浅析物体平衡问题的解题方略.doc

物体平衡问题的解题方略忻传森（浙江省天台平桥中学 317203）（本文已全文发表于物理通报2004年第6期）物体平衡是一种重要的物理模型，其实质是力的平衡。研究对象的确定与变换、力的等效处理、平衡力之间的制约关系是我们在解决物体平衡问题时进行解题决策的三个基本着眼点。一、研究对象的选取和变换1、整体法、隔离法的应用和研究对象的转换粗糙光滑（图1）OAPQB整体法和隔离法是重要的思想方法。在不涉及系统内力时应优先考虑运用整体法，其优点是研究对象少，求解过程往往简单而巧妙。而隔离法的运用则可把系统的内力转化为某一个体所受的外力。实际应用时，要求灵活转换研究对象，交替使用整体法和隔离法，以取得最简洁的解题思路。例1、有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙；OB竖直放置，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图1）。现将P环向左移一小段距离，当两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力和细绳上的拉力T的大小变化情况如何？解析 首先通过整体分析法可知，支持力 始终不变。再转换研究对象，隔离环Q进行分析，在竖直方向有，其中环P左移后，绳与竖直方向的夹角变小，因此T将变小。2、刚体平衡转化为质点平衡根据三力汇交原理，物体在共面的三个力作用下处于平衡状态时，这三个力若不平行则必共点。因此物体受到三个非平行力作用的平衡问题（包含力矩平衡），可将其转化为简单的质点平衡（即共点力平衡）来处理。当物体在四个力作用下平衡时，可先将其中的两个力合成，然后再按三力平衡时的处理方法转化为质点平衡处理。例2、如图2所示匀质杆AB重为G，一端靠在光滑竖直墙上，另一端放在粗糙的水平地面上，静止的杆与地面成角，求地面对杆的作用力和墙对杆的作用力。解析 题中杆的实际受力如图2甲。本题通常要用力平衡和力矩平衡结合解题，现在我们可以把它转化为质点平衡来处理。首先若不考虑杆的转动而只考虑杆的平动平衡，则杆的受力可看作如图2乙的情况，即转化为了共点力平衡问题，由平衡条件得，。地面对杆的作用力f和N2 的合力记为F，物体又可等效为受F、G、N1 三个力作用，三力汇交于O点，这样就将非共点力平衡转化为了共点力平衡问题 （如图2丙）。由平衡条件得，。fA甲丙（图2）BGN1N2FOOFN1G乙N1GfN2O又由图甲中的的几何关系易得，。由此三式即可解得，因此地面和墙的对杆的作用力分别为， 二、力的等效处理在解平衡问题时，为使问题变得更为简单化有序化以便于把握、表达式更为简洁有效、解题过程更为简捷，经常要利用矢量运算法则（平行四边形定则）对力进行合成和分解的等效处理，再列式计算。1、合成法和分解法甲乙丙（图3）ABOF1F2TTG1G2F1F2合成法通常是指将物体所受的多个外力通过合成的方法简化成更少的力，并使在合成方向上受力平衡。分解法则是将一个力根据作用效果来分解，并使在分解的方向上受力平衡。例3、如图3所示，重物的质量m，轻绳AO与BO的A端、B端是固定的，平衡时AO水平、BO与水平面夹角为，则绳AO的拉力F1和绳BO的拉力F2分别是多大？解析 （1）、用合成法解本题。结点O受三个力F1、F2和的作用。F1、F2的合力与mg是平衡力，再由图中的三角关系可知，（2）、用分解法来解。将T沿F1、F2的反方向分解得到G1、G2，然后再由平衡条件F1=G1和F2=G2即可求得F1和F2 。 2、正交分解法正交分解法是指将各力分解为相互垂直的两组，并使每一组都满足平衡关系，形式为Fx = 0，Fy = 0。正交分解方向的选取可不必考虑力的作用效果，但为简明分解过程和简化解题步骤，建立坐标系的原则是使不在坐标轴上的力尽可能的少。如例3中可沿水平方向和竖直方向建立坐标系，将不在轴上的OB绳的张力F2向坐标轴上分解，然后由平衡关系即可求得F1和F2。3、力系的简化有时要通过对力的合成和分解处理，使物体的受力情况变得更为有序化和简单化，使问题更便于解决，如以上的例2和例3，此处再举一例。例4、在竖直墙等高处的A、B两点分别固定两等长轻绳AO、BO的一端，然后用轻杆CO把AOB支成水平面，C支在AB中点D的正下方墙上且可自由转动，如图甲所。现在O点悬挂重为G的物体，已知，则AO绳的拉力T为多大？（图4）甲乙CDO600ABCOD解析 本题涉及三维空间，要求有一定的空间想象能力，要在审题时，把问题转化为两个相关的平面进行受力分析。由AO、BO等长的关系可知两绳拉力相等，再由可知两绳拉力的合力沿OD方向且大小等于T。这样就相当于在OD处有一根轻绳来取代AO、BO两根绳，只需求出OD绳拉力即可。COD在同一竖直平面内，这样就转化为了平面力系的平衡问题，如图4乙所示，不难解得。三、平衡力的几何特征及其应用平衡物体所受力的几何特征也是我们解决平衡物体的重要依据。对于受三个共点力作用而处于平衡状态的物体来说，这三个力（用有向线段来表示）可构成一个封闭的三角形对于多力平衡则是封闭的多边形。这种“封闭性”在几何上反映了力平衡的特征，与力的平衡方程是互为充要的。利用这种表示平衡关系的矢量三角形，我们可以启动所有解三角形的有关数学知识来求解平衡问题。例如对直角三角形可利用三角函数或勾股定理，对任意三角形可利用正弦定理或余弦定理，还可利用三角形的相似关系，有些问题还需要利用这种矢量三角形及其动态变化（即图解法）来定性或定量地分析各力的变化规律。例5、如图5甲所示，质量为m的球放在倾角为的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面的倾角多大时，挡板AO所受压力最小，为多大？乙甲Omg（图5）N1N2N1N2Amg解析 以球为研究对象，球受到的重力mg、斜面对它的支持力N1和挡板对它支持力N2构成一个封闭的三角形，如图5乙所示。当变化时，mg大小方向都不变，N1方向不变而大小变化，而N2的大小方向均变化。由图可以看出，N2与N1垂直，即时，N2有最小值，此即挡板AO所受压力的最小值。四、寻找约束关系和几何关系N（图6）mgfmOh在力学体系中，常存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们称之为约束。因此各质点的受力关系和空间位置关系，并不是相互独立的，而是通过一些约束关系把它们联系着。在力学解题中必须充分分析和利用这些约束关系和几何关系提供的辅助方程，如果不能正确地运用这些关系，往往不能顺利地解题。对于一个平衡问题，如果力学定理（平衡方程）正确用上后还不能解出，必然是约束关系没有充分运用的缘故。例6、有一只甲壳虫在一半径为R的半球形碗中向上爬，已知动摩擦因数为（并设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。求它能爬到的最大高度。解析 甲壳虫爬到最大高度时，恰能处于静止状态，所受的摩擦力为最大静摩擦力， fm =N 。由平衡条件有，fm = mg sin，N = mg cos又由图中的几何关系可得，h = R（1cos）由以上关系可解得最大高度为：本题在求解时，除了要运用平衡力之间的基本制约关系平衡方程外，还要充分分析和利用力之间的其它约束关系方向的约束关系、大小的制约关系（f =N）及空间位置的几何关系。另外，在有些问题中，约束关系和几何关系具有一种对称性，充分利用这一关系，经常可使解题变得更为简洁和巧妙。（图7）ACBD例7、如图7所示，4个相同的物块A、B、C、D质量均为m，现用两块相同的木板将它们紧压在一起，处于静止状态，接触面竖直。试分析两木板与A、D间及中央两物块B、C间的摩擦力。解析 根据题中研究对象在性质和构造上的对称性，左板与A之间、右板与D之间具有相同的摩擦力，然后通过分析整体的平衡关系易知该摩擦力大小为 f = 2mg ，方向竖直向上。而B、C之间不应存在摩擦力，因为根据对称性，B、C的受力情