量子力学-复习要求.doc

量子力学复习要求2008. 4. 24一. 基本概念:l 波粒二象性, 德布罗意关系l 波函数的统计解释,波函数的标准条件,波函数的归一化l 几率与几率流密度与波函数的关系l 几率与几率密度的区别;l 算符, 坐标算符, 动量算符, 角动量算符及哈密顿算符的构成.l 本征值方程, 本征值, 本征函数l 氢原子波函数的构成, 简并的概念, 4个量子数l 态叠加原理, 波函数按照本征函数展开, 展开系数的意义l 算符的对易关系与测不准关系l 表象的概念l 定态微扰论: 求能量的一级修正,二级修正,波函数一级修正的基本思路l 含时微扰论: 计算跃迁几率的基本思路l 自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利矩阵l 在某个自旋态求平均值, 自旋算符的本征值和本征函数l 全同性原理的含义与表述l 玻色子与费米子的定义与区别,泡利不相容原理的表述二. 计算题与证明题l 一维薛定谔方程的求解;l 简单的本征值方程求解;l 几率与几率密度的计算;l 力学量在某个态平均值的计算;l 有关厄密算符性质的证明(本征值为实数, 本征函数正交等)l 证明或检验算符的对易关系及测不准关系;l 简单的定态微扰论求能量的一级和二级修正;l 自旋算符的本征值问题.量子力学概念题, 证明题和计算题的具体要求1. 微观粒子的波粒二象性,徳布罗意关系的物理意义(1.2, 1.3);2. 一维无限深势阱的波函数的表达式, 习题2.3的结果可以直接用: 2.3一粒子在一维势场中运动, 求粒子的能级和对应的波函数. 结果: 粒子的能级为 ,归一化的波函数为 .3. 利用波函数的标准条件定解(2.3, 2.7);4. 有关本征值,本征函数,本征值方程的概念与证明(见教材有关内容); 5. 波函数的统计解释, 几率密度,几率,几率流与波函数的联系(3.3, 3.4题);6. 波函数按照本征函数展开,所得到展开系数的物理意义(3.9题);7. 氢原子4个量子数的取值范围,各个量子数的取值与对应的算符的本征值的关系,简并态的概念(3.5, 3.9题);8. 氢原子电子的基态波函数, 电子几率分布的最可几半径的计算(3.2题);9. 力学量平均值的计算,对平均值公式中各个量的理解(3.1, 3.2, 3.6, 3.7);10. 算符的对易与测不准关系; 用测不准关系估计氢原子的基态能量(3.13题);11. 非简并定态微扰论计算能量的一级修正和二级修正(理解计算公式中各个量的意义).(5.2, 5.3题)12. 对电子自旋角动量取值的理解;在自旋态中计算力学量的平均值,计算力学量的均方偏差(7.2题);13. 泡利矩阵与自旋角动量算符矩阵的联系, 利用自旋角动量算符的本征值方程(矩阵形式)确定自旋函数,及自旋角动量的本征值(教材有关内容及7.3题)考试题型: 考试由概念题(25%)和计算题与证明题(75%)两个部分组成.需要记住29个公式第一章 绪论1.德布罗意关系,(1)(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 (3)4.戴维孙和革末的电子衍射实验(说明电子具有波动性的实验).作业: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5第二章 波函数和薛定谔方程1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波.2.态叠加原理:如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程 (4)定态薛定谔方程 (5)其中 (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4.几率流密度和几率守恒定律与薛定谔方程的联系;几率流密度 (7)几率守恒定律 (8)其中代表几率密度.5. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.6. 波函数的归一化, (9)注意积分区域,注意不同坐标系中积分体积元和积分上下限.7.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 线性谐振子(不要求).注意在势能分布具有对称性的情况下应用对称性简化定解过程.波函数的标准条件是: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.l 波函数的连续性总是对的;l 而波函数的一阶导数的连续性在个别情况下不成立(例如一维无限深势阱的情况).作业: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8第三章 量子力学中的力学量1. 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念 (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.完全性: 厄密算符的本征函数和组成完全系, 即任一函数可以按和展开为级数: (12)展开系数: , (13) . (14)是在态中测量力学量得到的几率,是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率.4. 和算符的本征值方程, 本征值和本征函数. , 本征函数 .5. 氢原子的哈密顿算符,及其本征值,本征函数的数学结构, (15)主量子数,角量子数和磁量子数的取值范围.简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度. (16)7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的 体积元内的几率(17)计算电子几率的径向分布和角分布. 计算在半径到的球壳内找到电子的几率.8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. (18)注意(11)式对波函数所在的空间作积分.9. 算符的对易关系及测不准关系.(i) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数. 例如氢原子的哈密顿算符,角动量平方算符和角动量算符相互对易, 则它们有共同的本征函数,在态中,它们同时具有确定值:, 和.(ii) 测不准关系:如果算符和不对易,则一般来说它们不能同时有确定值.设 则算符和的均方偏差满足:(19)其中, (a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量,(b) 给定态函数,计算两个力学量和的均方偏差的乘积(20)作业: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12第四章 态和力学量的表象(定性要求与概念理解)表象的概念, 1 坐标表象的波函数与动量表象的波函数及其物理意义；和 2对表象的理解: (1) 状态: 态矢量 (2) 表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间);(3) 本征函数: 坐标系的基矢量(4) 是态矢量在表象中沿各 基矢量的分量: 3. 算符的矩阵表示和薛定谔方程的矩阵表示第五章 微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题1. 确定微扰的哈密顿算符: , 及与对应的零级近似能量和零级近似波函数;(1) 计算能量的一级修正: (21)(2) 计算波函数的一级修正: , (22) 其中, . (23)(3) 计算能量的二级修正: . (24)简并情况下的微扰理论不作要求.含时微扰理论要求理解跃迁几率的计算思路以及教材(5.7-12)式中各项的物理意义.作业: 5.2, 5.3第七章 自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量,它在空间任何方向的投影只能取(25)2. 电子的自旋磁矩,它和自旋角动量的关系为 (SI) (26)在空间任意方向上的投影只能取两个数值: (SI)(27)其中为玻尔磁子.3. 自旋算符的矩阵形式 , , (28)泡利矩阵 , , (29)4. 自旋算符的对易关系及测不准关系5. 全同性原理: 在全同粒子组成的体系中,两个全同粒子相互代换不会引起体系物理状态的改变. 6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变. 实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子: 波函数是反对称的; (II) 玻色子: 波函数是对称的.7. 泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.作业: 7.1, 7.2, 7.3部分作业题及参考答案 第一章 1. 2, 答:7.071. 3, 答:12.61. 4, 答:, , 动能的量子化间隔 焦耳, 和的热运动能量分别为 焦耳, 焦耳, 因此.1.5. 答:米第二章 2.1, 2.3, 答: , 2.4, 2.5, 答: 2.7, 答: 第三章 3.1, 答: 势能平均值 ,动能平均值 , 动量的几率分布函数 .3.2, 答:半径平均值, 势能平均值 , 最可几半径 ,动能平均值, , 动量的几率分布函数, 3.4, 答:圆周电流的磁矩为, 其中 , 氢原子的磁矩为 3.5, 答: (1) , , (2) , .3.