数学期望性质与应用举例.doc

5. 数学期望的基本性质利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质： 设, 为随机变量，且E()，E()都存在，a，b，c为常数，则性质1. E(c)=c； 性质2. E(a)=aE()； 性质3.E(a+)=E()+a； 性质4. E(a+b)=aE()+b； 性质5. E(+)=E()+E() 例3.5.7 设随机变量X的概率分布为: P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5. 求E(X),E(3X+2) 解. P(X=k)=0.2k=1,2,3,4,5由离散型随机变量的数学期望的定义可知 E(X)=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11 例3.5.8.设随机变量X的密度函数为: 求E(X),E(2X-1) 解. 由连续型随机变量的数学期望的定义可知 =-1/6+1/6=0 E(2X-1)=2E(X)-1=-1 我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2数学期望的性质（1）设 是常数，则有 。证把常数 看作一个随机变量，它只能取得唯一的值 ，取得这个值的概率显然等于1。所以， 。（2）设 是随机变量， 是常数，则有 。证若 是连续型随机变量，且其密度函数为 。 。当 是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。（3）设 都是随机变量，则有 。此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即 。（4）设 是相互独立的随机变量，则 。 证仅就 与 都是连续型随机变量的情形来证明。设 的概率密度分别为 和 ， 的联合概率密度为 ，则因为 与 相互独立，所以有 。由此得 此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。例4.1.2倒扣多少分？李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。为了对这种不良风气加以处罚，唯一办法就是对每一个错误的答案倒扣若干分。假设每条选择题有五个答案，只有一个是正确的。在某次考试中，李老师共出20题，每题5分，满分是100分。他决定每一个错误答案倒扣若干分，但应倒扣多少分才合理呢？倒扣太多对学生不公平，但倒扣太少又起步了杜绝乱选的作用。倒扣的分 数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获。换句话说，如果学生完全靠运气的话，他的总分的数学期望应该是0。假定对一个错误答案倒扣 分，而正确答案得5分。随意选一个答案，选到错误答案的概率是 ，选到正确答案的概率是 ，所以总分的数学期望是 。要它是0，由此 ，即是对每一个错误答案应该倒扣 分。要是这样，对一个只答对六成的学生（但不是乱选一通之流）来说，他的总分仍然有 ，并不算不公平吧？例4.1.3某制药厂试制一种新药治疗某种疾病。对600人作临床试验，其中300人服用新药，而另外300人未服，4天后，有320人康复，其中260人服用了新药。问这种新药疗效如何？分析（1）无论病人服药与否，可能的结果都有两个：痊愈与未愈，所以为了能够使用概率方法解决这个问题，应该想到引入两点分布的随机变量；（2）评价药物疗效好坏，仅对两组中的某两个个体的治疗效果进行比较是不行的，而应该比较两组病人的平均治疗效果。解 引入 “病人服用新药后的结果”； “病人未服用新药的结果”。 ， ，由题设知 ， ，故 ， ， ，故 ，比较 与 可知新药对治疗此种病疗效显著。例4.1.4十个猎人等候野鸭飞来，当一群鸭飞来，猎人同时射击，但每人任选自己的目标，且不互相影响，若每一人独自打中目标的概率是 ，若10只野鸭飞来，计算没有被打中的鸭数的期望值。解设 没有被打中的鸭数为 。首先计算 ，每一人打中第 只鸭的概率是 ，所以， 进而， 。注将一个“复杂”的随机变量分解为若干个“简单”的随机变量之和 ，是研究随机变量的一种基本方法。将 个球随机地放入 个盒子中去，每个球放入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 的数学期望。提示设 。 的分布律为01于是有 。故 。 假设由自动线加工的某种零件的内径 （以毫米计），服从正态分布 。已知销售每个零件的利润 （元）与销售零件的内径 有如下关系： 问平均内径 为何值时，销售一个零件的平均利润最大