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信号与系统 2008 2009学年第二学期 1 第八章滤波器和均衡器中的应用 滤波器是对信号的频率成分进行选择和调整的工具 使用滤波器对信号进行选择的前提 是所需要的频率成分与寄生信号的频率成分之间是隔离的 均衡器是从输出信号中恢复输入信号的工具 利用拉普拉斯变换和z变换 可以实现滤波器和均衡器的设计 理想滤波器概念是滤波器设计的基础 从理想滤波器概念出发 可以实现实际滤波器的设计 以连续时间系统的角度设计的滤波器是模拟滤波器 以离散时间系统角度设计的滤波器是数字滤波器 8 1引言 2 8 2无失真传输条件 如果输出信号y t 只是输入信号x t 幅度的尺度变换和恒定的时间延迟 则称系统对输入信号进行了无失真的传输 系统无失真传输的条件可以表示为 其中C和t0均是常数 分别代表幅度变换程度和传输过程中的时间延迟 LTI系统 输入信号x t 输出信号y t Cx t t0 无失真传输系统的傅里叶变换为 线性非时变无失真传输系统的频率响应和时间响应 3 8 2无失真传输条件 无失真传输系统的幅度响应为常数 无失真传输系统的相位响应 是以系统延迟时间的负值为斜率 随频率变化的直线 无时移系统的相位响应为常数 离散信号无失真传输系统的频率响应 4 8 3理想低通滤波器 实际信号随时间的变化率一般都有一定的上下限 即信号的频谱只占有有限的频率范围 我们可以通过对系统进行设计 使其具有选择让某些频率范围的信号通过 并阻断某些频率范围信号的功能 实现这种功能的方法或工具称为滤波器 实际系统都只能对一定频率范围的信号做出响应 因此从广义上说 实际系统具有滤波器的功能 滤波器的频率响应通过通带和阻带体现其特性 通带与阻带之间由过渡带 保护带 隔离开 过渡带往往是系统为保证完整而无失真地取得有用信号的冗余 滤波器有低通 高通 带通和带阻等类型 分别对应系统需要传输低频 高频 中频及除中频外频段信号的特性 低通滤波器是具有让零至某一最大频率范围信号通过 而阻断其他高频信号通过的系统 允许所有通带内的低频信号无失真通过 通带外的高频信号完全不能通过的滤波器是为理想低通滤波器 5 8 3理想低通滤波器 理想低通滤波器的频率响应 6 8 3理想低通滤波器 理想低通滤波器的冲激响应 由于t 0时 h t 0 理想低通滤波器不具有因果性 7 8 3 1矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特性 输入为矩形脉冲 通过理想低通滤波器后的输出信号为 其中 8 8 3 1矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特性 而 称为正弦积分 正弦积分的基本特点 正弦积分是奇函数 正弦积分在 的整数倍位置上有极大值或极小值 随着 u 的增加 正弦积分趋向于极限值 2 9 8 3 1矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特性 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点 1 c 2 T0时 输出信号y t 与输入矩形脉冲x t 的持续时间大致相同 但是 a 与输入信号的陡峭上升和下降不同 输出信号具有一定的上上升和下降时间 上升和下降时间的长短与截止频率 c成反比 截止频率越大 上升和下降时间越短 b 输出信号y t 在上升和下降沿的前后存在过冲和振荡 吉布斯现象 最大顶部上冲量约为正弦积分极限值的9 2 c 2 T0时 输出响应y t 可以看成一个脉冲信号 脉冲的上升时间和下降时间之和与输入矩形脉冲的持续时间几乎是相同的 可以近似反映输入信号的有无和持续时间过程 3 当 c 2 T0时 响应y t 可以粗略地看作输入脉冲的失真模式 10 8 3 1矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特性 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的特点 cT0 10 时 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的输出 1 上升和下降时间较 cT0 4 时明显减小 2 平均振荡幅度较 cT0 4 时明显减小 3 其过冲 最大振荡幅度 基本保持不变 约为平均极限响应的9 cT0 20 时 矩形脉冲通过理想低通滤波器后的输出 1 上升和下降时间较 cT0 10 时进一步减小 2 平均振荡幅度进一步减小 3 其过冲 最大振荡幅度 基本保持不变 约为平均极限响应的9 11 8 4滤波器设计 理想低通滤波器具有的三项功能 让位于通带内的所有频率成分无失真通过 滤除所有位于阻带内的频率成分 从通带到阻带的过渡是陡峭的 但是这三项功能实际上是难以实现的 实际滤波器是在允许存在一定误差的条件下来实现的 实际低通滤波器的设计原则 1 滤波器的幅度响应的平方控制在1与1 之间 即1 H j 2 1对于0 p其中 p是通带的截止频率 是容限参数 2 阻带内滤波器的幅度的平方小于 即 H j 2 对于 s其中 s是阻带的截止频率 是容限参数 3 过渡带的带宽是有限值 为 s p 12 8 4滤波器设计 实际低通滤波器的设计步骤 1 通过表示稳定因果系统的有理传递函数 将预定的频率响应 包括幅度及相位响应 作近似表示 2 通过实际的物理系统实现以上近似表示的传递函数 实际低通滤波器的设计方法 1 对模拟系统采用模拟方法实现滤波器设计 2 在已经知道的模拟滤波器基础上设计数字滤波器 称为模拟 数字方法 3 直接进行数字滤波器的设计方法 13 8 5实现实际滤波器设计的近似函数 实际滤波器的设计没有固定和唯一的方法 只能根据需要问题的要求 从一个优化的原则和技术出发 得到符合一定规范条件下的解决方案 滤波器设计中常用的两种优化方案是最大平坦幅度响应和等纹波幅度响应 a 最大平坦幅度响应如果幅度响应 H j 对 的各阶偏导数在 0时均为零 称该滤波器 H j 是关于 0点最大平坦的 即最大平坦幅度响应满足 14 8 5实现实际滤波器设计的近似函数 b 等纹波幅度响应令幅度响应 H j 的模平方具有如下形式 如果函数F2 在整个通带内只在最大值与最小值之间振荡 那么就可以通过选择适当的 值 使得 H j 在通带内只在1与1 之间变化 称这种情况下的幅度响应为等纹波幅度响应 等纹波幅度响应举例1 函数F 关于 的K 3阶导数存在 且 c 1 i F2 0 当 0 a ii F2 1 当 b 1 iii 当 b a其中 0 b a 1 15 8 5实现实际滤波器设计的近似函数 等纹波幅度响应举例2 函数F 关于 的K 4阶导数存在 且 c 1 i F2 0 当 0 a1 a2 ii F2 1 当 0 b 1 iii 当 0 a1 b a2其中 0 a1 b a2 1 等纹波幅度响应举例2 函数F 关于 的K 4阶导数存在 且 c 1 16 8 5 1Butterworth低通滤波器 K阶Butterworth低通滤波器的定义为 Butterworth低通滤波器是关于 的偶函数 c是滤波器的截止频率 17 8 5 1Butterworth低通滤波器 Butterworth低通滤波器的特点 1 0时 H j 的2K 1阶导数均为零 即Butterworth低通滤波器对于 0是最大平坦的 2 无论K为多少阶 滤波器在 0处无衰减 3 无论K为多少阶 滤波器在 c处的输出为最大值的1 2 即以半功率输出对应的频率为截止频率 截止频率越大 通带宽度越宽 截止频率越小 则通带宽度越窄 4 Butterworth低通滤波器的阶数越大 通带内不同频率信号的增益越平坦 Butterworth低通滤波器的阶数越小 通带内不同频率信号的增益越不平坦 5 Butterworth低通滤波器的阶数越大 通带边缘的上升和下降率就越大 Butterworth低通滤波器的阶数越小 通带边缘的上升和下降率就越小 18 8 5 1Butterworth低通滤波器 由 p时 H j 2 1 得到 通带特性 19 8 5 1Butterworth低通滤波器 由 s时 H j 2 得到 阻带特性 20 8 5 1Butterworth低通滤波器 由s j 替换 H j 2中的 则 Butterworth低通滤波器的传递函数 H s H s 的极点满足 即 H s 的极点位于半径为的圆周上 图8 11 且与虚轴没有交点 特别是如果系统是稳定的因果系统 Butterworth低通滤波器传递函数H s 的极点将只位于s平面的左半平面内 21 8 5 1Butterworth低通滤波器 例题与习题 例8 3 P603 作业 习题8 2 P604 习题8 3 P604 22 8 5 2Chebyshev 切比雪夫 滤波器 Chebyshev 切比雪夫 低通滤波器是一种等纹波滤波器 它的定义式比Butterworth滤波器复杂 分为Chebyshev I型和Chebyshev II型 Chebyshev I型滤波器的定义 Chebyshev II型滤波器的定义 可见 Chebyshev II型 反Chebyshev 滤波器是Chebyshev I型滤波器的反滤波器 式中 1 是通带纹波参数 1 是阻带纹波参数 而 23 8 5 2Chebyshev 切比雪夫 滤波器 Chebyshev I型滤波器的功率谱 24 Chebyshev II型 反Chebyshev 滤波器的功率谱 8 5 2Chebyshev 切比雪夫 滤波器 25 Chebyshev I型滤波器在通带内是等纹波的 纹波的极大和极小值的总数与滤波器阶数K相同 阻带内Chebyshev I型滤波器是单调下降的 Chebyshev II型滤波器在阻带内是等纹波的 在通带内Chebyshev II型滤波器是单调下降的 Chebyshev I型通带内的等纹波性与Chebyshev II型滤波器阻带内的等纹波性结合可以减小过渡带的带宽 这时两个Chebyshev滤波器的极点均位于椭圆上 称这样的滤波器为椭圆滤波器 椭圆滤波器是最优化滤波器 因为根据这样的规范所设计滤波器的过渡带宽最小 其传递函数在s平面上的零点是有限的 零点的数目由滤波器的阶数K惟一确定 另外 Butterworth和Chebyshev滤波器传递函数的所有零点都位于s 处 8 5 2Chebyshev 切比雪夫 滤波器 26 8 6频率变换 滤波器通带之间的关系 截止 c 1的低通滤波器称为 原型 滤波器 通过改变截止频率的值 可以得到具有任意截止频率的低通滤波器 通过一定独立变量代换 可以在不改变容差的情况下 由原型滤波器得到高通 带通和带阻滤波器 8 6 1低通滤波器到高通滤波器的转换 低通滤波器的传递函数中 s平面内的s 0和s 分别代表通带的频率中点 零频率 及阻带中的渐近过程 高通滤波器的作用与低通滤波器的作用恰好相反 因此可以在低通滤波器中将sLP用 c sHP替代而得到高通滤波器的传递函数 其中 c是高通滤波器的低频截止频率 即 sLP c sHP 27 8 6 1低通滤波器到高通滤波器的转换 进一步当已经得到了原型低通滤波器传递函数的部分分式 则原型低通滤波器传递函数到高通滤波器的转换关系为 从原型低通滤波器传递函数与高通滤波器的关系直接得到 28 8 6 2低通滤波器到带通和带阻滤波器的转换 带通滤波器抑制了信号的低频和高频成分 而只允许其中某一带宽范围内的频率成分通过 带通滤波器的频率响应H j 具有如下特点 1 在以为 0中心频率 截止频率为 c的通带内 1 2 H j 2 1 2 在 远离 c的地方 H j 2 0 从原型低通滤波器传递函数得到带通滤波器的功率谱传递函数 相应地 可以建立零点位于s 0和s 处 极点位于s j 0处 通带宽度为B的传递函数 sLP s2HP 20 BsHP 进一步当已经得到了原型低通滤波器传递函数的部分分式 则原型低通滤波器传递函数到带通滤波器的转换关系为 其中极点 29 8 6 2低通滤波器到带通和带阻滤波器的转换 带z阻滤波器抑制了信号的某一带宽范围内的频率成分 而允许低频和高频成分通过 带阻滤波器的频率响应HBR j 具有如下特点 1 在以为 0中心频率 截止频率为 c的阻带内 0 H j 2 1 2 2 在 远离 c的地方 H j 2 1 从原型低通滤波器传递函数得到带通滤波器的功率谱传递函数 30 8 6频率变换 例题与习题 作业 习题8 4 P607 习题8 5 P607 习题8 6 P608 习题8 7 P608 31 8 7无源滤波器 完全由无源电路元件组成的的滤波器称为无源滤波器 无源滤波器的设计完全取决于电容和电感两种电抗元件 电阻元件只作为输入阻抗和输出负载引入到设计中 滤波器的阶数K往往由组成滤波器的电抗元件个数决定 滤波器的设计经常是根据信号的频率分布特性来进行 即预先知道了系统的传递函数 然后根据传递函数来确定构成滤波电路的元件 这个过程称为网络综合 32 8 8数字滤波器 无源滤波器在电子系统和通信系统中发挥了重要的作用 但是随着技术的进步 数字技术和计算机技术的发展 无源滤波器的主导地位逐渐被有源滤波器和数字滤波器所取代 数字滤波器通过计算实现对连续信号或离散信号的滤波处理 33 8 8数字滤波器 数字滤波器设计和实现中需要注意的问题1 数字滤波器设计的理论基础是离散信号处理理论 在那里 连续信号在时间上是经过离散抽样的 但抽样点对应信号值的精度是无限精确的 这样设计的滤波器可以在数学处理和分析上带来很大的方便 2 对于实际的数字信号 不仅在抽样过程中产生了时间的离散 同时还在量化过程中产生了信号值的数字化 使数字信号与原信号值之间产生了误差 因此在数字滤波器的实际应用中 由于计算或处理中的舍入门误差 往往会导致滤波器的实际效果与理论设计结果之间存在一定的偏差 3 注意 第一种情况的准确描述应为离散时间滤波器 第二种情况才是真正的数字滤波器 34 8 8数字滤波器 数字滤波器的分类1 有限持续时间冲击响应 FIR finite durationimpulseresponse 数字滤波器 由一个非递归线性常系数差分方程描述 其传递函数是z 1的多项式 FIR滤波器具有以下特性 有限的记忆 因此 任何瞬时启动的持续时间都是有限的 总有界输入有界输出 BIBO 稳定的 能在满足线性相位响应的无相位失真条件下 实现特定的幅度响应 模拟滤波器的特性是通过时域的无限持续时间冲击响应来体现 而数字滤波器对应的冲击响应持续时间既有有限的 也有无限的 35 8 8数字滤波器 2 无限持续时间冲击响应 IIR infinite durationimpulseresponse 数字滤波器 其输入 输出特性由一个递归线性常系数差分方程描述 其传递函数是z 1的有理多项式 对于给定频率响应 使用IIR数字滤波器会比使用相应的FIR数字滤波器得到更短的滤波器长度 但这是以相位失真和瞬时启动不一定为有限为代价的 36 8 9FIR数字滤波器 对于一个冲激响应为h n 的离散时间非周期系统 其频率响应为H ej 二者之间的关系为 FIR数字滤波器的特性是其相位响应是线性的 相位线性响应对应着冲激响应的固定时延 可以简化FIR数字滤波器设计中的对幅度响应的近似处理 8 9 1离散时间非周期系统频率响应与冲激响应的关系 37 8 9FIR数字滤波器 如果一系统理想频率响应为Hd ej 其对应的冲激响应为hd n hd n 一般是无限离散时间非周期函数 为了便于时域处理 需要通过一个窗口函数w n 使实际冲激响应为h n 变为有限时间函数 即 其中窗口函数 其傅里叶变换表示分别为H ej 和W ej 8 9 2FIR数字滤波器的基本概念 38 8 9FIR数字滤波器 根据乘积的傅里叶变换性质 有限时间函数冲激响应h n 的频率响应为 8 9 3FIR数字滤波器产生的误差 使用FIR数字滤波器前后 频率响应误差可以用均方误差衡量 39 8 9FIR数字滤波器 根据帕斯瓦尔定理 误差可以在时域表示为 将窗口函数带入 得到 对矩形窗口 误差为 可见为了减少误差 窗口函数的选择应使残留的冲激响应尽可能小 40 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 矩形窗口函数 汉明 Hamming 窗口函数 汉宁 Hanning 窗口函数 41 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 矩形窗口函数 矩形窗口函数的频率响应 42 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 汉宁 Hanning 窗口函数 汉宁 Hanning 窗口函数的频率响应 43 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 汉明 Hamming 窗口函数 汉明 Hamming 窗口函数的频率响应 44 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 45 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 46 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 47 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 48 8 9 4常用的FIR数字滤波器窗口函数及其频率响应 49 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 FIR数字滤波器的设计步骤 1 了解系统或信号的频率响应或频率成分Hd ej 2 求Hd ej 的逆傅里叶变换得到对应的冲激响应hd n 即3 选择适当的窗口函数w n 使理想冲激响应被调制为可实际应用的有限时间冲激响应为h n 即4 求输入信号x n 与有限时间冲激响应为h n 的卷积和得到输出信号y n 即 50 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 频谱成分及对应的冲激响应 51 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被窗口函数调制后的冲激响应 52 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被窗口函数调制后冲激响应的频谱 被窗口函数调制后冲激响应对应的输出信号 53 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的图形表示 54 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的图形表示 55 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的图形表示 56 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的图形表示 57 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的图形表示 58 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的图形表示 59 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的频谱 60 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的频谱 61 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 12 调制后冲激响应的频谱 62 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 50 调制后冲激响应的频谱 63 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 50 调制后冲激响应的频谱 64 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被不同窗口函数 M 50 调制后冲激响应的频谱 65 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被矩形窗口函数 M 50 调制后的冲激响应 66 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被Hamming窗口函数 M 50 调制后的冲激响应 67 8 9 5FIR数字滤波器的设计与应用 例8 5 P613 被Hanning窗口函数 M 50 调制后的冲激响应 68 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 频谱成分及对应的冲激响应 69 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 70 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 71 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 72 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 73 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 74 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 75 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 76 8 9 6FIR数字滤波器的设计与应用 例8 6 P615 77 8 10IIR数字滤波器设计方法举例 连续信号的传递函数通过拉普拉斯变换得到 而离散信号的传递函数则由z变换得到 当连续信号离散后 需要寻找拉普拉斯变换与z变换之间的对应关系 即模拟滤波器与IIR数字滤波器之间的转换关系 由模拟滤波器到IIR数字滤波器之间的转换方法有许多种 双线性z变换是其中比较基础的一种 它能够让s平面上的点与z平面上的点具有惟一的对应关系 双线性z变换的基本思路是 首先将整个s平面压缩到s平面内一条虚轴宽度 带宽 为2 Ts Ts Ts 范围内 之后再用关系z rest将此横带转换到z平面上 如下页图所示 78 8 10IIR数字滤波器设计方法举例 保证s平面与z平面具有一一对应的映射关系的条件为 1 s平面上的整个虚轴j 映射为z平面的单位圆上的一周 2 H s 稳定时 H z 也是稳定的 因此s左半平面内收敛的H s 必须映射到z平面的收敛圆内 s右半平面内收敛的H s 必须映射到z平面的某一圆外 3 这种映射应是可逆的 既可以由H s 转换为H z 也可以H z 恢复H s 4 如果H j0 1 那么对应的H j0 1 79 8 10IIR数字滤波器设计方法举例 双线性变换是满足上述4个条件的变换 其定义为 其中Ts是从s域到z域转换的抽样间隔 即由连续信号转换为离散信号时的时间抽样间隔 因此由拉氏变换传递函数H s 到z变换传递函数H z 之间的变换关系为 因此 80 8 10IIR数字滤波器设计方法举例 利用关系s j 及z rej 得到 而复角 81 8 10IIR数字滤波器设计方法举例 从s域到z域传递函数转换的对应关系为 1 当 0时 r 1 H s 稳定时 H z 也是稳定的 2 当 0时 r 1 H s 非稳定时 H z 也是非稳定的 3 当 0时 r 1 H s 退化为频率响应时 H z 也同时退化的频率响应 且二者之间具有