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等差数列前n项和公式及其应用 复习回顾 1 等差数列的通项公式 已知首项a1和公差d 则有 an a1 n 1 d已知第m项am和公差d 则有 an am n m d d an am n m 2 等差数列的性质 在等差数列 an 中 如果m n p q m n p q N 那么 an am ap aq 例 如图为一堆八层钢管 起每一层的数目分别为 4 5 6 7 8 9 10 11 求这堆钢管的数目中总和 解 方法 1 由累加法可得 sn 4 5 6 7 8 9 10 11 60 方法 2 4 11 5 10 6 9 7 8 15满足等差数列的性质sn 4 15 8 2 4 11 60 问题2 1 2 3 100 这个问题 德国著名数学家高斯 1777年 1855年 10岁时曾很快求出它的结果 你知道应如何算吗 这个问题 可看成是求等差数列1 2 3 n 的前100项的和 100个101 设等差数列a1 a2 a3 它的前n项和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序颠倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由等差数列的性质a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2sn a1 an a1 an a1 an 即Sn n a1 an 2 因为an a1 n 1 d所以Sn na1 n n 1 d 2 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1 n d 则如何表示Sn呢 由此得到等差数列的 an 前n项和的公式 即 等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 上面的公式又可以写成 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式 知三求二 2 1 3 5 2n 1 1 1 2 3 n 3 2 4 6 2n 上面习题的答案在以后会经常用到 n n 1 2 n n 1 n2 例1如图 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多一支 最上面一层放120支 这个V形架上共放着多少支铅笔 解 由题意可知 这个V形架上共放着120层铅笔 且自下而上各层的铅笔数成等差数列 记为 an 其中a1 1 a120 120 根据等差数列前n项和的公式 得 答 V形架上共放着7260支铅笔 例2 例3等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是54 解 设题中的等差数列为 an 前n项和是Sn 则a1 10 d 6 10 4 设Sn 54 根据等差数列前n项和公式 得 n1 9 n2 3 舍去 等差数列 10 6 2 2 前9项的和是54 例4 已知等差数列an中a2 a5 a12 a15 36 求前16项的和 解 由等差数列的性质可得 a1 a16 a2 a15 a5 a12 36 2 18sn 16 2 18 144答 前16项的和为144 分析 可以由等差数列性质 直接代入前n项和公式 例5已知一个等差数列的前10项的和是310 前20项的和是1220 求Sn 解 S10 310 S20 1220 1 在a b之间插入10个数 使它们同这两个数成等差数列 求这10个数的和 变式 已知一个梯形梯子 两底边分别长为a b 中间还有10蹬 且蹬之间距离相等 求这中间10级的长度的之和 巩固练习 2 1 求1000以内能被11整除的所有自然数之和 3 求一切被7除余1的三位数之和 等差数列前n项和性质 知识点一 S11的函数性质与通项式的求解 观察上面的式子 我们可以看出它是关于n的二次函数 从而等差数列的前n项和可以写成形如 反之 若数列前n项和为Sn an2 bn n为自然数 a b为常数 求an及公差d 探究 若Sn n2 3n 1呢 结论 P85 将等差数列的前n项和公式写成上述形式 有利于求其前n项和的极值 等差数列前n项和再认识 例1 已知一个等差数列的a1 2 S5 20 求Sn和S12 例2 已知一个等差数列的前10项的和是310 前20项的和是1220 求Sn 例3 一个首项为正数的等差数列中 前3项的和等于前11项的和 问此数列前多少项的和最大 分析 S3 S11 这里可以找出a1与d的关系 则Sn是d的函数 若条件改为S3 S12呢 知识点二 S11的最大小值 若等差数列an的公差为d 前n项和为sn 那么数列sk s2k sk s3k s2k k为正整数 是等差数列 且公差为k2d 知识点三 S11的等差性质 参考学案与测评P16 练习1 已知一个等差数列前4项的和为21 末4项的和为67 前n项的和为286 求项数n 2 已知两个等差数列前n项和的比为4n 3 2n 5 求它们相应第8项的比 3 等差数列 an 中 S12 354 前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为33 27 求公差d 4 项数为奇数的等差数列 an 中 S奇 168 S偶 140 求中间项及项数 n 16 C a1 1100 6 有30根水泥电线杆 要运往1000m处放一根 以后每50m放一根 一辆汽车每次只能运三根 如果用一辆汽车完成这项任务 这辆汽车的行程共有多少千米 M A B 解 如图 假定30根电线杆均在点