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中国十大教育品牌 全国十佳连锁品牌工程问题1、甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 【解析：】 1/20+1/169/80表示甲乙的工作效率 9/80545/80表示5小时后进水量 1-45/8035/80表示还要的进水量 35/80（9/80-1/10）35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。 2、修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 【解析：】由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x1 x10 答：甲乙最短合作10天 3、一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 【解析：】 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 （1/4+1/5）29/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以19/101/10表示乙做6-42小时的工作量。 1/1021/20表示乙的工作效率。 11/2020小时表示乙单独完成需要20小时。 答：乙单独完成需要20小时。 4、一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 【解析：】由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲0.51 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天） 1/甲1/乙+1/甲0.5（因为前面的工作量都相等） 得到1/甲1/乙2 又因为1/乙1/17 所以1/甲2/17，甲等于1728.5天 5、师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？ 【解析：】答案为300个 120（4/52）300个 可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。 6、一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 【解析：】答案是15棵 算式：1（1/6-1/10）15棵 7一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 【解析：】答案45分钟。 1（1/20+1/30）12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。 1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。 1/2181/36 表示甲每分钟进水 最后就是1（1/20-1/36）45分钟。 8、某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 【解析：】答案为6天 解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知： 乙做3天的工作量甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3 时间比的差是1份 实际时间的差是3天 所以3（3-2）26天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法： 1/x+1/（x+2）2+1/（x+2）（x-2）1 解得x6 9、两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？ 【解析：】答案为40分钟。 解：设停电了x分钟 根据题意列方程 1-1/120*x（1-1/60*x）*2 解得x40 鸡兔同笼问题没有答案 数字数位问题1、把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.2005,这个多位数除以9余数是多少? 【解析：】 首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。 解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除 依次类推：11999这些数的个位上的数字之和可以被9整除 1019，20299099这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+90=450 它有能被9整除 同样的道理，100900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除 也就是说1999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除； 同样的道理：10001999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005 从10001999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除； 200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。 最后答案为余数为0。 2、A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值. 【解析：】 (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 1003、已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少? 【解析：】答案为6.375或6.4375 因为A/2 + B/4 + C/168A+4B+C/166.4， 所以8A+4B+C102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。 当是102时，102/166.375 当是103时，103/166.4375 4、一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数. 【解析：】答案为476 解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a 根据题意列方程100a+10a+16-2a100（16-2a）-10a-a198 解得a6，则a+17 16-2a4 答：原数为476。 5、一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数. 【解析：】答案为24 解：设该两位数为a，则该三位数为300+a 7a+24300+a a24 答：该两位数为24。 6、把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 【解析：】答案为121 解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a 它们的和就是10a+b+10b+a11（a+b） 因为这个和是一个平方数，可以确定a+b11 因此这个和就是1111121 答：它们的和为121。 7、一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数. 【解析：】答案为85714 解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数） 再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x 根据题意得，（200000+x）310x+2 解得x85714 所以原数就是857142 答：原数为857142 8、有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数. 【解析：】答案为3963 解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b12，a+c9 根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察 abcd 2376 cdab 根据d+b12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d3，b9；或d8，b4时成立。 先取d3，b9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 根据a+c9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。 再观察竖式中的十位，便可知只有当c6，a3时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到：abcd3963 再取d8，b4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。 9、有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数. 【解析：】解：设这个两位数为ab 10a+b9b+6 10a+b5（a+b）+3 化简得到一样：5a+4b3 由于a、b均为一位整数 得到a3或7，b3或8 原数为33或78均可以 10、如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799.99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分? 【解析：】答案是10：20 解： （287999（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20 排列组合问题1、有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ） A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中 【解析：】 根据乘法原理，分两步： 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有54321120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120524种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2222232种 综合两步，就有2432768种。 2、若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 【解析：】 5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=593、小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析：】（1）（种）。（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置2=1440(种)（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置 (种)（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可432=2880(种)排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。4、用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【解析：】个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，根据排列数公式，一共可以组成(个)符合题意的三位数。5、用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？【解析】 可以分两类来看： 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有(种)放法，对应24个不同的五位数； 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有种选择由乘法原理，可以组成(个)不同的五位数。由加法原理，可以组成(个)不同的五位数。6、用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【解析】 从高位到低位逐层分类： 千位上排，或时，千位有种选择，而百、十、个位可以从中除千位已确定的数字之外的个数字中选择，因为数字不重复，也就是从个元素中取个的排列问题，所以百、十、个位可有(种)排列方式由乘法原理，有(个) 千位上排，百位上排时，千位有种选择，百位有种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择也就是从个元素中取个的排列问题，即，由乘法原理，有(个) 千位上排，百位上排，十位上排，时，个位也从剩下的七个数字中选择，有(个) 千位上排，百位上排，十位上排时，比小的数的个位可以选择，共个综上所述，比小的四位数有(个)，故比小是第个四位数7、用、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【解析：】按位数来分类考虑： 一位数只有个； 两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的两位数，共可组成(个)不同的两位数； 三位数：由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的三位数，共可组成(个)不同的三位数； 四位数：可由，这四个数字组成，有(个)不同的四位数； 五位数：可由，组成，共有(个)不同的五位数由加法原理，一共有(个)能被整除的数，即的倍数8、用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析：】由于组成偶数，个位上的数应从，中选一张，有种选法；十位和百位上的数可以从剩下的张中选二张，有(种)选法由乘法原理，一共可以组成(个)不同的偶数9、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析：】四个非数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，其余位置放，共有种选择；第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的位置放，共有(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放，共有种选择综上所述，由加法原理，一共可以组成(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试次10、两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？第一个位置在个人中任选一个，有(种)选法，第二个位置在另一胞胎的人中任选一个，有(种)选法同理，第，个位置依次有，种选法由乘法原理，不同的坐法有(种)。11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有种排法，再排甲，也有种排法，剩下的人随意排，有(种)排法由乘法原理，一共有(种)不同的排法。12、名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起； 男女相间【解析】 先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随意排，也就是个元素全排列的问题，有(种)选择由乘法原理，共有(种)排法 甲、乙先排，有(种)排法；剩下的个人随意排，有(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有(种)和(种)排法由乘法原理，共有(种)排法 先排名男生，有(种)排法，再把名女生排到个空档中，有(种)排法由乘法原理，一共有(种)排法。13、从1，2，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】 按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有种3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有种3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有种3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种。14、某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【解析】 第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第三阶段赛场根据加法原理，整个赛程一共有场比赛。15、由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个。(2007年“迎春杯”高年级组决赛)【解析】 这是一道组合计数问题由于题目中仅要求，至少各出现一次，没有确定，出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由组成的五位数中，去掉仅有个或个数字组成的五位数即可(法1)分两类：，中恰有一个数字出现次，这样的数有(个)；，中有两个数字各出现次，这样的数有(个)符合题意的五位数共有(个)(法2)从反面想，由，组成的五位数共有个，由，中的某个数字组成的五位数共有个，由，中的某个数字组成的五位数共有个，所以符合题意的五位数共有(个)。16、个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【解析】 (法1)乘法原理按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有种选择，总共就有种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是()(种)(法2)排除法可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为，而被选的两个人相邻的情况有种，所以共有(种)。17、8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：（种）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：（种）。18、小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分。我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,，如:|表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： | | 表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法。19、某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船若这人都不乘坐船，则恰好坐满两船，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；若两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，则船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法故人都不乘坐船有种安全方法；若这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择其余的个成人与个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种安全方法所以，共有种安全乘法20、从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】 恰有名女生入选，说明男生有人入选，应为种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：；人必须入选，则从剩下的人中再选出另外人，有种；从所有的选法种中减去这个人同时入选的种：分三类情况：人无人入选；人仅有人入选；人中有人入选，共：。21、在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 有3名内科医生和2名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生。【解析】 先从名内科医生中选名，有种选法；再从名外科医生中选名， 共有种选法根据乘法原理，一共有选派方法种 用“去杂法”较方便，先考虑从名医生中任意选派人，有 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有人，所以不可能只派外科医生如果只派内科医生，有种选派方法所以，一共有种既有内科医生又有外科医生的选派方法。 如果选名主任，则不是主任的名医生要选人，有种选派方法；如果选名主任，则不是主任的名医生要选人，有种选派方法根据加法原理，一共有种选派方法 分两类讨论：若选外科主任，则其余人可任意选取，有种选取方法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余人不能全选内科医生，用“去杂法”有种选取法根据加法原理，一共有种选派方法。22、在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有(种)选派方法； 两人中选派人，有种选法而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，则还需人安装电脑，有(种)选法，而另外会安装音响设备的人全选派上，只有种选法由乘法原理，有(种)选法；若此人安装音响设备，则还需从人中选人安装音响设备，有(种)选法，需从人中选人安装电脑，有(种)选法由乘法原理，有(种)选法根据加法原理，有(种)选法；综上所述，一共有(种)选派方法 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从人中选人安装电脑，另外会安装音响设备的人全选上安装音响设备，有(种)选派方案；两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有(种)选派方案；两人全安装音响设备，有(种)选派方案根据加法原理，共有(种)选派方案综合以上所述，符合条件的方案一共有(种)23、有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张？【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类： 多面手不参加，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择 多面手中有一人入选，有种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，则需从名英语翻译员中再选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择；如果参加日文翻译，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中再选出名，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，多面手中有一人入选，有种选择 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：两人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种情况中，还需从名英语翻译员中选出人，有种选择需从名日语翻译员中选人，种选择由乘法原理，有种选择情况中，需从名英语翻译员中选出人，有种选择还需从名日语翻译员中选出人，有种选择根据乘法原理，共有种选择情况中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择剩下的需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择容斥原理1、 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 【解析：】根据容斥原理最小值68+43-10011 最大值就是含铁的有43种 2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 【解析：】根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a12325 由（2）知：a2+a23（a3+ a23）2 由（3）知：a12+a13+a123a11 由（4）知：a1a2+a3 再由得a23a2a32 再由得a12+a13+a123a2+a31 然后将代入中，整理得到 a24+a326 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a26、5、4、3、2、1时，a32、6、10、14、18、22 又根据a23a2a32可知：a2a3 因此，符合条件的只有a26，a32。 然后可以推出a18，a12+a13+a1237，a232，总人数8+6+2+7+225，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a26人。 3、一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 【解析：】答案：及格率至少为71。 假设一共有100人考试 100-955 100-8020 100-7921 100-7426 100-8515 5+20+21+26+1587（表示5题中有1题做错的最多人数） 87329（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人） 100-2971（及格的最少人数，其实都是全对的） 及格率至少为71 4、 某大楼里有125盏灯，按1,2，3，,125编号，每盏灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是4的倍数的灯的开关拉1次，再把所有号码是6的倍数的灯的开关拉1次，同时再拉1次号码是4的倍数、但不是6的倍数的灯开关，问：现在有多少盏灯是亮的？ 【解析：】号码是4的倍数的灯有4，8，12，124，共31盏； 号码是6的倍数的灯有6，12，18，120，共20盏； 号码是4的倍数也是6的倍数的灯有12，24，36，120，共10盏。 号码是4的倍数，但不是6的倍数的灯有31-10=21盏。 则亮的灯数是20-10=10(盏)。5、A、B、C三位质检员对流水线上的书包进行检查，A每3个书包抽查1个，B每5个书包抽查1个，C每7个书包抽查1个，一共有250个书包通过流水线，假定A、B、C首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求：(1)没被抽查到的书包数。(2)在A或B抽查到的书包中，没被C抽查到的书包数。【解析：】(1)250内，3的倍数有83个，5的倍数有50个，7的倍数有35个，15的倍数有16个，21的倍数有11个，35的倍数有7个，105的倍数有2个，没被抽查到的书包有250-83-50-35+16+11+7-2=114(个)。(2) 是3或5的倍数，但不是7的倍数的有83+50-16-11-7+2=101(个)。6、学校举行趣味运动会，班里的同学有20人报名。参加障碍过河比赛的有10人，参加自行车慢骑的有13人，参加“袋鼠跳”比赛的有15人，障碍过河、“袋鼠跳”都参加的有9人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有6人，自行车慢骑、“袋鼠跳”都参加的有8人，你能画出参加比赛的人数文氏图吗？ 【解析：】三项比赛都参加的人数为：20-10-13-15+9+8+6=5(人)。文氏图如下：7、某体育学校的运动员中，会游泳的有15人，会跳高的有12人，会跳远的有9人，以上三个项目只会其中两种的有13人，会三种的有5人，则只会其中两种的人分别有多少可能？ 【解析：】设只会游泳、跳高的有x人，只会游泳、跳远的有y人，只会跳高、跳远的有z人，则共有6组解：(1)x=7,y=4,z=2；(2)x=7,y=3,z=3；(3)x=7,y=2,z=4；(4)x=6,y=4,z=3；(5)x=6,y=3,z=4；(6)x=5,y=4,z=4。8、在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，则三种竞赛都参加过的学生有 ( )人。请写出过程：抽屉原理、奇偶性问题练11、 把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125340+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。2、 把三个笔盒看做3个抽屉，因为1653+1，根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。3、 把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少应比抽屉个数的（71）倍多1，而254（71）+1，所以最多方子4个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。练21、 最少应取出（31）5+111个球2、 至少取出（41）3+110块木块。3、 如果没有两张王牌，至少要取（41）13+140张，再加上两张王牌，至少要摸出40+242张，才能保证其中必有4张牌点数相同。练31、 小学六年中最多有2个闰年，共3662+36542191天，因为1317062192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。2、 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把4+6+4+115种类型看作15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46153+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。3、 全班订阅报刊的类型共有3+3+17种，因为3757+2，所以其中至少有6位学生订的报刊相同。练41、 在150中，5的倍数有50510个，不是5的倍数的就有501040个，至少要取出40+141个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。2、 在1120中，4的倍数有120430个，不是4的倍数有1203090个，正是要取出90+191个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。3、 差是5的两数有下列5组：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17，22、27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数，最多只能从每组中各取1个数，即最多可以取5个数。练51、 把11秒钟看做11个抽屉，把100米看作100个元素，因为100911+1，所以必有1个抽屉里超过9米，即必有某一秒钟，他跑的距离超过9米。2、 如图答301，把边长为2的等边三角形分成四个边长为1的小等边三角形。把它看作4个抽屉，5个点看作5个元素，则一定有一个小三角形内有2个点，这2个点之间的距离不超过1。3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条，余下一个5040的长方形，它的面积为2000平方厘米，再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆，若剪去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话，那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。因为P3270的值就小于6303.151984.52000，所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆。例题6、1+2+3+1993的和是奇数？还是偶数？【解析：】此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。解法1：1+2+3+1993又997和1993是奇数，奇数奇数=奇数，原式的和是奇数。解法2：19932=9961，11993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。996个偶数之和一定是偶数，又奇数个奇数之和是奇数，997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。例题7、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？【解析：】解法1：相邻两个奇数相差2，150是这个要求数的2倍。这个数是1502=75。解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a1）.则有（2a+1）x-（2a-1）x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。这个要求的数是75。例题8、元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【解析：】此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例题9、已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。【解析：】证明：a、b、c中有两个奇数、一个偶数，a、c中至少有一个是奇数，a-1，c-3中至少有一个是偶数。又偶数整数=偶数，（a-1）（b-2）（c-3）是偶数。例题10、如下图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？ 【解析：】任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距a米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b（米）（如下图），如果a、b中有一个是偶数，题目已得证；如果a、b都是奇数，因为奇数+奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。小试牛刀1为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出4个球。2最少要抽取29张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。3证明：A、B、C、D四类书，根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种，分别是： 因为有11名学生到老师家借书，