经济模型课程习题-2014052719081751.doc

注意事项 1每名同学完成3个题目（每个类别分别选择完成一个）； 2只需要电子版，以自己的“学号+名字+jjmx”命名；3第16周周五之前上交，发送至；(逾期课程无成绩，后果自负)。4本课程内容讲解已经结束，第16周周二是课程考核时间(无需到教室).5本课程作业请各自独立完成，如有雷同抄袭现象，后果自负。第一类(共7题，选择完成其中一个)1 以下是一个数学游戏：（1） 甲先说一个不超过6的正整数，乙往上加一个不超过6的正整数，甲再往上加一个正整数，.，如此继续下去。规定谁先加到50谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？（2） 如将6改为n，将50改为N，问题又当如何回答？2 甲乙两人约定中午12：00至13：00之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等待对方10分钟，求这两人能相遇的概率。3 地面是球面的一部分，（直径约为12.7210公里 ），显然，如果高层建筑的墙是完全垂直于地面的则它们之间必不会平行。设一建筑物高为400米，地面面积为2500平方米，问顶面面积比地面面积大多少？4 建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为 ，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。5 消防队员救火时不应离失火的房屋太近，以免发生危险。请建模分析并求出消防队员既安全又能发挥效应的最佳位置。6 已知在气体中音速V与气压P、气体的密度有关，试求它们之间的关系。7 风车的功率P与风速v、叶面的顶风面积S及空气的密度有关，试求它们之间的关系。第二类(共20题，选择完成其中一个)1 一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2 从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4（1） 求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2） 如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3 一展开角为的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4 容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。5 一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6 设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7 某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。8 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。9 实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？10 生态学家估计人的增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06 ）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？11 早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（ =V，其中为常数），（1）求肿瘤的增倍时间。根据统计资料，一般有 (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式 D = 12 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10m，重约0.001g.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于 个时即可凭借体内免疫系统杀灭。13 在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在1950年做过检测，测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个，已知碳14的半衰期为5568年，试求这些壁画的年龄（精确到百年）。14 2000年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳14仅为原有量的14%，试计算该动物大约生活在什么时候。15 1956年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓，从该墓中发掘到的文物的 每克每分钟衰减数为3.06个，试确定该古墓的年代。 16 实验测得一克镭在一年中会衰变掉0.44毫克，据此你能推算出镭的半衰期吗？17 牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5 ，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度，一小时后再次测量，测的体温约为30.5度，试推测该受害者的受害时间。18 某人每天由饮食获取2500大卡的热量，其中新陈代谢约需1200大卡，每公斤体重约需运动消耗16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于10000大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。19 在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试建一模型研究这一问题。20 大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏感性。第三类 (共10题，选择完成其中一个)1 在一次9个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这9人中必可找出4人，他们是两两相识的。2 一条直线将平面划分成两部分,两条直线最多能将平面划分成4部分，n条直线最多可将平面划分成多少部分？请证明你的猜测。3 9名学者参加一次国际会议，他们发现：（1）任意3人中至少有两人可以用同一语言交谈（2）每人会讲的语言至多为3种，（注意：并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有3人可用同一语言交谈。4 将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。证明：不论怎样着色，总可以从此完全图中找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。5 某教室中共有9排椅子，每排均有7把，学生恰好坐满教室。现教师要求每一学生都必须与其前、后、左、右的同学之一交换座位。请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实现的。6 有一个88格的正方形迷宫，任意相邻的两格间都有门相通，考虑以下问题：（1）项从最左下的格子进入迷宫，不重复地进入每一格子一次，最后由最右上方的格子走出迷宫，问这一想法能否实现。（2）仍从最下格进入迷宫，想进入每一格子一次最后从某格走出迷宫，这一想法在什么情况下是可以实现的？7 某公司场地如交给甲经营预计年获利为10万元，交给乙经营预计年获利为50万元，交给丙经营预计获利为60万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为100万元。试用Shapley公式计算，在甲乙丙共同经营时各方应分配到的利益。8 议会有100个席位，分别为4个党派所拥有，党派A、B、C、D各拥有的席位数为40、30、20和10席。设法律规定提案被通过至少需达到2/3多数赞成，试用Shapley的公式计算各党派在议会中的权重，（设同党派议员投票一致）。9 设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。试证明：（1）只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。（2）若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，（