高优指导高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其运算课件 理 北师大版.ppt

8 6空间向量及其运算 2 考纲要求 1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 3 4 5 6 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 a b a b 是a b共线的充要条件 2 对空间任意一点o与不共线的三点a b c 若 其中x y z r 则p a b c四点共面 3 对于空间非零向量a b a b a b 0 4 空间中任意不共线的三个向量都可构成空间的一个基底 5 空间中任意两个非零向量共面 7 1 2 3 4 5 2 若x y r 有下列命题 若p xa yb 则p与a b共面 若p与a b共面 则p xa yb 其中真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 答案 解析 8 1 2 3 4 5 3 如图 在一个60 的二面角的棱上 有两个点a b ac bd分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于ab的线段 且ab 4cm ac 6cm bd 8cm 则cd的长为 答案 解析 9 1 2 3 4 5 4 如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1和bb1的中点 那么直线am和cn所成角的余弦值为 答案 解析 10 1 2 3 4 5 5 教材习题改编p98t4 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f g分别是ab ad cd的中点 计算 3 eg的长 4 异面直线ag与ce所成角的余弦值 答案 11 1 2 3 4 5 自测点评1 理解空间向量的概念 性质 运算 注意和平面向量类比 找区别与联系 2 用向量方法解决立体几何问题 树立 基底 意识 利用基向量进行线性运算 12 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1空间向量的线性运算 例1如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示以下各向量 答案 13 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 如何利用空间向量的线性运算表示所需向量 解题心得 1 选定空间不共面的三个向量作基向量 并用它们表示出指定的向量 是用向量解决立体几何问题的基本要求 另外解题时应结合已知和所求观察图形 联想相关的运算法则和公式等 就近表示所需向量 2 空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的 即把空间向量转化到某一个平面上 利用三角形法则或平行四边形法则来解决 14 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练1在三棱锥o abc中 m n分别是oa bc的中点 g是 abc的重心 用基向量 答案 15 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2共线定理 共面定理的应用例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 用向量方法证明 1 e f g h四点共面 2 bd 平面efgh 答案 16 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 共线定理 共面定理有哪些应用 17 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练2如图 已知斜三棱柱abc a1b1c1 点m n分别在ac1和bc上 且满足 2 直线mn是否与平面abb1a1平行 答案 18 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点3空间向量的数量积及其应用 多维探究 类型一利用空间向量的数量积证明垂直例3如图 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 利用空间向量证明 mn ab mn cd 思考 如何利用空间向量的数量积证明垂直 答案 19 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 类型二利用空间向量的数量积求长度例4如图 在平行四边形abcd中 ab ac cd 1 acd 90 把 adc沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求bd的长 思考 如何利用空间向量的数量积求长度 答案 20 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 类型三利用空间向量的数量积求夹角例5直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 答案 解析 21 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 如何利用空间向量的数量积求异面直线夹角 22 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3如图 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 2 求bd1与ac夹角的余弦值 答案 23 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2 利用共线向量定理 共面向量定理可以证明一些平行 共面问题 利用数量积运算可以解决一些距离 夹角问题 3 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为用向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算去解决问题 24 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 向量的数量积满足交换律 分配律 但不满足结合律 即a b b a a b c a b a c成立 a b c a b c 不一定成立 2 求异面直线所成的角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 最后应进行转化 25 易错警示 空间向量运算错误典例1如图 在各个面都是平行四边形的四棱柱abcd a1