数的运算知识点+例题+提高习题.doc

数的运算知识要点1、四则运算的意义和法则 1、四则运算的意义运算名称意义加法把两个数合并成一个数的运算减法已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。乘法一个数乘整数，是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘小数，是求这个数的十分之几，百分之几是多少。一个数乘分数，是求这个数的几分之几是多少。除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、四则运算的法则 （1）加、减法 整数、小数加减法：相同数位上的数对齐（小数点对齐），从低位算起，哪一位上的数相加满十（哪一位上的数不够减），向前一位进一（从前一位退一，当十再减）。 分数加减法：同分母分数相加减，用分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法则进行计算。 （2）乘法 整数乘法：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数。用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就要和哪一位对齐，再把几次乘得的数加起来。 小数乘法：先按照整数乘法的法则计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，计算过程中能约分的先要约分。（3）除法 整数除法：除数有几位，就看被除数的前几位，不够除就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位数上面，每次除后余下的数必须比除数小。小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位（位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的除法进行计算。分数除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。（4）各部分之间的关系 加、减法 加数加数=和 一个加数=和-另一个加数 减数=被减数-差 减数减数=差 被减数=差+减数乘、除法因数因数=积 一个因数=积另一个因数 被除数=商除数被除数除数=商 除数=被除数商2运算定律名称内容及字母公式举例加法交换律两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变a+b=b+a20+30=30+20加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变（a+b）+c=a+（bc）（20+30）+40=20+（30+40）乘法交换律两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。ab=ba2030=3020乘法结合律三位数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变（ab）c=a（bc）（2030）50=20（3050）乘法分配律两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘。再把两个积相加结果不变。（a+b）c=ac+bc（20+30）50=2050+30503、四则混合运算 1、四则混合运算的顺序 在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。 在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 2、几种常用的简算方法 （1）拆项法：这是对分配律的逆向运用，常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式： 分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时： =+ 分母为两个相邻自然数的积时：=- 分母是差为a(a0)的两个自然数的积时：=(-)分母为三个相邻自然数的积时：=【-】（2）数字变形法：这是一种从数字特点出发，创新变形，巧妙地运用运算性质，规律达到简算目的的方法，如：较接近1，可将其转化为（1-），然后根据情况运用适当的方法。（3）假设法：如果原式中的数字或相同式子比较多，各部分数字或式子又比较接近，我们就可将其相同的部分看做一个整体，设为一个字母，使计算简便。（4）分解质因数：在计算中，常遇到一些复杂的数相加或相减，我们可根据情况把题中的每个数分解质因数，然后把其中的公因数提出来，使计算简便些。（5）找规律法：分析算式中各部分之间的关系，找出其中的规律，使计算简便。典例解析及同步练习1、混合运算 典例1 计算下面各题 （1）9.5【（6.4-0.7）3】 （2）131【3（12.4-12）】 （3）【2（33）】11 （4）【（2.3）4.2】 解析：（1）（3）题，按运算顺序，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（2）（4）题，除了要严格按运算顺序进行计算外，还要正确合理地判断每一步应如何计算。计算分数、小数加减混合运算时，一般来说，用小数计算比较方便；如果分数不能化成有限小数，则把小数化成分数后再进行计算；分数与小数相乘或相除时，一般用分数计算，也可以直接计算。究竟用哪一种方法计算要根据实际情况灵活选用。当小数与分数的分母同时除以一个数（0除外）可以使分母变为1时，可采用直接计算的方法；如果小数与分数的分母同时除以一个数（0除外）不能使分母变为1时，那么可把小数化成分数再进行计算。 解：（1）原式=9.5【5.73】 （2）原式=131【3】 =9.51.9 = =5 = （3）原式=【2（4）】11 （4）原式=【】 =【23】11 = =6 = =71 =举一反三训练1一、填空。 1、计算5.62.878时，要先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）。 2、甲数除以乙数，商是27，余数是4。若甲扩大10倍，乙数乘10后商是（ ），余数是（ ）。 3、如果AB=C，那么CAB=（ ）。 4、若AB=15，则（A6）（B8）=（ ） 二、计算下面各题。 1、110【（54.845.2）（65.45）】 2、3.5【6.8（1.63.60.9）】8.4 3、3.67.2214.448 4、（7.53.68）2.5【1（2.12.09）】 5、1（1） 6、（61）【1（1）】 三、列式计算。 1、一个数扩大5倍，再加上19，然后缩小2倍，再加上45，得92，求这个数。 2、0.8与0.4的差，加上1除以1.25的商，和是多少？ 典例2 选择合适合适的方法计算下面各题。 （1）1 （2）31.2537.50.975375% （3）4.64.41（10.1） （4）517191 解析：（1）在同级运算中，可利用移项改变运算顺序，这里的移项是指数与前面运算符号一同搬移。如此可将“”移到“1”的后面，接着连续减去和。根据减法的性质，就等于减去和的和。（2）观察原式发现，三项中有相似的三个数。3=3.75，37.5，375%=3.75，这里我们可利用积不变的性质将37.5转换为3.75，37.50.975=3.759.75，利用简洁分配律简算。（3）通过认真观察、试算发现，4.41=4.4，10.1=1，三项中都含有相同的因数，利用乘法分配律简算。（4）原式三部分中数字形式相同，就其中一部分认真分析可得：51=51，51比5的倍数多1，而1正好又是的倒数，故可将其变形为（50）=50=301。同理可将后面两部分变形。 解：（1）原式= 1 （2）原式=3.751.253.759.753.75 =2（ ） =3.75（1.259.751） =1 =37.5 （3）原式=4.64.4 （4）原式=（50）（70）（90） =（4.64.41） = 301401501 =9 =123举一反三训练2一、 选择。（把正确答案的序号填在括号里）1、36153647=36（153647），根据是（ ）。 A、加法交换律 B、加法结合律 C、加法交换律和结合律 2、为使计算简便，需要把小数化成分数计算的是（ ）。 A、5.740.37 B、6.31 C、2.731 3、A（BCD）=ABACAD，运用的是（ ）。 A、乘法分配律 B、乘法结合律 C、简洁交换律 4、下列算式的运算不正确的是（ ）。 A、1211258=121（1258） B、260（0.53）=2600.52603C、5018=（502）（182） 二、用简便方法计算。 1、 987402 2、 （） 3、 66 4、 8000（） 5、3837.97961 6、（）2923 7、0.020.42550 8、0.12526.2512.5% 9、3.6313.1464 10、415161712、巧填运算符号 典例1 在下面的式子中，加上括号，使等式成立。 （1）791232=47 （2）791232=75 解析：在做此类题时，我们一般采用逆推法。在（1）中，假设等式成立。因为492=47，所以只须：79123=49，由于4977，因此只须（912）3=7，而213=7，所以只须把912用括号括起来就行了。即7【（912）3】2=47；在（2）中，假设等式成立，因为772=75，所以只须79123=77，又因为711=77，所以只须9123=11，经试算，不论怎样加括号都不能成立。由此可见此路不通，得另想办法。我们仍假设等式成立，因为79=63，而6312=75，因此只须1232=12，又因为121=12，所以只须32用括号括起来就行了。即7912（32）=75. 解：（1）7【（912）3】2=47 （2）7912（32）=75举一反三训练1一、 给下面的算式加上括号，使等式成立。123456789=303二、在下面的算式中加上括号，使等式成立。 1、6363241=63 2、6363241=149 3、6363241=45 4、6363241=47 5、6363241=5 6、6363241=14三、改变一个运算符号，使下面的等式成立。 1、123456789=100 2、12345678910=45典例2 在五个4之间添上适当的运算符号和括号，使得数是8. 解析：根据题意，可将原题表示为：4 4 4 4 4=8 我们从后逐步向前推，最后一个4的前面如果添运算符号只能是、四种之一。如果添的是“”号，则变为4 4 4 44=8 ，这样中的前四个4通过添加运算符号得到4就可以了。即4 4 4 4=4 按照前面的推理方式，如果左边最后一个4前又添“”号，则有4 4 44=4 要使成立，只须让中的前三个4通过添适当的运算符号使结果为0就可以了。即4 4 4=0 我们知道，0与任何数相乘积为0，所以有三种添法 （44）4=0，（44）4=0，4（44）=0，因此，原题有三种添法（44）444=8，（44）444=8，4（44）44=8。如果式最后一个4前添的是“”号，就有4 4 44=4，这就要求前三个4之间添上符号，使4 4 4 =8 不管怎么添都不成立，所以最后一个4前不能添“”号，否则，就找不到符号。依照上面的推理方法，式最后一个4前还可以添上乘号或除号。 解：（44）444=8 （44）444=8 4（44）44=8 （4444）4=8 （4444）4=8举一反三训练2一、 在等号左边添上合适的运算符号和括号，使计算结果都为24。1、 13 6 3 3=24 2、 2 3 9 5=24 3、 4 1 11 3=24 4、 8 6 5 7=8二、把1*2*3*4*5里的*号改为运算符号，并添上适当的括号，使运算结果等于100。三、在15个9之间合适的地方添上运算符号，使下列等式成立。（试写几种）9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9=2000 四、将1一2000这两千个自然数用加号或减号连接起来组成算式，这个算式的结果最小可能是多少？ 五、如果一个整数与1、2、3这三个数通过加、减、乘、除运算（可以添加括号）组成算式，结果等于24，那么这个整数称为可用的数，那么，在4、5、6、7、8、9、10这几个数中，可用的数有多少个？ 3、简算技巧 典例1 选择合适的方法简算下面各题。 （1）1357911 （2） 解析：这是两道较复杂的分数串求和问题，要求同学们在日常运算中要善于发现、总结规律。（1）式可以把每个分数的整数部分和分数部分拆开，分别相加。通过观察我们可