高三数学 第7讲 正、余弦定理及其应用课件 苏教版.ppt

正 余弦定理及其应用 第7讲 三角形解的个数的判定 例1 在 abc中 若a 18 b 24 a 44 则此三角形解的情况为 已知两边a b和其中一边a的对角a a为锐角 解三角形的解的情况 a bsinaa bsinabsina a ba b无解一解两解一解 点评 变式练习1 在 abc中 a x b 2 b 45 若 abc有两解 则x的取值范围是 判断三角形的形状 例2 已知a b c分别是 abc的三个内角a b c所对的边 若a ccosb 且b csina 试判断 abc的形状 点评 判断三角形的形状 应围绕三角形的边角关系进行思考 主要看其是否是正三角形 等腰三角形 直角三角形 钝角三角形或锐角三角形 要特别注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别 依据已知条件中的边角关系判断时 主要有如下两条途径 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 在这两种解法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 变式练习2 在 abc中 若 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 请判断 abc的形状 正弦定理 余弦定理 面积公式的灵活应用 点评 本题将三角恒等变换 求值与解三角形综合一起考查 这是近几年高考的一种命题趋势 注意综合运用 应用正弦定理进行边角互化 利用三角公式进行角的统一 达到化简的目的 在解三角形中 利用正 余弦定理进行边角转化是解题的基本方法 在三角函数的化简 求值中 常要重视角的统一 函数的统一 降次思想的应用 测量距离问题 例1 如图 某住宅小区的平面图呈扇形aoc 小区的两个出入口设置在点a及点c处 小区里有两条笔直的小路ad dc 且拐弯处的转角为120 已知某人从c沿cd走到d用了10分钟 从d沿da走到a用了6分钟 若此人步行的速度为每分钟50米 求该扇形的半径oa的长 精确到1米 点评 三角学源于测量实践 解三角形是三角实际应用的一个重要方面 求距离问题一般要注意 1 选定或创建的三角形要确定 2 是利用正弦定理还是余弦定理要确定 测量角度问题 例5 缉私艇发现在北偏东45 方向 距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile h的速度沿东偏南15 方向逃窜 缉私艇的速度为14nmile h 若要在最短的时间内追上该走私船 缉私艇应沿北偏东45 的方向去追 求追及所需的时间和角 的正弦值 点评 测量角度问题中 首先应明确方位角的含义 在解应用题时 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 这是最关键 最重要的一步 通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题 1 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若 则cosa 3 甲船在岛b的正南方a处 ab 10千米 甲船以每小时4千米的速度向正北航行 同时乙船自b出发以每小时6千米的速度向北偏东60 的方向驶去 当甲 乙两船相距最近时 它们所航行的时间是 分钟 4 在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinacosc 3cosasinc 求b的值 5 一半径为4m的水轮如图 水轮圆心o距离水面2m 已知水轮每分钟转动4圈 如果当水轮上点p从水中浮现时 图中点p0 开始计时 1 将点p距离水面的高度h m 表示为时间t s 的函数 2 点p第一次到达最高点要多长时间 2 基本题型 已知一边和两角 解三角形 先由内角和定理求第三角 再用正弦定理 有解时只有一解 已知两边和其中一边的对角 解三角形 先由正弦定理求另一边的对角 再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角 在已知三角形两边一对角 求解三角形时 若运用正弦定理 则务必注意可能有两解 3 余弦定理 1 基本题型 已知三边 解三角形 由余弦定理和内角和定理求角 在有解时只有一解 已知两边及夹角 解三角形 先由余弦定理求第三边 再由正弦定理与内角和定理求角 有一解 2 余弦定理是勾股定理的推广 判断c为锐角 a2 b2 c2 c为直角 a2 b2 c2 c为钝角 a2 b2 c2 5 解三角形常见类型及解法在三角形abc的六个元素 三个角a b c 三条边a b c 中要知三个 除三个角外 才能求解 常见类型及其解法见下表 6 应用正 余弦定理解三角形应用题的一般步骤 1 理解题意 分清已知与未知 画出示意图 2 依据已知条件和求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解三角形的数学模型 3 根据三角形已知的边角条件合理选择正 余弦定理解三角形 从而得到数学模型的解 4 检验上述所求的解是否具有实际意义 从而最终得出实际问题的解 7 解三角形应用题常见的几种情况 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个 或两个以上 三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 再逐步求出其他三角形中的解 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 解方程得出所要求的解 1 2010 江苏卷 某兴趣小组测量电视塔ae的高度h 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆bc的高度h 4m 仰角 abe ade 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出h的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精度 若电视塔的实际高度为125m 试问d为多少时 最大 选题感悟 本题主要考查解三角形 考查三角与其他知识的综合 考查数学建模能力 抽象概括能力和解决实际问题的能力 选题感悟 本题既考查了三角恒等变形的能力 又考查了平面向量的数量积和正 余弦定理的灵活运用 这类题是近几年高考的热点 3 2010 海门期末卷 某城市有一条公路 自西向东经过a点到市中心o点后转向东北方向ob 现要修建一条铁路l l在oa