「竞赛 一般物体的平衡答案」.doc

2014第二讲 一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL，单位“牛米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即M=0，或M逆=M顺。（四）重心：计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。二、常用方法巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。三、巩固练习1.如右图所示，匀质球质量为M、半径为R；匀质棒B质量为m、长度为l。求它的重心。RAB【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C。C在AB连线上，且ACM=BCm；ACBC（2M+m）gMgFABCmgMg（M+m）gR+l/2第二种方法是：将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M的球的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C在AB连线上，且BC（2M+m）=M。不难看出两种方法的结果都是。2.将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为370.求：(1)绳子的张力.(2)斜面对球的摩擦力和弹力. 答案：（1）10N；（2）10N，30N 解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：，得T=10N; （2）取球心为转轴得，f=T=10N;取C点为转轴：，得N=30N. 3.个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为,如果在球上加一个竖直向下的力F，如图所示问；力F离球心的水平的距离s为多大，才能使球做逆时针转动? 解当球开始转动时,达到最大静摩擦分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.因为最大静摩擦:将以上方程联立可得:4.如图所示,均匀杆的A端用铰链与墙连接,杆可绕A点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB杆的弹力为10N,将木块向左拉出时,木块对杆的弹力为9N,那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少? （答案：11.25N） 解:木块静止时弹力为10N，可得杆重G=20N向左拉时:N1Lcosa+mN1Lsina=Gcosa,或N1msina=Gcosa-N1cosa向右拉时:N2Lcosa=mN2Lsina+Gcosa,或N2msina=N2cosa-Gcosa两式相比得,得N2=11.25N 5.有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为q(如图所示).一切摩擦均不计,求BC绳的张力. 答案： 解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同. 解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦. 解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求. 解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N1=3Gcotq.再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N1,BC绳的拉力T,重力3G,A点的作用力N(N对A点的力矩为零).对A点,有力矩平衡式中有上述四式可行. 6.如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为。若系统处于平衡状态，0和必须满足什么条件？ 分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。设每个圆柱的重力均为G，首先隔离C球，受力分析如图1一7所示，由Fcy0可得 再隔留A球，受力分析如图1一8所示，由FAy=0得 由FAx=0得 由EA0得 由以上四式可得，而，A1A2A3A4A5A6B1B2B3B4B5B6， 7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片AiBi（i=1，2），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，则薄片A6B6中点所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）压力。答案：mg/42解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1. 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有所以 再以A6B6为研究对象，受力情况如图乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg. 选B6点为轴，根据力矩平衡有由、联立，解得 N1=mg/42所以，A1B1薄片对A6B6的压力为mg/42.8.（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L，横截面为的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。HS解设1号右端面到2号右端面的距离为x1，,2号右端面到3号右端面到的距离为x2，以第2号木块的左端为转轴力矩平衡:,可以得出,同理:第3号右与第4号右端的距离为x3, 以第3号木块的左端为转轴力矩平衡 求得第k号的右端面的距离为xk，则第k号由力矩平衡知： 求得：解得则桥拱长的一半为由图1可知所以。将n=10代入可得9.有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角，如图所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离为杆长），要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？（2）若将作用点移到处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。杆的受力如图57甲所示，由平衡条件得 另由上式可知，F增大时，f相应也增大，故当f增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：解得：由上式又可知，当时对F就没有限制了。（1）当，将有关数据代入的表达式得 （2）当无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。10.用两个爬犁 (雪橇)在水平雪地上运送一根质量为m长为l的均匀横粱，横梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示每个爬犁的上端A与被运送的横梁端头固连，下端B与雪地接触，假设接触而积很小.一水平牵引力作用于前爬犁作用点到雪地的距离用h表示已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为k1后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k2问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动h应满足什么条件?水平牵引力F应多大?设爬犁的质量可忽略不计分析正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件 是求解平衡问题的基本出发点,准确地领会题中隐含信息,则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路.解整个装置的受力如解图1-24所示,其中N1与N2分别为雪地对爬犁的支持力,f1和f2分别为摩擦力,根据平衡条件有 根据摩擦力与正压力的关系有: h越大以爬犁与地的前接触点为轴,F的力矩越大.故N2越小.h最大时对应N2=0的情况.将N2=0代入以上各式,可以解得: 故:h应满足的条件是:11.半径为r,质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用一个圆柱形刚性圆筒(上、下均无盖)将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值,使得各球间以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作用力.现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球,放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为m=(约等于0.775).问R取何值时,用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来? 答案： 解：当上面一个小球放上去后,下面三个小球有向外挤的趋势,互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析,受力图如图所示.对上面小球,根据竖直方向受力平衡有3N2sinq-3f2socq=mg-（或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，力矩平衡N2rsinq+mgr=f2r(1+cosq)）再对四个小球为整体,在竖直方向3f1=4mg-下面的小球,对球心为为转轴，有力矩平衡条件f1r=f2r，得f1=f2-对下面的小球,取f1和f2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N1N2,故大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动，当R最大时：f2=mN2-有上述四式得：128soc2q+24cosq-77=0,解得：cosq=,因，所以。但上面的小球不能太小,否则上球要从下面三个小球之间掉下去,必须使.故得 四、自主招生试题1.（2009清华大学）质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底端A、B、C的间距均为L，如图所示。(1)求OA棒顶端所受的作用力F的大小。（2）若有一质量也为m的人（视为质点）坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA棒顶端所受的作用力F的大小又为多大？（3）在（2）的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数至少为多大？析:(1)(2) 在OC中点坐一人2.（2010北大） 如图，一个质量M、棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。设想立方体开始翻转后，施加的外力F大小和方向会改变，以维持F始终为最小值。3.（2010南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A，与环面接触点为B。已知两个物体的质量线密度均为，直杆与地面夹角为，圆环半径为R，所有接触点的摩擦力足够大。求： (1)地给圆环的摩擦力。(2)求A、B两点静摩擦系数的取值范围。五、备用hBCA1.（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB长为L，重为G，其A端放在水平面上，而点C则靠在高的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角=45，试求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦因数的最小值。2.（第十届全国预赛）半径为R质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A,并处于平衡,如图所示.已知悬点A到球心的距为L,不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角q. 答案：q=arcsin 解:球受重力M1g,AD绳受拉力为T,ACE压力为N,因重力M1g通过圆心,N也通过圆心（但不是水平方向）,所以T也通过圆(三力共点)，OA=L.取整体为研究对象对A点的力矩平衡,M1gOB=M2gBC,或M1gLsinq=M2g(R-Lsinq),得q=arcsin. 3.如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90，且C端正好在A端的正下方。（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。（2）如果AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。答案：（1）F的方向与AC夹角范围18.24-45间；（2） 解（1）设F的方向与AC夹角为q，如果当m1质量很小时，AB对BC的作用力沿AB方向，则F的方向必交于AB的中点，q=45-tan-1=18.24；如果当m2质量很小时，则F的方向沿BC方向，q=45。所以F方向的范围是q=18.24-45间。 （2）以A为转轴，对两棒有：-以B为转轴，对BC有：-sin(45-q)=sin45cosq-cso45sinq-有式得F的大小：；F的方向与竖直线的夹角q=.可见，m1=0时，q=18.24；m2=0时，q=45. 4 如图两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端离水平地面4m，总重200 N，一人重600 N，由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数0.6，则人爬到何处梯子就要滑动？解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状态： AB=6m，CD=4m，AC=BC=5m 设人到铰链C的距离为 满足， 所以 整理后：，所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动5.架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为m1、m2。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。（答案：） 解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为a，则有f1=m1N1, f2=m2N2（同时达到最大，与上题有区别）水平方向：m1N1=N2，竖直方向：m2N2+N1=G，得：G=m2N2+N2/m1-取A点为转轴：-解得，即。 解法2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D点）则有：tanj1=m1,tanj2=m2，有几何关系：，可解得：。 6.如图所示梯子长为2l,重量为G，梯子上的人的重量为，人离梯子下端距离为h，梯子与地面夹角为q,梯子下端与地面间的摩擦因数为m,梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h值解杆的受力情况如图所示：由于杆静止，解方程可以得出：（原答案有误）所以，只要，梯子就不会滑动。7.如图所示，方桌重G=100 N，前后腿与地面的动摩擦因数，桌的宽与高相等。求：(1)拉力F、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。(2)设前、后腿与地面间的静摩擦因数。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？CBA图1-358.如图所示，一根细棒AB，A端用绞链与天花板相连,B端用绞链与另一细棒BC相连，二棒长度相等限于在图示的竖直面内运动，且不计绞链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力(与AB，BC在一个平面内)可使二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直且C在A端的正下方 (1)不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?试说明理由 (2)如果AB棒的质量为m1，BC棒质量为m2求此外力