第9章(扭转).ppt

工程力学 EngineeringMechanics 中南大学土木建筑学院力学系 DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity 第九章扭转 9 1引言 两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动 杆件受到一对等值 反向 作用面与轴线垂直的力偶作用 扭转变形特点 扭转受力特点 9 2动力传递与扭矩 一 功率 转速与扭力偶矩之间的关系 1 外力偶矩与功率 角速度关系 2 外力偶矩与功率 转速关系 二 扭矩与扭矩图 扭矩正负规定 由右手螺旋法则确定 扭矩矢量与截面外法线一致 扭矩为正 反之为负 1 截面法与扭矩 例 图所示传动轴 主动轮B输入的功率PB 10kW 若不计轴承摩擦所耗的功率 两个从动轮输出的功率分别为PA 4kW PC 6kW 轴的转速n 500r min 试作轴的扭矩图 2 扭矩图 扭矩沿轴线方向变化的图形 横坐标表示横截面的位置 纵坐标表示扭矩的大小 解 计算外力偶矩 计算轴各段的扭矩 解得 绘制扭矩图 解得 2 2 1 1 9 3切应力互等定理与剪切胡克定律 一 薄壁圆管的扭转应力 各圆周绕轴线相对转动 形状 大小 距离不变 各纵向线倾斜相同的角度 仍为直线 表面矩形变为平行四边形 微元体无轴向 横向正应变 存在垂直于半径方向的切应变 切圆周上所有的剪切变形相同 圆周上各点在轴向 横向无正应力 在垂直于半径方向上有相同的切应力 由于管壁很薄 近似认为切应力沿壁厚均匀分布 二 纯剪切与切应力互等定理 1 纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力 2 切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上 垂直于截面交线的切应力数值相等 方向均指向或背离该交线 三 剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限时 切应力与切应变成正比 弹性模量 剪切弹性模量 泊松比之间的关系 9 4圆轴扭转横截面上的应力 一 扭转切应力的一般公式 1 变形几何关系 各圆周绕轴线相对转动 形状 大小 距离不变 各纵向线倾斜相同的角度 仍为直线 表面矩形变为平行四边形 切应变在横截面上的分布 平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的横截面 变形后仍为平面 形状 大小不变 半径仍为直线 两相邻截面间的距离不变 2 物理关系 未知 与内力 材料 截面有关 3 静力关系 令 抗扭刚度 截面抵抗扭转变形的能力 4 扭转切应力的一般公式 二 最大扭转切应力 9 5极惯性矩与抗扭截面系数 一 实心圆截面 二 空心圆截面 三 薄壁圆截面 极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系 相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大 9 6圆轴扭转破坏与强度条件 一 扭转失效与扭转极限应力 1 塑性材料的扭转失效 2 脆性材料的扭转失效 横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转极限应力 横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力 二 轴的强度条件 三 圆轴合理截面与减缓应力集中 1 设计轴截面宜将材料远离圆心 平均半径为越大 壁厚为越小 切应力分布越均匀 材料的利用率越高 2 设计轴减少截面尺寸的急剧改变 以减缓应力集中 例 图所示阶梯形空心圆截面轴 在横截面A B C处承受扭力偶作用 已知MA 500N m MB 50N m MC 100N m 许用切 90PMa应力 试校核轴的强度 解 AB与BC段的扭矩分别为 所以轴满足强度条件 AB与BC段进行强度校核 例 某传动轴 轴内的最大扭矩T 1 5kN m 若许用切应力 90PMa 试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸 并比较其重量 实心圆截面 实心圆截面 其内外径的比值di d0 0 9 解 计算实心轴直径 计算空心轴外径 空心轴内径 确定空心轴与实心轴的重量比 9 7圆轴扭转变形与刚度条件 一 圆轴扭转变形 1 单位长度dx的扭转角度 2 相距l两截面的相对扭转角 3 扭矩 切变模量为常数 等截面圆轴相距l的两截面的相对扭转角 二 圆轴扭转刚度条件 例 图所示圆截面轴AC 承受扭力偶矩MA MB MC作用 已知MA 500N m MB 50N m MC 100N m IP 3 0 105mm4 l 2m G 80GPa 0 5o m 试计算该轴的总扭转角 AC 并校核轴的刚度 解 计算轴的总扭转角 校核轴的刚度 所以轴的刚度满足要求 例 两端固定的等截面圆杆AB 在截面C受一扭转力偶矩M作用 已知杆的抗扭刚度为GIP 试求两端的约束力偶矩 解 以圆杆AB为研究对象 建立平衡方程 由变形几何关系得变形协调方程 由扭转胡克定律可得 由 解得 例 传动轴转速n 300r min 主动轮A输入的功率PA 36 7kW 从动轮B C D输出功率分别为PB 14 7kW PC PD 11kW 轴的材