细节决定成败——集合问题中的陷阱王晨明.doc

细节决定成败集合问题中的陷阱王晨明集合是数学中的最原始的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言。在每年的高考中必考，且以选择题为主，难度不大，属高考试题中的送分题。但它涉及到中学数学的各个环节，稍不注意，就会出错。为了跳出出题者所设计的陷阱，就必须注意集合中的一些细节，细节决定成败。细节1、把握集合元素形式例1 设集合A平面上的直线，B平面上的圆，则AB中的元素最多有 个 错解： 由直线与圆的位置关系可知，最多有个故填。错因分析： 上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了。正解：集合中的元素形式是直线，集合中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什么呢？故填个。例2 设集合Ayy1，R ，Bxy2，求错解：显然y所以AB=B错因分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B中的元素为,是表示函数的定义域。 正解：A1B 0，所以故AB=A妙招：要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算。解题时应认真领会，以防出错细节2、 检验集合中元素的互异性例 已知集合A=，3，B=，, 且AB，求 的值错解：经过分析知，若则即或若则即从而，正解：经过分析知，若则即或若则即从而，而 当时，中有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去，故，例设（），R，求中所有元素之和错解：集合中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为（）。错解：由（）得（）（）（）当时，1 x2，此时中的元素之和为（）当时，1 x2错因分析上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”正解：集合中的元素是方程的根，由于，故当时，方程有二重根，由集合中元素的互异性，集合，所以元素之和为；当时，1 x2妙招：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里要注意分类，注意求得结果后再代入检验。细节、牢记空集的特殊性例设集合x| ax-1=0且，求实数的值。错解：由，又故所以错因分析忽视了的情形正解：由，集合是方程ax-1=0的根，当a时，方程无根，此时集合为空集，满足题意。当a不为时，所以综合可得或。例、已知，求当求实数m的取值范围。错解：要使，应有解得：.错因分析：错解忽略了时的情况，因为当时，亦成立。正解：（1）当时，由错解可得：。 （2）当时，解得：，所以m的取值范围为：。妙招：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件 下均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑。细节、挖掘隐含条件例设全集，求实数的值错解：，且，从而，解得，或错因分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为是全集，所以首先必须满足正解：当时，符合题意；当时，U，不符合题意；故妙招：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，养成细心、规范解题的好习惯。细节、注意等价转换例、设集合且求实数a.错解：集合M表示直线y=x -2上的点的集合，集合N表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。又（即两直线平行时），故1-a=1，即。错因分析：将集合M转化为直线y=x -2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）。正解：集合M表示直线y=x -2上的不包括点（，）的点的集合，集合N表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。又（即两直线平行时），故1-a=1，即。或当集合N表示的直线过这个点时，也符合，所以把点（，）代入直线y=(1-a)x+1，解得a=3。故a=0或3。妙招：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。非常熟练三种语言的相互转化。细节、理解符号的含义例9. 如图所示，A、B是两个非空集合，定义，则（）是下图中的（ ）A. IB. IIC. IIID. IIIIII错解：因（）表示属于而不属于，应选C。错因分析：上述解法对新定义符号“”的理解不当，致使（）在迁移运用时出现错误。正解：（）的正确理解应是属于而不属于集合，而A-B为图中的区域I，故（）应为图中的区域II，应选B。妙招：集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对