高考数学总复习 12.1数学归纳法及其应用课件 人教版.ppt

第一讲数学归纳法及其应用 一 归纳法由特殊事例得出一般结论的推理方法 通常叫做归纳法 归纳法包括不完全归纳法和完全归纳法 不完全归纳法是根据事物的部分 而不是全部 特例得出一般结论的推理方法 而完全归纳法是一种在研究了所有 有限种 特殊情况后得出一般结论的推理方法 二 数学归纳法对某些与正整数n有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性 先证明当n时命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 并证明当时命题也成立 这种证明方法叫做数学归纳法 取第一个值n0 n k 1 用数学归纳法证明命题的一般步骤是 证明当n取第一个值n0 例如n0 1或2等 时结论正确 假设当n k k n k n0 时结论正确 证明n k 1时结论也正确 在完成了这两个步骤以后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 注意 1 不完全归纳法只是猜测出一个数学结论 并没有给出严格的数学证明 因而不可靠 完全归纳法需要一一验证 而数学归纳法是一种严格的证明方法 用数学归纳法可以证明与正整数有关的代数恒等式 不等式 三角恒等式 整除性问题及几何问题 2 不完全归纳法是从特殊出发 通过试验 观察 分析 综合 抽象概括出一般性结论的一种重要方法 运用不完全归纳法可以通过对数列前几项的计算 观察 分析 推测出它的通项公式 或推测出这个数列的有关性质 再利用数学归纳法证明其结论的正确性 3 数列中的归纳 猜想 证明 是对学生观察 分析 归纳论证能力的综合考查 是近几年高考的热点之一 解决此类问题 需要从特殊入手 通过观察 分析 归纳 猜想 探索一般规律 4 数学归纳法是一种适用于与正整数有关的命题的证明方法 它的表述严格而且规范 两个步骤缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 在第二步的证明中一定要运用它 否则就不是数学归纳法 第二步的关键是 一凑假设 二凑结论 5 在用数学归纳法证明问题的过程中 还要注意k k 1时命题中的项与项数的变化 解析 项数为n2 n 1 n2 n 1 答案 d 答案 c 5 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 题后总结 1 数学归纳法与递推思想步骤 1 当n n0时命题成立 步骤 2 取k n0 则n k 1时命题也成立 由步骤 2 取k n0 1 则n k 2时命题也成立 由此递推断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 数学归纳法的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则会导致错误 2 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题 关键在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点在于寻求n k与n k 1时之间的联系 已知函数f x x sinx 数列 an 满足 00 先证0 an 1再证an 1 an 所以f x 在 0 1 上是增函数 又f x 在 0 1 上连续 从而f 0 f ak f 1 即0 ak 1 1 sin1 1 故当n k 1时 结论成立 由 可知 0 an 1对一切正整数都成立 又因为0 an 1时 an 1 an an sinan an sinan 0 所以an 1 an 综上所述 0 an 1 an 1 题后总结 证明不等式往往比证明恒等式难度更大 方法更灵活 除了综合法外 作差比较法 分析法 反证法也是常用方法 另外恰当地放缩是证明不等式特有的技巧 用数学归纳法证明时 要注意第二步 即假设n k时成立 也就是f k g k 求证f k 1 g k 1 对这个条件不等式的证明 应注意灵活运用上述证明不等式的方法 对于较简单的命题 其基本格式为 f k 1 f k a k g k a k g k 1 证明 1 当m 1时 原不等式成立 当m 2时 左边 1 x 2 右边 1 2x 又 x2 0 左边 右边 原不等式成立 假设m k时 不等式成立 即 1 x k 1 kx 那么当n k 1时 1 x k 1 1 x k 1 x 1 kx 1 x 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以对于n k 1命题也成立 由 可知 对一切n n 不等式都成立 题后总结 1 归纳 猜想 证明 的方法是解决问题特别是解决数列问题的一种重要方法 其中证明是关键 它保证了猜想的正确与否 2 细心计算是正确猜想的前提 对于有些问题 不能简单地通过n 1 2 3 4来判断结论 还要结合数值的变化趋势 特别是不等关系 来给出正确的猜想 如2n与n2的大小关系 当n 2 4时 2n n2 当n 3时 2n n2 当n 1或n 5时 2n n2 活学活用 2 设数列 a