2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑术语章末复习讲义新人教A版选修2_1.docx

第一章 常用逻辑术语 知识系统整合 规律方法收藏1命题(1)判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题(2)一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法是：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明从集合的观点看，我们建立集合A，B与命题中的p，q之间的一种特殊联系：设集合Ax|p(x)成立，Bx|q(x)成立，就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也使q成立”)，当且仅当AB时满足(3)若将含有大前提的命题改写为“若p，则q”的形式时，大前提不变，仍作为大前提，不能写在条件p中(4)当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真假(5)注意否命题与命题的否定是不同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定如果原命题是“若p，则q”，否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论2逻辑联结词“或”“且”“非”真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，要掌握以下规律：(1)“非p”形式的复合命题的真假与命题“p”的真假相反；(2)“p或q”形式的复合命题只有当命题“p”与命题“q”同时为假时才为假，否则为真；(3)“p且q”形式的复合命题只有当命题“p”与命题“q”同时为真时才为真，否则为假3全称命题与特称命题的真假判断及联系(1)要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题(3)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题 学科思想培优一、四种命题及其关系由原命题构成逆命题只要将p和q换位就可以由原命题构成否命题只要将p和q分别否定为綈p和綈q，但p和q不必换位由原命题构成逆否命题时，不但要将p和q换位，而且要将换位后的p和q否定原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式一一加以讨论典例1为圆周率，a，b，c，dQ，已知命题p：若abcd，则ac且bd.(1)写出綈p并判断真假；(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假解(1)綈p：“若abcd，则ac或bd”因为a，b，c，dQ，又abcd，所以(ac)dbQ，则ac且bd.故p是真命题，所以綈p是假命题(2)逆命题：“若ac且bd，则abcd”真命题否命题：“若abcd，则ac或bd”真命题逆否命题：“若ac或bd，则abcd”真命题拓展提升1.写四种命题的步骤(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题2每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论3判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理解基础二、充要条件充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主下面就介绍几种充要条件的判定方法1直接用定义判定能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”“有且仅有”“必需且只需”等语句用逻辑符号表示为：(1)若pq，且qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；(2)若qp，且pq，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；(3)若pq，且qp(或綈p綈q)，则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件)；(4)若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件 典例2设a，b是向量则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析取ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得ab0，所以ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件故选D.答案D拓展提升充要条件的判断方法判断充分必要条件时关键是要分清命题的条件与结论，如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的特例来说明2利用命题的四种形式进行判定(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分不必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要不充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件是充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是既不充分也不必要的典例3记p：mnZ，q：mZ或nZ，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析綈p为：mnZ，綈q为：mZ且nZ，显然綈p 綈q，綈q綈p，因此：q p，pq，p是q的充分不必要条件答案A拓展提升像这种条件和结论均是否定形式的命题，判断起来不习惯，可先将命题进行等价转化，将否定形式转化为肯定形式再进行判断，从而使问题得以顺利解决3利用集合的关系判定(1)若AB，就是xA则xB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若AB，就是xA则xB，且B中至少有一个元素不存在于A，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件；(3)若AB，就是AB且AB，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件；(4)若AB，AB，则A是B的既不充分也不必要条件典例4已知命题p：(x3)(x1)0，命题q：x22x1m20(m0)，若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数m的范围解p：(x3)(x1)0x3，q：x22x1m20xm1，他们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意知AB，其中等号不能同时成立，m0，0m0；xQ，x2x1是有理数；，R，使sin()sinsin；x0，y0Z，使3x02y010.A1 B2 C3 D4解析中，x2x320，故是真命题；中，xQ，x2x1是有理数，故是真命题；中，当，时，结论成立，故是真命题；中，当x04，y01时，结论成立，故是真命题由以上可知，正确选项为D.答案D拓展提升解决全