投资收益与风险的建模与分析PPT课件.ppt

2020 2 8 投资收益与风险的建模与分析 CunchenGao 高存臣 SchoolofMathematicalScienceOceanUniv ofChinaSonglingRd 238 Qingdao 266100E mail ccgao Tel 0532 66787215 1 2020 2 8 1 掌握用动态规划法建立投资收益与风险数学模型的方法 并会对模型求解 进行灵敏度等方面的分析 2 增强参加全国大学生数学建模竞赛的信心 并希望在 月报名参加这项竞赛 锻炼自己的建模能力 应用数学方法分析问题与解决问题的能力 团结写作能力 建模目的 2 主要内容 0 个人科研情况1 问题的提出2 符号说明3 模型建立4 模型求解5 灵敏度分析6 模型的的研究方向7 数学建模中应注意的问题 2020 2 8 3 2020 2 8 0 个人科研情况 高存臣 袁付顺 肖会敏 时滞变结构控制系统 科学出版社 2004 高存臣 张逢臣 数学模型 第一版 海南出版社 2001 高存臣 张逢臣 数学模型 第二版 海南出版社 2002 高存臣 数学模型与实验 高等教育出版社 待出版 高存臣 时滞广义变结构系统 科学出版社 待出版 4 2020 2 8 0 个人科研情况 高存臣 常微分方程指导与实验教程 高等教育出版社 待出版 发表学术论文200余篇 其中SCI收录65篇 EI收录56篇 ISTP收录30篇 主持完成国家自然科学基金3项 主持完成山东省自然科学基金3项 主持完成市自然科学 重点 基金2项 主持完成山东省重点试点课程 常微分方程 1项 主持山东省省级精品课程 正在主持国家自然科学基金1项 5 2020 2 8 0 个人科研情况 13 获得国家教委科技进步一等奖1项 第三 14 获得山东省自然科学二等奖1项 第二 15 获得山东省教委科技进步三等奖3项 第一 16 获得山东省教委优秀教学成果三等奖3项 17 获得青岛市自然科学二等奖1项 第一 18 山东省科委鉴定成果1项 6 1 问题的提出 在市场上有n种资产 如股票 债卷 基金 期货 房地产 供投资者选择 某一公司有数额为的一笔相当大的资金可作为一个时期的投资 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估 估算预测出在此时期内 1 购买资产的平均收益率为 2 购买资产的风险损失率为 2020 2 8 7 2020 2 8 1 问题的提出 考虑到投资越分散 总的风险就越小的特点 公司确定 3 当用这笔资金购买若干种资产时 总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量 4 购买要付交易费 费率 5 购买数额不超过时 交易费按计算 不购买当然不用付费 8 2020 2 8 1 问题的提出 6 假定 同期银行存款利率是 且既无交易费又无风险 1 已知n 4时的相关数据如下 9 2020 2 8 1 问题的提出 试给该公司设计一种投资组合方案 即用给定的资金 有选择地购买若干种资产或银行生息 使净收益尽可能大 而总体风险尽可能小 10 2020 2 8 1 问题的提出 2 试就一般情况对以上问题进行讨论 并利用以下数据进行计算 11 2020 2 8 1 问题的提出 12 2020 2 8 1 问题的提出 13 2020 2 8 1 问题的提出 14 2020 2 8 1 问题的提出 模型假设 A1 投资时期内的收益率与损失率不变 A2 总体风险以投资中最大一个风险进行度量 A3 购买的交易费率为 当资产时 均需要付交易费 A4 银行同期内的存款利率是 且不需要付交易费 也没有风险 15 2020 2 8 2 符号说明 表示能够投资的资产种类 相当大 投资总额资产的纯购买额购买资产的交易费率购买资产的交易费购买资产的风险损失率购买资产的平均收益率 16 2020 2 8 3模型建立 3 1有关概念3 1 1风险损失率和总体风险 为收益 此时故总体净收益 17 2020 2 8 3模型建立 3 1 2风险损失率和总体风险则在用资金购买资产时的风险为 根据假设A4 购买若干种资产时 其总体风险为 18 2020 2 8 3模型建立 3 2模型建立3 2 1模型A根据上述概念 可建立存在无风险投资时 资产组合投资决策函数为 1 s t 2 19 2020 2 8 3模型建立 由于此两个函数具有一般性 其计算较为复杂 考虑到资金相当大 便可认为从而 可把交易费简化为 在资产中投资的总额可表示为Zi为资产Si的投资比例 20 2020 2 8 3模型建立 此时购买额可表示为这样 上述两个决策函数 1 2 可转化为 21 2020 2 8 3模型建立 于是 可以建立双目标规划模型 即模型A 3 4 s t 22 2020 2 8 3模型建立 3 2 2模型B对于双目标规划模型A 一般可采用网格搜索法 在投资种类较多时 模型A求解比较复杂 因此 需要在模型A的基础上进行适当简化 现对总体风险赋予一个上界值 在不超过的情况下 寻求收益达到最大的投资组合 投资比例 其数学模型为模型B 23 2020 2 8 3模型建立 5 s t 24 2020 2 8 模型求解 4 1模型A的求解由于模型A为双目标规划模型 所以我们采用双目标规划的一般方法进行求解 设和分别表示投资者赋予期望收益和总体风险的权重数 令此时将双目标规划A转化为如下的单目标规划模型 25 2020 2 8 4模型求解 s t 26 2020 2 8 4模型求解 一般情况下 越大表示投资者对投资风险越厌恶 当时 表示投资者对资产投资风险特别厌恶 对上述模型 用网格搜索法求解 需要编制计算机程序 即可得到给定之下的最佳投资组合 此处略 27 2020 2 8 4模型求解 在问题1中的投资种类 对于不同的 容易得到资金的投资比例及相应的净收益和风险 即可得到不同的的投资组合如下时 时 28 2020 2 8 4模型求解 时 时 时 为进一步分析模型结果 画出 曲线图如下 29 2020 2 8 30 2020 2 8 4模型求解 由图1 2可知 和是的非增函数 这是由于随着的增大 即投资者对风险的厌恶程度增大 风险承受力降低 从而使和减小 从图中还可看出一个有趣的现象 在时 和均发生突变 这是由于在风险超过一定限度时 投资者就会由风险型变为保守型 这比较符合实际 4 2模型B的求解对于某一次投资 因为为常数 此时模型B可简化为 31 2020 2 8 32 2020 2 8 4模型求解 s t 33 2020 2 8 4模型求解 此模型为单目标线性规划模型 可直接利用Lindo软件求解 但是为了在较大时求解方便 我们提出了下述准则以给出更为简便的方法 准则1各资产的投资比例分配由净收益率从小到大排序 准则2如有资产和的净收益率相等 则对应的风险较小的资产优先考虑 34 2020 2 8 4模型求解 现假设各资产投资的净收益率排列为则在分配中 若 而 可分两种情况进行讨论 1 分别给和的分配比例值时 此时的净收益率关系式恒成立 35 2020 2 8 4模型求解 即投资比例不比投资比例更优 36 2020 2 8 4模型求解 2 当分配给和的分配比例值时 不妨设 此时有恒成立 37 2020 2 8 4模型求解 于是 投资比例不比投资比例更优 由此可见 假设A不成立 即不存在的投资比例为最优 38 2020 2 8 4模型求解 准则2说明 对于净收益相等的若干资产 假设投资比例综合总和为 在某个之下 不论如何分配 它们所产生的净收益为 即净收益不变 而风险为取得更小的风险 我们应尽量将投资放在风险小的资产上 这样可以得到其它投资比例不变的情况下风险最小而使净收益不变的最优解 故上述准则1与准则2是合理的 39 2020 2 8 4模型求解 由上述准则1 2进行编程 即可得出一系列的以为上界的最佳投资组合 40 2020 2 8 4模型求解 4 3模型B的主要结论4 3 1问题2的解由于问题2中的风险投资种类 我们利用模型B进行求解 任意给定 确定投资风险在不超过情况下的最优投资组合 见表4 1 曲线图见图3 表4 1 41 2020 2 8 42 2020 2 8 4模型求解 由图3可知 随着的增加 收益将逐渐增大 投资者可根据自己的偏好 选择满足要求的和 进行有效资产组合投资 考虑到要尽量大 要尽量小 同时分析曲线知 在时 随急剧上升 这是由于随着的增大 人们对风险的厌恶程度减缓 投资者逐渐走向风险型 而在时 曲线渐趋平缓 这是由于当大到一定程度时 风险收益大的资产均已投资 收益变化的不大 43 2020 2 8 4模型求解 由于变缓范围较广 在此不一一列举 只给出一个次优的资产组合 44 2020 2 8 4模型求解 4 3一般问题的求解现利用模型B将问题1与问题2结合在一起考虑 即风险种类投资 通过编制程序即可求出 并画出曲线如图4所示 45 2020 2 8 46 2020 2 8 4模型求解 由图4曲线可以看出 曲线可分为三段 i 时 急剧增大 这是因为随着的增大 投资者对风险的厌恶程度降低 即投资者由保守型走向风险型 并且此时只需考虑问题2的15种投资 因此 增大显著 ii 时 随快速增大 这是因为风险的增大对投资方向的影响减缓 iii 时 渐趋平缓 47 2020 2 8 4模型求解 为了研究投资资产的个数K对R的影响 取 用模型B分别计算不同投资资产数目时的收益 由计算结果可以看出 当资产数目较少时 随着资产数的增加 迅速增长 但当时 几乎与最大收益相等 由此可看出 投资过于分散 并不能增加 再考虑到资金管理因素 因此组合投资的数目不宜过多 48 2020 2 8 灵敏度分析 5 1在模型A B中 假设成立 研究此假设的合理性 先求出满足假设的最小总投资额 此时恒成立 因此 49 2020 2 8 灵敏度分析 对于模型A或B来说 当或变化时 也随之变化 为此 我们可以通过改变或的值 得到一组 其结果可以从表5 1与表5 2看出 相对于资金总额很小 故对模型A和模型B的简化是合理的 表5 1 50 2020 2 8 灵敏度分析 表5 2 51 2020 2 8 灵敏度分析 5 2一个好的模型不仅适用于某一具体问题 而且还应对同一类问题有效 因此我们尝试对原始数据进行修改 以考察模型的适用性 由于银行资产比较特殊 故此我们对银行利率进行改动 我们选择0 005 0 1 0 15三个数进行考察 见表3 52 2020 2 8 灵敏度分析 表5 3 53 2020 2 8 灵敏度分析 表5 3中的数据是由模型A计算得到的 银行利率改变对投资没有影响 这主要是因为均为高收益低风险资产 从表5 3中还可以看出 银行利率的小幅上涨 相对于 并不改变投资者的投资方向 54 2020 2 8 灵敏度分析 表5 4 55 2020 2 8 灵敏度分析 表5 4中的数据由模型B计算得到的 当较小时 即投资者对风险承受力较小时 银行利率变化对投资者影响较大 而当较大时 影响几乎为0 这说明对于冒险型投资者来说银行利率的提高并不影响他们的投资方向 56 2020 2 8 6模型的研究方向 1 对于投资种类中的收益率随时间的变化而变化时 需要研究新的模型 这是一个公开问题 2 对于投资总额随市场变化时 研究上述投资收益与风险问题也是一个公开问题 57 2020 2 8 7数学建模中应注意的问题 1 建模机理的确定一个数学模型建立的是否符合实际 正确地确定建模机理是最重要的 例如 在人口模型中 Malthus采用的建模机理是 人口数的变化率与当时的人口成正比 而Logistic的建模机理就进一步改进 提出了最大容量的概念 58 2020 2 8 7数学建模中应注意的问题 Logistic采用以下的建模机理 人口数的时变变化率与当时的人口数成正比 从而得到更符合实际的数学模型 59 2020 2 8 7数学建模中应注意的问题 2 模型假设的合理性对于不同的实际问题 作出合理的模型假设是建立好数学模型的关键 如果假设不合适 将会得到不合实际的模型