素材：2012高中数学备课参考数学教学记一次利用生成性资源的教学.doc

2009年第l2期数学教学 12一 记一次利用生成性资源的教学 2150江苏省苏州新区第一中学顾日新在数学课堂教学过程中，难免会有一些生成性资源和我们不期而遇，有的是我们熟悉的，有的则是我们陌生的面对它们，是回避，还是做一个有心人，和学生一道去研究它?很明显，要珍惜生成性资源 I问题的提出题1设点(二)是 B内部一点，且满足 (二 +2二Ji二 =二B与 () ()E+() 0，则 ()二 的面积之比为 (答案：1：2)批阅作业时，笔者发现题1的出错率极高，于是在随后的课上对该题作了详细的讲解，讲解完之后，照惯例给了学生两分钟的自由讨论和订正整理时间，一个学生提出的疑问吸引了所有人的注意- 生1：本题的面积之比和条件“OA+20B+ o =0”中 “(=)”、“0B”的系数之比相同，这是巧合，还是存在相应的结论?笔者一时不知如何回答，便灵机一动，对题1的条件稍作变化，给出了如下变式：变式：已知点(二)在jE内部，且有0 + 30B+()= 则AA0B与 ()的面积=C0，=之比为 师：到底是巧合，还是确实存在相应的结论，请同学们完成变式题后自己去判断很快，学生得出答案是1：3，这和题目条件中“O 、“O百”的系数之比也完全相同规律的再次出现让课堂气氛悄然升温，几乎所有学生都觉得这其中一定存在相应的结论凭直觉，笔者也觉得这绝不会是一个偶然的巧合，其背后一定掩藏着必然的规律可以肯定地说，学生的疑问正是一个难能可贵的生成性资源 1 生成性资源的研究 2 一般规律的猜想师：看来我们今天会有意外的收获了，请同学们发挥想象力，对结论进行合理猜想生2：(猜想1)设点D是AABC内部一点，且满足二)+(二)百+ (二) = 0(A0)，贝0SAAOB： AOC：SaBOG=入：1：1生3：(猜想2)设点(=)是AABC内部一点，且满足(二)+ 1(二)B+ 2(二)C= 0(1、A20)，则AOB：SaAOC： BOC=2：l：1生4：(猜想3)设点(二)是A日内部一点，且满足 l()+ 2二矗+ 3 = 、2A=()D 0(l、3同号)，则AOB：SaAOC：SaBOC=3：2：1 22一般规律的证明对于上面的三个猜想，只要能证明猜想3，则猜想1和猜想2同样得证为了降低证明的难度，笔者让学生先对猜想l进行证有了前面题1的讲解，学生很快得出如下证明过程：证明：如图1所示，以o、(二)B为邻边作 (二)BD，连二)D交B于点E，则0A+0B= DD =一AOC，即二)C：0D：1：，且C、二)、D三点共线，则AOB： AOC=SaAOD： SAAOC =0D：0C =：1又SAAOC = SBOC，所以AOB：SAOC：SBoc=：1：1成立 D UB图1师：这是一个令人鼓舞的猜想和证明，请同学们接着证明猜想2证明：如图2所示：设AIOB=OD，以0、OD为邻边作AODE，连OE、AD，OE交AB于点F，则， oA+A10B=0 +DD =0E= -A20C，二星塾堂垫堂生箜塑即OC：OE=1：2，KC、0、E三点共线，：，以OA、二)D为邻边作口 oDE，贝SAAOC：SAOE=OC：OE=1：2，即 A1一、一一一一 SD：士sAE又SABSD：连()、A，=B()+()A。o： o二ED则)+ o=二D： OB：OD：1：1，。B： AoD，则 oB：A。：士。D：士 A。E：入2：1 同理可证SAOC：SABOC=A1：1，所以 SAAOB：SAAOC：SABOC： 2：1：1成立图2猜想2的圆满得证，使我们更有信心去相信猜想3一定是成立的，一位学生则利用猜想2对猜想3进行了如下证明，真是让人叫绝!生5：()+ 2二B+ 3二C=0证明：由 1=()得o+30：由猜想2可知+A、1 1、AoB：AOC： BOC =：1，即， AOB：SAAOC：SBOC=3：2：AI通过上面的证明可知，学生的三个猜想完全正确，教室里洋溢着收获的喜悦，就在笔者正要进行课堂小结时，一个爱动脑筋的学生让这节课的战果又进一步扩大了 23结论的进一步拓展生6：如果点0位于AABC的外部时，相应的结论还能成立吗?笔者并没有对问题进行正面回答，而是鼓励所有学生积极参与对新结论的发现和证明几分钟过后，新结论及其证明过程如下：结论设点(=)是AABC外部一点，且满足 1(二)十 2O百+A30C= 0(l、 2、A3均不为0)，则 AOB：SAAOC：SABOC=l3J： l入2I：1证明：由 lOA+A20B+A30C=0得 + +-，所示，：g如图3设=一鲁，即OC：OE=1：，且、O、El，O_、AE三点共咎则SClDOC：O：I3， AGIAE丽A1A。 = A”一 I1l一= A。E，则 A。B： 两lIA=,i：uul3 Au 5SA =A。G= A。：同理可证SaAoc：SABOC=I2I：IA1I所以SAAOB： AOC：SaBOC=I3I：J2I： llI成立 n BG图3师：结合前面的所有结论，我们可以得出更为一般的结论吗?生7：设点0是 BC所在平面上任意一点 (点()，=不在 B三边所在的直线上)且满足 l(二)+20B+A30C =0(AI、2、3均不为0)，贝0SAAOB：SAAOC：SBoc=l3I： l2I：Il1从最初学生对题 1的疑问，到三个猜想的得出和证明，再到“点O是AB外部一点”，最后拓展到更为一般的结论，这些毫无预见性的思维突变和规律呈现，让笔者更加坚信，调动起学生的主体性是产生奇思妙想、切实提高课堂教学效率的最佳途径之一 1 两点感想 2 教师要鼓励学生主动生疑 “倡导积极主动、勇于探索的学习方式”是高中数学新课程标准的基本理念之一，但在实际课堂教学中，问题的提出往往来自教师，学 (下转第1214页)1214数学教学 29年第12期师：因此，走到点时，为了不掉下来，聪明的秦诗他第一次改变了前进的方向，改变的角度恰好是 1的度数，那么，这个 l与多边形有什么关系?生3：顶点处的外角生4：噢，老师，外角和360。!师：是多边形的外角和为360。!(众笑)这是我们今天收获的第一项探究成果板书：任意多边形的外角和都为360。师：好的，因为这项成果是由秦诗同学带领我们探究得到的，老师建议在我们班，权将它称为“秦诗定理”好吗?众生：好!于是，老师在刚才的结论前添上“秦诗定理一多边形外角和定理”几个大字，教室里响起了热烈的掌声生5：多边形有了外角和定理，是否也有内角和定理?看到秦诗同学收获了自己的“学术成果”，许多同学都迫不及待地想要试试师：是的，请看练习练习题1：如图2，在五边AB DE中，、B、 图2 Z1、 3、L5、 7、Z9为外角， Z2、X4、X6、 8、El0为内角 (上接第1212页)生则是被动参与，根本就谈不上“积极主动、勇于探索”，其效果可想而知那么，如何调动学生的学习积极性呢?陶行知先生说，发明千千万万，起点是一问，学生头脑里的疑问越多，他们对知识的兴趣就越高中国古代先哲在学习上就十分推崇“质疑”，清之学者陈宪章说：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进疑者，觉悟之机也，一番觉悟一番长进”试求：(1)1+ 3+ 5+ 7+ 9=? (2)Z2+Z4+X6+ 8+Zl0=?然后再推广到n边形，至此，礼边形的内角和公式水到渠成几点反思： 1 教学实践的角度来看，华东师大版“多边形的内角和与外角和”一节教材的编写是采用传统手法，把多边形分割成若干个三角形，然后由三角形的内角和定理推导出“多边形的外角和”公式的依据教参安排，用两个课时要让学生弄清其中的道理，确实不容易而如今，改用陈教授的方法，只需一课时的时间，并且能让学生在参与活动的过程中，亲身体验到知识点在生活中的原型，记忆特别深刻，课堂效率高 2 思想方法上来看，我们教给了学生看问题的正确方法正如陈省身所指出的：这样看问题，不但给“多边形外角和等于360这条普遍规律找到了直观上的解释，而且立刻把我们的眼光引向更宽广的天地当我们将此结论应用于封闭曲线时，只要用“方向改变量之和”来代替“外角和”即可；应用于凹多边形时，只要把“方向改变量总和”改为 “方向改变量的代数和”亦可正是凭借这样一种看问题的方法，19年，陈省身教授找到了一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式(高斯一比内一陈公式)，把几何学引入了新天地由此发展出来的“陈氏类”理论，被誉为划时代的贡献参考文献【1】张