等差数列及性质教学教案.doc

等差数列（一） 创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列： 0 5 10 15 20 48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。（学生积极讨论，得到结论，教师指名回答）共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。（二）设置问题，形成概念 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。 师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？ 学生讨论后得出结论： 数学语言： 或 1)那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则 （三）等差数列的通项公式 师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列 的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？师：若一个无穷等差数列，首项是，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳） 即： 即： 即： 至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。 生：师：此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？叠加法：是等差数列，所以： 两边分别相加得： 所以：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：迭代法：是等差数列，则： = = 所以：由以上关系还可得： 即： 则： =即得等差数列的第二通项公式：（四）通项公式的应用：师：要求等差数列的通项公式只需要求谁？生：和师：通项公式中有几个未知量？生：、师：要求其中的一个，需要知道其余的几个？生：3个。 举几个简单的例子让学生求解（屏幕显示）：等差数列中，已知： 求已知： 求已知： 求已知： 求（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。）例题讲解：例一：1、求等差数列8、5、2 的第20项 解：由 得： 2、是不是等差数列、 的项？如果是，是第几项？ 解：由 得 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得： 成立 解得：即是这个数列的第100项。例二：数列是等差数列吗？（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看 是不是一个与n无关的常数。）生： 所以：是等差数列引申：已知数列的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？（指定学生求解）解：取数列中任意两项和 它是一个与n无关的常数，所以是等差数列？ 并且： 由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.师：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？生：等差数列是关于正整数的一次函数。师：一定是一次函数吗？生（茫然，讨论）：还可以是常数函数，当的时候。师：那么等差数列的图像有什么特征？生：是均匀分布在一条直线上的一群孤立的点。师：通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？一是利用定义： 或 1)二是利用通项公式：是关于的一次函数或常数函数。课堂检测反馈：、 求等差数列10、 的第项。、 20是不是等差数列、3.5、7 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。、 等差数列中，已知： 求和、 等差数列中，已知： 求、 等差数列中，已知： 求、（五）课时小结：（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）1.等差数列的定义： 或 1)2.等差数列的通项公式：或等差数列的性质教学重点、难点：重点：等差数列的性质及推导。难点：等差数列的性质及应用。等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：；若（），则；。等差数列的其它性质：为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。例题讲解：例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。【变式】已知是等差数列，（1）已知：,求（2）已知： ,求。例2、已知是等差数列，若,求。【变式1】在等差数列中，已知则等于 （ ）A. 40B. 42C. 43D. 45【变式2】等差数列中，已知为（ ）A. 48 B. 49 C. 50 D. 51【变式3】已知等差数列中，则的值为 （ ）A15 B30C31 D641、 在等差数列中，（1） 已知求= （2） 已知求 （3） 已知求 （4） 已知求 2、已知，则的等差中项为（ ）A B C D3、2000是等差数列4，6，8的（ ）A第998项 B第999项 C第1001项 D第1000项4、在等差数列40，37，34，中第一个负数项是（ ）A第13项 B第14项 C第15项 D第16项5、在等差数列中，已知则等于（ ）A 10 B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5的第15项的值为 7、等差数列中，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是 8、在等差数列中，已知，求首项与公差d9、在公差不为零的等差数列