【学海导航】高考数学第一轮总复习 2.5函数的奇偶性、周期性（第2课时）课件 理 （广西专版）.ppt

1 第讲 5 函数的奇偶性 周期性 第二课时 第二章函数 2 题型四 函数周期性的定义1 已知定义在r上的函数f x 满足f x 2 f x 0 则f x 的周期是 a 1b 2c 4d 6 3 由已知 f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 f x 显然 f x 的周期为4 选c 点评 由本题可知 若定义域为r的函数f x 满足 f x a f x a 0 则f x 是周期为2a的周期函数 相应地还有 若或则f x 是周期为2a的周期函数 答案 c 4 已知定义在r上的奇函数f x 满足 对任意实数x都有f x 2 f x 0 且当x 0 1 时 f x 3x 则的值为 a 1b 1c d 5 由已知f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 所以f x 是周期为4的周期函数 又f x 为奇函数 所以故选b 6 题型五 抽象函数奇偶性 周期性的判定与证明2 定义在r上的函数f x 满足 f x f 4 x 且f 2 x f x 2 0 1 证明 这个函数既是奇函数 又是周期函数 2 若f 3 1 求f 2011 的值 7 1 证明 因为f 2 x f x 2 0 令t x 2代入 有f t f t 0 所以f x 为奇函数 所以f 4 x f x 4 即有f x f x 4 所以f x 8 f x 4 f x 故f x 是周期为8的周期函数 2 f 2011 f 251 8 3 f 3 f 3 1 8 点评 处理抽象函数的奇偶性和周期性的关键是对其抽象性质进行变形 配凑 如本题中观察到2 x与x 2是互为相反数 则可判断其奇偶性 然后利用奇偶性将f 4 x 变换为 f x 4 9 已知f x 是定义在r上的奇函数 且函数y f x 的图象关于直线x a a 0 为常数 对称 证明 f x 是周期函数 10 证明 由已知f x f x 且f a x f a x 所以f 2a x f a a x f a a x f x f x 所以f 4a x f 2a x f x 所以f x 是周期函数 且周期为4a 11 题型六 函数的对称与周期3 若y f 2x 的图象关于直线和对称 则f x 的一个周期为 a b 2 b a c d 4 b a 12 因为y f 2x 关于直线对称 所以f a 2x f a 2x 所以f 2a 2x f a a 2x f a a 2x f 2x 同理 f b 2x f b 2x 13 所以f 2b 2x f 2x 所以f 2b 2a 2x f 2b 2a 2x f 2a 2x f 2x 所以f 2x 的一个周期为2b 2a 故知f x 的一个周期为4 b a 故选d 答案 d 14 点评 本题考查函数的对称性以及周期性 类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可 若函数y f x 的图象关于直线x a和x b对称 a b 则这个函数是周期函数 其周期为2 b a 若函数y f x 的图象关于直线x a和点 b 0 对称 a b 则这个函数是周期函数 其周期为4 b a 若函数y f x 的图象关于点 a 0 和点 b 0 对称 a b 则这个函数是周期函数 其周期为2 b a 15 已知定义在r上的函数f x 满足f x 4 f x 且f 4 x f x 当0 x1f 5 f 15 5 b f 5 f 6 5 f 15 5 c f 5 f 5 f 6 5 c 16 由定义在r上的函数f x 满足f x 4 f x 且f 4 x f x 得函数f x 的图象关于直线x 2对称 且周期是4 又由当0 x1 x2 2时 都有f x1 f x2 得函数f x 在区间 0 2 上单调递增 所以 f 6 5 f 2 5 f 1 5 f 5 f 1 f 15 5 f 3 5 f 0 5 而0 0 5 1 1 5 2 所以f 0 5 f 1 f 1 5 从而f 15 5 f 5 f 6 5 故选a 17 已知定义在r上的偶函数f x 满足 对任意实数x都有f x 2 f x 成立 且当x 2 3 时 f x x 则当x 1 0 时 f x 的解析式为 a x 4b x 2c 3 x 1 d 2 x 1 18 当x 1 0 时 2 x 2 3 由已知f x f x f 2 x 2 x 3 x 1 故选c 答案 c 19 1 证明抽象函数的周期性 关键是找出其周期 一般通过尝试变形或类比三角函数获得 2 求周期函数在某个区间内的解析式 先要在该区间内选取自变量 再通过周期调节到已知区间 从而将它转化为已知区间内的函数解析式 20 3 求周期函数的函数值 要通过周期的调节 将它转化为已知区间内的函数值来解决 4 函数的周期性常与函数的奇偶性结合在一起 解题中要充分利用f x 与f x 的关系帮助变