高中数学全程复习方略 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 三年20考高考指数 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题 1 垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中 主要考查对与垂直有关的概念 公理 定理 性质 结论的理解及运用 往往与命题及平行关系综合在一起考查 难度较小 2 线面垂直 面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现 且常与平行关系综合命题 难度中等 3 通过线面角 二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力 常以解答题的形式出现 难度中等 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义条件 直线l与平面 内的 一条直线都垂直 结论 直线l与平面 垂直 任意 2 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 a b o l a b 平行 l a l b a b a b o a b l a b 相 交 即时应用 1 思考 能否将直线与平面垂直的定义中的 任意一条直线 改为 无数条直线 提示 不可以 当这无数条直线平行时 直线l有可能在平面 内 或者l与平面 相交但不垂直 2 直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 2 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围 0 锐角 pao 即时应用 1 思考 如果两直线与一个平面所成的角相等 则这两直线一定平行吗 提示 不一定 这两直线的位置关系可能平行 相交或异面 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 其大小为 d1b与平面abcd所成的角的正弦值为 解析 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 cb1c1 其大小为45 连接bd 则d1b与平面abcd所成的角为 d1bd 其正弦值为 答案 cb1c145 3 平面与平面垂直 1 二面角 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 两个半平面叫做二面角的 如图的二面角 可记作 二面角 或二面角 面 l ab 二面角的平面角如图 过二面角 l 的棱l上一点o在两个半平面内分别作bo l ao l 则 就叫做二面角 l 的平面角 平面角的范围设二面角的平面角为 则 0 aob 2 平面与平面垂直 定义 条件 两相交平面所成的二面角为 结论 这两平面垂直 直二面角 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 垂线 l l l 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直 交线 a l l a l a l 即时应用 1 思考 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 两平面可能平行 也可能相交 2 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 解析 由条件知 当m 时 一定有 但反之不一定成立 故填必要不充分 答案 必要不充分 3 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连接do bo 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则do bo 所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 直线与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 判定线面垂直的常用方法 2 线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时 则直线与平面内的所有直线都垂直 给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现出 平面中的两条相交直线 这一条件 例1 1 2012 佛山模拟 如图 pa 正方形abcd 下列结论中不正确的是 a pb bc b pd cd c pd bd d pa bd 2 2012 鹰潭模拟 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 又pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 解题指南 1 根据线面垂直的判定和性质定理来判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的长度 规范解答 1 选c 由题意可推得bc 平面pab 又pb平面pab 故bc pb a正确 同理可得cd 平面pad pa 平面ac 故选项b d正确 选项c显然不正确 2 由等腰三角形pbc 得be pc de垂直平分pc de pc 又be de e pc 平面bde 由 得 pc bd pa 底面abc pa bd 又pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq pa ab 2 ab bc 且 cde cpa de 由 知 bd de 互动探究 本例 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 如何证明 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd平面bdq 平面bdq 平面pac 反思 感悟 1 在证明垂直关系时 要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化 同时要注意通过作辅助线进行这种转化 2 解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析 从中找到线线垂直往往是解题的关键 因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理 变式备选 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e是侧棱bb1的中点 1 求证 a1e 平面ade 2 求三棱锥a1 ade的体积 解析 1 由勾股定理得 aea1 90 a1e ae ad 平面aa1b1b a1e平面aa1b1b a1e ad 又ad ae a a1e 平面ade 2 由题意得 平面与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 判定面面垂直的方法面面垂直的判定综合性强 可通过转化使问题得以解决 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的关系如图 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 性质 判定 性质 判定 性质 其中线线垂直是基础 线面垂直是核心 解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直 线面垂直的条件 2 面面垂直性质的应用 1 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 例2 如图 在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 1 判断ef与平面abc的位置关系并给予证明 2 是否存在 使得平面bef 平面acd 如果存在 求出 的值 如果不存在 说明理由 解题指南 1 结合图形猜测ef与平面abc垂直 由知ef cd 由 bcd 90 及ab 平面bcd可证得结论成立 2 由ef cd可知问题相当于过点b作一个平面与平面acd垂直 而这样的平面一定存在 故只需计算出 即可 规范解答 1 ef 平面abc 证明 ab 平面bcd ab cd 在 bcd中 bcd 90 bc cd 又ab bc b cd 平面abc 在 acd中 ef cd ef 平面abc 2 cd 平面abc be平面abc be cd 故要使平面bef 平面acd 只需证be ac 在rt abd中 adb 60 ab bdtan60 则当be ac时 则 即 时 be ac 又be cd ac cd c be 平面acd be平面bef 平面bef 平面acd 所以存在 时 平面bef 平面acd 反思 感悟 证明面面垂直时一般先证线面垂直 确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找 若图中不存在这样的直线 则应通过添加辅助线来构造 变式训练 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 如图 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad 且bg pg g ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df fh 平面abcd 平面def 平面abcd 菱形abcd中 g e分别为ad bc的中点 即得知h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 线面角 二面角的求法 方法点睛 1 求空间角的步骤 1 一找 即找出相关的角 2 二证 即证明找出的角即为所求的角 3 三计算 即通过解三角形的方法求出所求角 2 空间角的找法 1 线面角找出斜线在平面上的射影 关键是作出垂线 确定垂足 2 二面角二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的常见作法有 定义法 垂面法 其中定义法是最常用的方法 提醒 在作二面角的平面角时 若题目中有面面垂直的条件 则可由面面垂直得到线面垂直 进而根据定义作出二面角的平面角 例3 2011 广东高考 如图 在锥体p abcd中 abcd是边长为1的菱形 且 dab 60 pa pd pb 2 e f分别是bc pc的中点 1 证明 ad 平面def 2 求二面角p ad b的余弦值 解题指南 1 取ad中点g 证明ad 平面pgb 再证明平面pgb 平面def 2 连接pg bg 证 pgb是所求二面角的平面角 在 pgb中由余弦定理可求得二面角的余弦值 规范解答 1 取ad的中点g 连接pg bg bd 又pa pd pg ad 由题意知 abd是等边三角形 bg ad 又pg bg是平面pgb的两条相交直线 ad 平面pgb ef pb de gb ef de e pb bg b 平面def 平面pgb ad 平面def 2 由 1 知 pgb为二面角p ad b的平面角 在rt pga中 在rt bga中 在 pgb中 由余弦定理得cos pgb 即所求二面角的余弦值为 反思 感悟 1 通过三角形中位线的性质证明平行是立体几何中的常用方法 解题中要重视各种 平行 垂直 间的转化 2 空间角求解的关键是转化为平面角来处理 即转化为三角形的内角 利用解三角形的知识来解 变式训练 2012 台州模拟 如图 菱形abcd与矩形bdef所在平面互相垂直 1 求证 fc 平面aed 2 若bf kbd 当二面角a ef c为直二面角时 求k的值 解析 1 fb ed bc ad fb bc b ed ad d 平面fbc 平面eda 又fc平面fbc fc 平面aed 2 取ef bd的中点m n 连接am cm 由于ae af ce cf 所以am ef cm ef e a f d b c n m amc即为二面角a ef c的平面角 由题意知 am cm 当二面角a ef c为直二面角时 可得 amc为等腰直角三角形 故又ab ad bad abd为等边三角形 bf mn bd 故k 变式备选 如图 四棱锥v abcd中 底面abcd是正方形 侧面vad是正三角形 平面vad 底面abcd 设ab 2 1 证明 ab 平面vad 2 求二面角a vd b的正切值 3 e是va上的动点 当面dce 面vab时 求三棱锥v ecd的体积 解析 1 平面vad 底面abcd 底面abcd是正方形 ab ad 又平面vad 底面abcd ad 故ab 平面vad 2 如图 取vd的中点f 连接af bf vad是正三角形 af vd 根据 1 ab 平面vad ab vd vd 平面abf bf vd afb为面vad与平面vdb所成的二面角的平面角 tan afb 3 由 1 可知ab 平面vad cd 平面vad 平面vad 平面ecd 又 vad是正三角形 当e是va中点时 ed va va 面edc 面vab 面edc 此时三棱锥v edc的体积等于三棱锥c ved的体积 满分指导 垂直关系综合问题的规范解答 典例 12分 2011 辽宁高考 如图 四边形abcd为正方形 qa 平面abcd pd qa 1 证明 pq 平面dcq 2 求棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值 解题指南 1 证明pq dc pq qd 进而可得pq 平面dcq 2 设出正方形的边长为a 分别计算两个棱锥的体积 再求体积的比值 规范解答 1 由条件知pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd qa平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交线为ad 又四边形abcd为正方形 dc ad 所以dc 平面pdaq 2分又pq平面pdaq 所以pq dc 在直角梯形pdaq中可得则pq qd 5分又dc qd d 所以pq 平面dcq 6分 2 设ab a 由题设知aq为棱锥q abcd的高 所以棱锥q abcd的体积 8分 由 1 知pq为棱锥p dcq的高 而pq dcq的面积为所以棱锥p dcq的体