方程时 首先注意是否为标准方程 如果不是标准方程 注意顶点 焦点 准线的位置及关系 如果是标准方程 确定焦点在哪个半轴上 设抛物线顶点在原点 焦点在x轴上 a b c为抛物线上三点 f为抛物线的焦点 已知直线ab的方程为4x y 20 0 且点f为 abc的重心 求此抛物线的方程 解 设抛物线方程为y2 2px p 0 点a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 由消去x得即2y2 py 20p 0 所以y1 y2 从而 因为点f 0 是 abc的重心 所以于是得因为点c x3 y3 在抛物线上 所以y32 2px3 即解得p 8 故所求抛物线的方程是y2 16x 2 设抛物线y2 4ax a 0 的焦点为a 以点b a 4 0 为圆心 ba 为半径 在x轴上方画半圆 设抛物线与半圆相交于不同两点m n 点p是mn的中点 1 求 am an 的值 2 是否存在实数a 使 am ap an 成等差数列 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 题型2以抛物线为背景的求值问题 解 1 设m n p在抛物线的准线上的射影分别为m n p 则由抛物线的定义 得 am an mm nn xm xn 2a 又圆的方程为 x a 4 2 y2 16 将y2 4ax代入得x2 2 4 a x a2 8a 0 所以xm xn 2 4 a 所以 am an 8 2 假设存在这样的a 使得2 ap am an 因为 am an mm nn 2 pp 所以 ap pp 由定义知点p必在抛物线上 这与点p是弦mn的中点矛盾 所以这样的a不存在 点评 抛物线中的长度 或距离 求值问题一般转化为坐标参数问题 或化曲为直 即利用焦半径公式 进行处理 如图 曲线g的方程为y2 2x y 0 以原点为圆心 以t t 0 为半径的圆分别与曲线g和y轴的正半轴相交于点a与点b 直线ab与x轴相交于点c 1 求点a的横坐标a与点c的横坐标c的关系式 2 设曲线g上点d的横坐标为a 2 求直线cd的斜率 解 1 由题意知 a a 2a 因为 oa t 所以a2 2a t2 由于t 0 故有 由点b 0 t c c 0 的坐标知 直线bc的方程为又因为点a在直线bc上 故有将 代入上式 得解得 2 因为所以直线cd的斜率为 3 河上有一抛物线形拱桥 当水面距拱顶5m时 水面宽为8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面上的部分高m 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时 小船不能通航 解 如图所示 建立直角坐标系 设桥拱抛物线方程为x2 2py p 0 由题意 将b 4 5 代入方程得p 1 6 故x2 3 2y 题型3抛物线的应用性问题 船面两侧和抛物线接触时 船不能通航 设此时船面宽为aa 则a 2 ya 由22 3 2ya 得ya 又知船面露出水面上的部分为m 故答 水面上涨到距抛物线拱顶2m时 小船不能通航 点评 抛物线的应用性问题 注意选设合适的坐标系 然后利用曲线的方程 转化为代数式的计算问题 某隧道横截面由抛物线及矩形的三边组成 尺寸如图 单位 m 某卡车空车时能通过隧道 现载一集装箱 箱宽3m 车与箱共高4 5m 此车能否通过此隧道 请说明理由 解 如图所示 建立直角坐标系xoy 从题设知顶点b的坐标为 0 5 抛物线弧端点a的坐标为 3 2 可设抛物线的方程为x2 2p y 5 利用点a 3 2 在抛物线上 可确定待定的p值 故将a点坐标 3 2 代入抛物线方程 得p 所以x2 3 y 5 因箱宽为3m 故只需比较抛物线上的点m 1 5 y0 的纵坐标与车和箱的总高 就可判定此车能否通过隧道 将x 1 5代入抛物线的方程 得y 4 25 因为4 25 4 5 故此车不能通过隧道 1 求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法 为避免开口方向不一定而分成y2 2px p 0 或y2 2px p 0 两种情况求解的麻烦 可以设成y2 mx或x2 ny m 0 n 0 若m 0 开口向右 m 0 开口向左 m有两解 则抛物线的标准方程有两个 2 抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离 即 pf x 或