高中数学三角函数1.1任意角和蝗制教学案新人教A版.docx

1.1 任意角和弧度制第1课时任意角核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2P5的内容，回答下列问题(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反(2)体操中有“转体720”(即“转体2周”)，“转体1 080”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向这样，OA绕O旋转所成的角与OB绕O旋转所成的角就会有不同的方向利用我们以前学过的0360范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向故利用0360范围的角，无法描述以上现象(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一它们之间相差360的整数倍，即相差k360(kZ)2归纳总结，核心必记(1)角的有关概念有关概念描述定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形图示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角或，或简记为(2)角的分类按角的终边位置()角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限(3)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 问题思考(1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360，360等(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为90.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定(6)初中我们学过对顶角相等依据现在的知识试判断一下图中角，是否相等？提示：不相等角为逆时针方向形成的角，为正角；角为顺时针方向形成的角，为负角课前反思(1)角的概念：；(2)角的分类：；(3)终边相同的角：思考1终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数倍可以用集合|k360，kZ表示思考2区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可讲一讲1(1)写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合尝试解答(1)与角1 910终边相同的角的集合为|1 910k360，kZ720360，7201 910k360360，3k6.故k4，5，6，k4时，1 9104360470.k5时，1 9105360110.k6时，1 9106360250.(2)在0360范围内，终边在直线y0上的角有两个，即0和180，因此，所有与0角终边相同的角构成集合S1|0k360，kZ，而所有与180角终边相同的角构成集合S2|180k360，kZ，于是，终边在直线y0上的角的集合为SS1S2|k180，kZ由图形易知，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个，即135和315，因此，终边在直线yx上的角的集合为S|135k360，kZ|315k360，kZ|135k180，kZ终边在直线yx上的角的集合为|45k180，kZ，结合知所求角的集合为S|45k180，kZ|135k180，kZ|452k90，kZ|45(2k1)90，kZ|45k90，kZ(3)终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ，终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ故阴影部分角的集合可表示为|30k360135k360，kZ (1)在0360范围内找与给定角终边相同的角的方法把任意角化为k360(kZ且0360)的形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值(2)区域角的写法可分三步按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，写出所有与，终边相同的角；用不等式表示区域内的角，组成集合练一练1在与角1 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最小的正角；(2)最大的负角解：1 0303602310，所以1 0302360310，所以与角1 030终边相同的角的集合为|k360310，kZ(1)所求的最小正角为310.(2)取k1得所求的最大负角为50.思考1若为第一象限角，则的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若为第一象限角，则的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限思考2如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定讲一讲2已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角(1)75；(2)855；(3)510.尝试解答作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图可知：75是第四象限角(2)由图可知：855是第二象限角(3)由图可知：510是第三象限角给定角所处象限的判定方法法一：第一步，将写成k360(kZ，0360)的形式第二步，判断的终边所在的象限第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角练一练2已知角的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角的取值范围解：终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S1|30k180，kZ，终边在18075105角的终边所在直线上的角的集合为S2|105k180，kZ，因此终边在图中阴影部分的角的取值范围为|30k180105k180，kZ讲一讲3若是第二象限角，则2，分别是第几象限的角？尝试解答(1)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，180k7202360k720，2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上(2)是第二象限角，90k360180k360(kZ)，45k18090k180(kZ)法一：当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)，即是第一象限角；当k2n1(nZ)时，225n360270n360(nZ)，即是第三象限角故是第一或第三象限角法二：45k180表示终边为一、三象限角平分线的角，90k180(kZ)表示终边为y轴的角，45k18090k180(kZ)表示如图中阴影部分图形即是第一或第三象限角(1)n所在象限的判断方法确定n终边所在的象限，先求出n的范围，再直接转化为终边相同的角即可(2)所在象限的判断方法已知角所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1.从而得出结论作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出练一练3在直角坐标系中，作出下列各角，在0360范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角(1)360；(2)720；(3)2 016；(4)120.解：如图所示，分别作出各角可以发现(1)3600360，(2)72002360，因此，在0360范围内，这两个角均与0角终边相同所以这两个角不属于任何一个象限(3)2 0162165360，所以在0360范围内，与2 016角终边相同的角是216，所以2 016是第三象限角(4)120240360，所以在0360范围内，与120角终边相同的角是240，所以120是第三象限角4已知角为第三象限角，试确定角2，是第几象限角解：为第三象限角，k360180k360270(kZ)(1)(2k1)3602(2k1)360180(kZ)，则2可能是第一象限角、第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角(2)k18090k180135(kZ)，当k2n(nZ)时，n36090n360135(nZ)，此时为第二象限角；当k2n1(nZ)时，n360270n360315(nZ)，此时为第四象限角综上所述，可能是第二象限角或第四象限角课堂归纳感悟提升1本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n及所在象限的判定2本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；(2)象限角及n、所处象限的判断，见讲2和讲3.3本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角(2)把任意角化为k360(kZ，且0360)的形式，关键是确定k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可以用除法(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0360内符合条件的角的范围，最后都加上k360，得到所求课下能力提升(一)学业水平达标练题组1终边相同的角及区域角的表示1与457角的终边相同的角的集合是()A|457k360，kZB|97k360，kZC|263k360，kZD|263k360，kZ解析：选C由于4571360972360263，故与457角终边相同的角的集合是|457k360，kZ|263k360，kZ2终边在直线yx上的所有角的集合是()A|k360135，kZB|k36045，kZC|k180225，kZD|k18045，kZ解析：选D因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A、B.又C项中的角出现在第一、三象限，故选D.3与角1 560终边相同的角的集合中，最小正角是_，最大负角是_解析：1 560(5)360240，而240360120，故最小正角为240，而最大负角为120.答案：2401204已知990630，且与120角的终边相同，则_.解析：与120角终边相同，故有k360120，kZ.又990630，990k360120630，即1 110k360750.当k3时，(3)360120960.答案：9605(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来：60；21.(2)试写出终边在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式180180的元素写出来解：(1)S|60k360，kZ，其中适合不等式360720的元素为：300，60，420；S|21k360，kZ，其中适合不等式360720的元素为：21，339，699.(2)终边在直线yx上的角的集合S|k360120，kZ|k360300，kZ|k180120，kZ，其中适合不等式180180的元素为：60，120.题组2象限角的判断61 120角所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由题意，得1 1204360320，而320在第四象限，所以1 120角也在第四象限7下列叙述正确的是()A三角形的内角必是第一、二象限角B始边相同而终边不同的角一定不相等C第四象限角一定是负角D钝角比第三象限角小解析：选B90的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280的角是第四象限角，它是正角，故C错；100的角是第三象限角，它比钝角小，故D错8若是第四象限角，则180一定是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选B是第四象限角，k36090k360.k36090180k360180.180在第二象限，故选B.题组3n或所在象限的判定9已知角2的终边在x轴上方，那么是()A第一象限角 B第一或第二象限角C第一或第三象限角 D第一或第四象限角解析：选C由条件知k3602k360180，(kZ)，k180k18090(kZ)，当k为偶数时，在第一象限，当k为奇数时，在第三象限能力提升综合练1已知集合A|小于90，B|为第一象限角，则AB()A|为锐角B|小于90C|为第一象限角D以上都不对解析：选D小于90的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以AB是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2终边在第二象限的角的集合可以表示为()A|90180B|90k180180k180，kZC|270k180180k180，kZD|270k360180k360，kZ解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为|90k360180k360，kZ，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确3若集合Mx|x45k90，kZ，Nx|x90k45，kZ，则()AMN BMNCMN DMN解析：选CMx|x45k90，kZx|x(2k1)45，kZ，Nx|x90k45，kZx|x(k2)45，kZkZ，k2Z，且2k1为奇数，MN.4角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为()Ak360，kZBk360180，kZCk360180，kZDk360，kZ解析：选B法一：特殊值法：令30，150，则180.法二：直接法：角与角的终边关于y轴对称，180k360，kZ，即k360180，kZ.5如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是_度，分针所转成的角度是_度解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了105，所转成的角度是5；分针按顺时针方向转了1060，所转成的角度是60.答案：5606若角满足180360，角5与有相同的始边，且又有相同的终边，则角_解析：角5与具有相同的始边与终边，5k360，kZ.得 4k360，当 k3时，270.答案：2707写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1)|30k360150k360，kZ；(2)|150k360390k360，kZ8已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小解：由题意可知，280k360，kZ.，都是锐角，0180.取k1，得80.670k360，kZ，都是锐角，9090.取k2，得50.由，得15，65.第2课时弧度制核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P6P9的内容，回答下列问题(1)我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？提示：1度的角等于周角的.(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1弧度的角是如何定义的？提示：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(3)阅读教材P6“探究”的内容，思考：如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l，那么的弧度数的绝对值是多少？提示：|.既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？提示：180.2归纳总结，核心必记(1)度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的为1度角，记作1弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(2)弧度数的计算(3)角度制与弧度制的换算(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度030456090120135150180弧度0(5)扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，为其圆心角，则为度数为弧度数扇形的弧长llR扇形的面积SSlRR2问题思考(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同(2)比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示：无关(3)在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“rad”可以略去不写，但“度”作单位时“”能省略吗？提示：不能省略(4)你认为式子“k360，kZ”正确吗？提示：不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制课前反思(1)角度制的定义：；(2)弧度制的定义：(3)任意角的弧度数与实数的对应关系：；(4)角的弧度数的计算公式：；(5)角度与弧度的互化：；(6)扇形的弧长及面积公式：讲一讲1有关角的度量给出以下说法：1的角是周角的，1 rad的角是周角的；1 rad的角等于1度的角；180的角一定等于 rad的角；“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位其中正确的说法是_尝试解答由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，均正确；因为1 rad57.301，故不正确答案： (1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系(2)角度制和弧度制的比较：弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值用“度”作为单位度量角时，“度”(即“”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法练一练1下列说法正确的是()A在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D120的弧度数是答案：B讲一讲2把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4).尝试解答(1)7272；(2)300300；(3)22；(4)40.角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到：度数弧度数，弧度数度数练一练2已知1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将1，2用角度表示出来，并在7200范围内，找出与它们有相同终边的所有角解：(1)1570，2750.122，222，1是第二象限角，2是第一象限角(2)1180108，设k360108(kZ)，则由7200，得720k3601080(kZ)，解得k2或k1，在7200范围内，与1有相同终边的角是612和252；218060，设k36060(kZ)，则由720k360600(kZ)，得k1或k0，在7200范围内，与2有相同终边的角是60和420.讲一讲3(1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为_cm2.(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？尝试解答(1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l2r，从而扇形的周长为l2r4r8，解得r2，则l4.故扇形的面积Slr424 cm2.(2)设扇形的弧长为l，由题意得2R2Rl，所以l2(1)R，所以扇形的圆心角是2(1)，扇形的面积是lR(1)R2.答案：(1)4弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，(02)是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度练一练3已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为(02)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l2r30，故l302r，从而Slr(302r)rr215r，所以，当r cm时，2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解2本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)180；(2)1 rad；(3)1 rad.3本节课要重点掌握以下规律方法(1)弧度制的概念辨析，见讲1；(2)角度与弧度的换算，见讲2；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用，见讲3.4本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用课下能力提升(二)学业水平达标练题组1弧度的概念1下列叙述中正确的是()A1弧度是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位解析：选D由弧度的定义知，选项D正确2与角终边相同的角是()A. B. C. D.解析：选C与角终边相同的角的集合为|2k，kZ，当k1时，2，故选C.3角的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D4，的终边位于第四象限，故选D.题组2角度与弧度的换算4下列转化结果错误的是()A60化成弧度是 B化成度是600C150化成弧度是 D.化成度是15解析：选C对于A，6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.5把角690化为2k(02，kZ)的形式为_解析：法一：690.4，6904.法二：690236030，则6904.答案：46已知角2 010.(1)将改写成2k(kZ，02)的形式，并指出是第几象限角；(2)在区间5，0)上找出与终边相同的角；(3)在区间0，5)上找出与终边相同的角解析：(1)2 0102 01052.又，角与角的终边相同，故是第三象限角(2)与终边相同的角可以写为2k(kZ)又50，k3，2，1.当k3时，；当k2时，；当k1时，.(3)与终边相同的角可以写为2k(kZ)又05，k0，1.当k0时，；当k1时，.题组3扇形的弧长公式和面积公式的应用7在半径为10的圆中，240的圆心角所对的弧长为()A. B. C. D.解析：选A240，弧长l10，选A.8若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为()A. B. C. D.解析：选BS扇形lR(R)RR2，由题中条件可知S扇形，R1，从而，故选B.9一个扇形的面积为1，周长为4