2011考研数学基础班概率论与数理统计讲义.pdf

1 2011201120112011 考研数学基础班概率论与数理统计讲义考研数学基础班概率论与数理统计讲义 第一章第一章随机事件和概率随机事件和概率 第一节第一节基本概念基本概念 1 1 排列组合初步 排列组合初步 1 1 排列组合公式 排列组合公式 nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数 nmn m C n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数 例 1 1 方程 xxx CCC 765 10 711 的解是 A 4B 3C 2D 1 例 1 2 有 5 个队伍参加了甲 A 联赛 两两之间进行循环赛两场 试问总共的场次是多少 2 2 加法原理 两种方法均能完成此事加法原理 两种方法均能完成此事 m nm n 某件事由两种方法来完成 第一种方法可由 m 种方法完成 第二种方法可由 n 种方法来完成 则这件事可由 m n 种方法来完成 3 3 乘法原理 两个步骤分别不能完成这件事乘法原理 两个步骤分别不能完成这件事 m m n n 某件事由两个步骤来完成 第一个步骤可由 m 种方法完成 第二个步骤可由 n 种方法来完成 则这件事可由 m n 种方法来完成 例 1 3 从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会 要求与会成员中既有男同学又有女同学 有 几种不同的选法 例 1 4 6 张同排连号的电影票 分给 3 名男生和 3 名女生 如欲男女相间而坐 则不同的分法数为多少 例 1 5 用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里 每一区域涂上一种颜色 且相邻区域的颜色必须不同 则 共有不同的涂法 A 120 种B 140 种C 160 种D 180 种 4 4 一些常见排列一些常见排列 1特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 例 1 6 晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目 问 分别按以下要求各可排出几种不 2 同的节目单 3 个舞蹈节目排在一起 3 个舞蹈节目彼此隔开 3 个舞蹈节目先后顺序一定 例 1 7 4 幅大小不同的画 要求两幅最大的排在一起 问有多少种排法 例 1 8 5 辆车排成 1 排 1 辆黄色 1 辆蓝色 3 辆红色 且 3 辆红车不可分辨 问有多少种排法 2重复排列和非重复排列 有序 例 1 9 5 封不同的信 有 6 个信箱可供投递 共有多少种投信的方法 3对立事件 例 1 10 七人并坐 甲不坐首位 乙不坐末位 有几种不同的坐法 例 1 11 15 人中取 5 人 有 3 个不能都取 有多少种取法 例 1 12 有 4 对人 组成一个 3 人小组 不能从任意一对中取 2 个 问有多少种可能性 4顺序问题 例 1 13 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的种数 有序 例 1 14 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的种数 有序 例 1 15 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的种数 无序 2 2 随机试验 随机事件及其运算 随机试验 随机事件及其运算 1 1 随机试验和随机事件 随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行 而每次试验的可能结果不止一个 但在进行一次试验之前却不能断言 它出现哪个结果 则称这种试验为随机试验 试验的可能结果称为随机事件 例如 掷一枚硬币 出现正面及出现反面 掷一颗骰子 出现 1 点 5 点和出现偶数点都是随机事件 电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数 泊松分布 对某一目标发射一发炮弹 弹着点到目标 的距离为 0 1 米 0 5 米及 1 米到 3 米之间都是随机事件 正态分布 在一个试验下 不管事件有多少个 总可以从其中找出这样一组事件 它具有如下性质 1 每进行一次试验 必须发生且只能发生这一组中的一个事件 2 任何事件 都是由这一组中的部分事件组成的 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件 用 来表示 例如 n L 21 离散 基本事件的全体 称为试验的样本空间 用 表示 一个事件就是由 中的部分点 基本事件 组成的集合 通常用大写字母A B C 表示事件 它们是 的子集 如果某个 是事件A的组成部分 即这个 在事件A中出现 记为A 如果在一次试验中所出现的 有 A 则称在这次试验中事件A发生 如果 不是事件A的组成部分 就记为A 在一次试验中 所出现的 有A 则称此次试验A没有 发生 为必然事件 为不可能事件 2 2 事件的关系与运算 事件的关系与运算 关系 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分 A发生必有事件B发生 BA 如果同时有BA AB 则称事件A与事件B等价 或称A等于B A B A B中至少有一个发生的事件 AUB 或者A B 3 属于A而不属于B的部分所构成的事件 称为A 与 B的差 记为A B 也可表示为A AB或者BA 它表示A 发生而B不发生的事件 A B同时发生 AIB 或者AB AIB 则表示 A 与 B 不可能同时发生 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互 斥 基本事件是互不相容的 A 称为事件 A 的逆事件 或称 A 的对立事件 记为A 它表示 A 不发生的事件 互斥未必对立 运算 结合率 A BC AB CA B C A B C 分配率 AB C A C B C A B C AC BC 德摩根率 UI 11i i i iAA BABAIU BABAUI 例 1 16 一口袋中装有五只乒乓球 其中三只是白色的 两只是红色的 现从袋中取球两次 每次一只 取出 后不再放回 写出该试验的样本空间 若 表示取到的两只球是白色的事件 表示取到的两只球是红色的 事件 试用 表示下列事件 1 两只球是颜色相同的事件C 2 两只球是颜色不同的事件D 3 两只球中至少有一只白球的事件E 例 1 17 硬币有正反两面 连续抛三次 若 Ai表示第 i 次正面朝上 用 Ai表示下列事件 1 前两次正面朝上 第三次正面朝下的事件C 2 至少有一次正面朝上的事件D 3 前两次正面朝上的事件E 3 3 概率的定义和性质 概率的定义和性质 1 1 概率的公理化定义 概率的公理化定义 设 为样本空间 A为事件 对每一个事件A都有一个实数 P A 若满足下列三个条件 1 0 P A 1 2 P 1 3 对于两两互不相容的事件 1A 2A 有 11 i i i iAPAP U 常称为可列 完全 可加性 则称 P A 为事件A的概率 2 2 古典概型 等可能概型 古典概型 等可能概型 1 n L 21 2 n PPP n 1 21 L 设任一事件A 它是由 m L 21 组成的 则有 P A 21m ULUU 21m PPP L n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A 4 例 1 18 集合 A 中有 100 个数 B 中有 50 个数 并且满足 A 中元素与 B 中元素关系 a b 10 的有 20 对 问任意 分别从 A 和 B 中各抽取一个 抽到满足 a b 10 的 a b 的概率 例 1 19 5 双不同颜色的袜子 从中任取两只 是一对的概率为多少 例 1 20 在共有 10 个座位的小会议室内随机地坐上 6 名与会者 则指定的 4 个座位被坐满的概率是 A 14 1 B 13 1 C 12 1 D 11 1 例 1 21 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的概率 有序 例 1 22 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的概率 有序 例 1 23 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的概率 无序 注意 事件的分解 放回与不放回 顺序问题 4 4 五大公式 加法 减法 乘法 全概 贝叶斯 五大公式 加法 减法 乘法 全概 贝叶斯 1 1 加法公式 加法公式 P A B P A P B P AB 当 P AB 0 时 P A B P A P B 例 1 24 从 0 1 9 这十个数字中任意选出三个不同的数字 试求下列事件的概率 A 三个数字中不含 0 或者不含 5 2 2 减法公式 减法公式 P A B P A P AB 当 B A 时 P A B P A P B 当 A 时 P B 1 P B 例 1 25 若 P A 0 5 P B 0 4 P A B 0 3 求 P A B 和 P A B 例 1 26 对于任意两个互不相容的事件 A 与 B 以下等式中只有一个不正确 它是 A P A B P A B P A B P A P A B 1 C P A B P A P B D P A B A B P A E p BA P A P A B 3 3 条件概率和乘法公式 条件概率和乘法公式 定义 设 A B 是两个事件 且 P A 0 则称 AP ABP 为事件 A 发生条件下 事件 B 发生的条件概率 记为 ABP AP ABP 条件概率是概率的一种 所有概率的性质都适合于条件概率 例如 P B 1 P B A 1 P B A 乘法公式 ABPAPABP 更一般地 对事件 A1 A2 An 若 P A1A2 An 1 0 则有 21 AAP nA 213121AAAPAAPAP 21 AAAPn 1 nA 例 1 27 甲乙两班共有 70 名同学 其中女同学 40 名 设甲班有 30 名同学 而女生 15 名 问在碰到甲班同学 时 正好碰到一名女同学的概率 例 1 28 5 把钥匙 只有一把能打开 如果某次打不开就扔掉 问以下事件的概率 5 第一次打开 第二次打开 第三次打开 4 4 全概公式 全概公式 设事件 nBBB 21L 满足 1 nBBB 21L 两两互不相容 2 1 0 niBPiL 2 U n i iBA 1 则有 2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP L 此公式即为全概率公式 例 1 29 播种小麦时所用的种子中二等种子占 2 三等种子占 1 5 四等种子占 1 其他为一等种子 用 一等 二等 三等 四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0 5 0 15 0 1 0 05 试求种子所 结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率 例 1 30 甲盒内有红球 4 只 黑球 2 只 白球 2 只 乙盒内有红球 5 只 黑球 3 只 丙盒内有黑球 2 只 白球 2 只 从这三只盒子的任意一只中任取出一只球 它是红球的概率是 A 0 5625B 0 5C 0 45D 0 375E 0 225 例 1 31 100 个球 40 个白球 60 个红球 不放回先后取 2 次 第 2 次取出白球的概率 第 20 次取出白球的 概率 5 5 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设事件 1B 2B nB 及A满足 1 1B 2B nB 两两互不相容 BiP 0 i 1 2 n 2 U n i iBA 1 0 AP 则 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 i 1 2 n 此公式即为贝叶斯公式 i BP 1 i 2 n 通常叫先验概率 ABP i 1 i 2 n 通常称为后验概率 如果我 们把A当作观察的 结果 而 1B 2B nB 理解为 原因 则贝叶斯公式反映了 因果 的概率规律 并 作出了 由果朔因 的推断 例 1 32 假定用甲胎蛋白法诊断肝癌 设C表示被检验者的确患有肝癌的事件 A表示诊断出被检验者患有肝 癌的事件 已知95 0 CAP 98 0 CAP 004 0 CP 现有一人被检验法诊断为患有肝癌 求 此人的确患有肝癌的概率 ACP 5 5 事件的独立性和伯努利试验 事件的独立性和伯努利试验 1 1 两个事件的独立性 两个事件的独立性 设事件A B满足 BPAPABP 则称事件A B是相互独立的 这个性质不是想当然成立的 若事件A B相互独立 且 0 AP 则有 BP AP BPAP AP ABP ABP 6 所以这与我们所理解的独立性是一致的 若事件A B相互独立 则可得到A与B A与B A与B也都相互独立 证明 由定义 我们可知必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立 证明 同时 与任何事件都互斥 2 2 多个事件的独立性 多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件 如果满足两两独立的条件 P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A 并且同时满足 P ABC P A P B P C 那么 A B C 相互独立 对于 n 个事件类似 两两互斥 互相互斥 两两独立 互相独立 例 1 33 已知 ABPABP 证明事件A B相互独立 例 1 34 A B C 相互独立的充分条件 1 A B C两两独立 2 A与BC独立 例 1 35 甲 乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次 甲射中的概率为 0 9 乙射中的概率为 0 8 求目 标没有被射中的概率 3 3 伯努利试验 伯努利试验 定义 我们作了n次试验 且满足 每次试验只有两种可能结果 A发生或A不发生 n次试验是重复进行的 即A发生的概率每次均一样 每次试验是独立的 即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的 这种试验称为伯努利概型 或称为n重伯努利试验 用 p 表示每次试验A发生的概率 则A发生的概率为 qp 1 用 kPn 表示n重伯努利试验中A出现 0 nkk 次的概率 knk k n nqpkP C nk 2 1 0L 例 1 36 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中任取 a b 次球 每次放回 试求其中含 a 个白球 b 个黑球的概率 a b 例 1 37 做一系列独立试验 每次试验成功的概率为 p 求在第 n 次成功之前恰失败 m 次的概率 7 第二节第二节练习题练习题 1 1 事件的运算和概率的性质 事件的运算和概率的性质 例 1 38 化简 A B A B A B 例 1 39 ABC AB C B 成立的充分条件为 1 AB C 2 B C 例 1 40 已知 P A x P B 2x P C 3x P AB P BC 求 x 的最大值 例 1 41 当事件 A 与 B 同时发生时 事件 C 必发生 则下列结论正确的是 A P C P AB B P C P AUB C P C P A P B 1 D P C P A P B 1 2 2 古典概型 古典概型 例 1 42 3 男生 3 女生 从中挑出 4 个 问男女相等的概率 例 1 43 电话号码由四个数字组成 每个数字可以是 0 1 2 9 中的任一个数 求电话号码是由完全不同的数 字组成的概率 例 1 44 袋中有 6 只红球 4 只黑球 今从袋中随机取出 4 只球 设取到一只红球得 2 分 取到一只黑球得 1 分 则得分不大于 6 分的概率是 A 42 23 B 7 4 C 42 25 D 21 13 例 1 45 10 个盒子 每个装着标号为 1 6 的卡片 每个盒子任取一张 问 10 张中最大数是 4 的概率 例 1 46 将 n 个人等可能地分到 N n N 间房间中去 试求下列事件的概率 A 某指定的 n 间房中各有 1 人 B 恰有 n 间房中各有 1 人 C 某指定的房中恰有 m m n 人 例 1 47 有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子 从中任取 3 个 问全是白色的概率 3 3 条件概率和乘法公式 条件概率和乘法公式 例 1 48 假设事件 A 和 B 满足 P B A 1 则 A A 是必然事件 B BA C BA D 0 BAP 例 1 49 设 A B 为两个互斥事件 且 P A 0 P B 0 则结论正确的是 A P B A 0 B P A B P A C P A B 0 D P AB P A P B 例 1 50 某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0 7 活到 25 岁的概率为 0 56 求现龄为 20 岁的这种动物活 到 25 岁的概率 例 1 51 某人忘记三位号码锁 每位均有 0 9 十个数码 的最后一个数码 因此在正确拨出前两个数码后 只能随机地试拨最后一个数码 每拨一次算作一次试开 则他在第 4 次试开时才将锁打开的概率是 A 4 1 B 6 1 C 5 2 D 10 1 例 1 52 在空战训练中 甲机先向乙机开火 击落乙机的概率为 0 2 若乙机未被击落 就进行还击 击落甲 机的概率是 0 3 若甲机未被击落 则再进攻乙机 击落乙机的概率是 0 4 求在这几个回合中 甲机被击落 8 的概率 乙机被击落的概率 例 1 53 为防止意外事故 在矿井内同时安装两种报警系统 A 与 B 每种系统单独使用时 其有效率 A 为 0 92 B 为 0 93 在 A 失灵条件下 B 有效概率为 0 85 求 1 这两种警报系统至少有一个有效的概率 2 在 B 失 灵条件下 A 有效的概率 4 4 全概和贝叶斯公式 全概和贝叶斯公式 例 1 54 甲文具盒内有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔 乙文具盒内也有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔 现从甲文具盒中 任取 2 支笔放入乙文具盒 然后再从乙文具盒中任取 2 支笔 求最后取出的 2 支笔都是黑色笔的概率 例 1 55 三个箱子中 第一箱装有 4 个黑球 1 个白球 每二箱装有 3 个黑球 3 个白球 第三箱装有 3 个黑球 5 个白球 现先任取一箱 再从该箱中任取一球 问 1 取出的球是白球的概率 2 若取出的为白球 则该 球属于第二箱的概率 例 1 56 袋中有 4 个白球 6 个红球 先从中任取出 4 个 然后再从剩下的 6 个球中任取一个 则它恰为白球 的概率是 5 5 独立性和伯努利概型 独立性和伯努利概型 例 1 57 设 P A 0 P B 0 证明 1 若 A 与 B 相互独立 则 A 与 B 不互斥 2 若 A 与 B 互斥 则 A 与 B 不独立 例 1 58 设两个随机事件 A B 相互独立 已知仅有 A 发生的概率为 4 1 仅有 B 发生的概率为 4 1 则 P A P B 例 1 59 若两事件 A 和 B 相互独立 且满足 P AB P A B P A 0 4 求 P B 例 1 60 设两两相互独立的三事件A B和C满足条件 ABC P A P B P C 2 1 且已知 16 9 CBAPUU 则P A 例 1 61 A 发生的概率是 0 6 B 发生的概率是 0 5 问 A B 同时发生的概率的范围 例 1 62 设某类型的高炮每次击中飞机的概率为 0 2 问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射 每门射一 次 才能使击中飞机的概率达到 95 以上 例 1 63 由射手对飞机进行 4 次独立射击 每次射击命中的概率为 0 3 一次命中时飞机被击落的概率为 0 6 至少两次命中时飞机必然被击落 求飞机被击落的概率 例 1 64 将一骰子掷 m n 次 已知至少有一次出 6 点 求首次出 6 点在第 n 次抛掷时出现的概率 例 1 65 两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球 其中一罐 取名 甲罐 内的红球数与黑球数之 比为 2 1 另一罐 取名 乙罐 内的黑球数与红球数之比为 2 1 今任取一罐并从中取出 50 只球 查得 其中有 30 只红球和 20 只黑球 则该罐为 甲罐 的概率是该罐为 乙罐 的概率的 A 154 倍 B 254 倍 C 798 倍 D 1024 倍 9 第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布 第一节第一节基本概念基本概念 在许多试验中 观察的对象常常是一个随同取值的量 例如掷一颗骰子出现的点数 它本身就是一个数值 因此 P A 这个函数可以看作是普通函数 定义域和值域都是数字 数字到数字 但是观察硬币出现正面还是反面 就不能简单理解为普通函数 但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来 当出现正面时 规定其对应数为 1 而出现反面时 规定其对应数为 0 于是 XX 当反面出现 当正面出现 0 1 称X为随机变量 又由于X是随着试验结果 基本事件 不同而变化的 所以X实际上是基本事件 的函 数 即 X X 同时事件 A 包含了一定量的 例如古典概型中 A 包含了 1 2 m 共 m 个基本事件 于是 P A 可以由 P X 来计算 这是一个普通函数 定义设试验的样本空间为 如果对 中每个事件 都有唯一的实数值 X X 与之对应 则称 X X 为随 机变量 简记为X 有了随机变量 就可以通过它来描述随机试验中的各种事件 能全面反映试验的情况 这就使得我们对随机 现象的研究 从前一章事件与事件的概率的研究 扩大到对随机变量的研究 这样数学分析的方法也可用来研究 随机现象了 一个随机变量所可能取到的值只有有限个 如掷骰子出现的点数 或可列无穷多个 如电话交换台接到的呼 唤次数 则称为离散型随机变量 像弹着点到目标的距离这样的随机变量 它的取值连续地充满了一个区间 这称为连续型随机变量 1 1 随机变量的分布函数 随机变量的分布函数 1 1 离散型随机变量的分布率 离散型随机变量的分布率 10 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk k 1 2 且取各个值的概率 即事件 X Xk 的概率为 P X xk pk k 1 2 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律 有时也用分布列的形式给出 LL LL 21 21 k k kppp xxx xXP X 显然分布律应满足下列条件 1 0 kp L 2 1 k 2 1 1 k kp 例 2 1 投骰子 出现偶数的概率 例 2 2 4 黑球 2 白球 每次取一个 不放回 直到取到黑为止 令 X 为 取白球的数 求 X 的分布律 例 2 3 若干个容器 每个标号 1 3 取出某号容器的概率与该号码成反比 令 X 表示取出的号码 求 X 的分布律 2 2 分布函数 分布函数 对于非离散型随机变量 通常有0 xXP 不可能用分布率表达 例如日光灯管的寿命X 0 0 xXP 所以我们考虑用X落在某个区间 ba内的概率表示 定义定义设X为随机变量 x是任意实数 则函数 xXPxF 称为随机变量 X 的分布函数 aFbFbXaP 可以得到 X 落入区间 ba的概率 也就是说 分布函数完整地描述了随机 变量 X 随机取值的统计规律性 分布函数 xF是一个普通的函数 它表示随机变量落入区间 x 内的概率 xF的图形是阶梯图形 L 21 xx是第一类间断点 随机变量X在 k x处的概率就是 xF在 k x处的跃度 分布函数具有如下性质 1 1 0 xF x 2 xF是单调不减的函数 即21xx 时 有 1xF 2xF 3 0 lim xFF x 1 lim xFF x 4 0 xFxF 即 xF是右连续的 5 0 xFxFxXP 例 2 4 设离散随机变量X的分布列为 2 1 4 1 8 1 8 1 2 1 0 1 P X 11 求X的分布函数 并求 2 1 XP 2 3 1 XP 2 3 1 XP 例 2 5 设随机变量X的分布函数为 00 0 1 x x x Ax xF 其中A是一个常数 求 1 常数A 2 P 1 X 2 3 3 连续型随机变量的密度函数连续型随机变量的密度函数 定义 设 xF 是随机变量X的分布函数 若存在非负函数 xf 对任意实数x 有 x dxxfxF 则称X为连续型随机变量 xf 称为X的概率密度函数或密度函数 简称概率密度 xf 的图形是一条曲线 称为密度 分布 曲线 由上式可知 连续型随机变量的分布函数 xF 是连续函数 所以 1221212121 xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP 密度函数具有下面 4 个性质 1 0 xf 2 1 dxxf 1 dxxfF 的几何意义 在横轴上面 密度曲线下面的全部面积等于 1 如果一个函数 xf 满足 1 2 则它一定是某个随机变量的密度函数 3 21 xXxP 12 xFxF 2 1 x x dxxf 4 若 xf 在x处连续 则有 xfxF dxxfdxxXxP 它在连续型随机变量理论中所起的作用与 kkpxXP 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似 独立性古典概型 五大公式 APAE xXPxFxXX 对于连续型随机变量X 虽然有 0 xXP 但事件 xX 并非是不可能事件 hx x dxxfhxXxPxXP 令 0 h 则右端为零 而概率 0 xXP 故得 0 xXP 不可能事件 的概率为零 而概率为零的事件不一定是不可能事件 同理 必然事件 的概率为 1 而 12 概率为 1 的事件也不一定是必然事件 例 2 6 随机变量 X 的概率密度为 f x 其他 0 10 xxA xf 求 A 和 F x 例 2 7 随机变量X的概率密度为 0 0 0 2 1 2 3 2 x xex xf x f 求X的分布函数 xF和 42 XP 2 2 常见分布 常见分布 0 0 1 1 分布分布 P X 1 p P X 0 q 例如树叶落在地面的试验 结果只能出现正面或反面 二项分布二项分布 在n重贝努里试验中 设事件A发生的概率为p 事件A发生的次数是随机变量 设为X 则X可能取值为 n 2 1 0L knk k n nqpkPkXP C 其中nkppq 2 1 0 10 1L L2 1 0 k 则称随机变量X服从参数为 的泊松分布 记为 X或者 P 泊松分布为二项分布的极限分布 np n 如飞机被击中的子弹数 来到公共汽车站的乘客数 机床发生故障的次数 自动控制系统中元件损坏的个数 某 商店中来到的顾客人数等 均近似地服从泊松分布 例 2 9 某人进行射击 设每次射击的命中率为 0 001 若独立地射击 5000 次 试求射中的次数不少于两次的 13 概率 用泊松分布来近似计算 超几何分布超几何分布 min 2 1 0 nMl lk C CC kXP n N kn MN k M L 随机变量 X 服从参数为 n N M 的超几何分布 例 2 10 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中任取 a b 个球 试求其中含 a 个白球 b 个黑球的概率 a b ba ba C CC 非重复排列 例 2 11 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中连续地取 a b 个球 不放回 试求其中含 a 个白球 b 个黑球 的概率 a b ba ba ba ba P PCC 非重复排列 例 2 12 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中连续地取 a b 个球 放回 试求其中含 a 个白球 b 个黑球的 概率 a b a ba ba C 重复排列 几何分布几何分布 L 3 2 1 1 kpqkXP k 其中 p 0 q 1 p 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布 例 2 13 5 把钥匙 只有一把能打开 如果某次打不开不扔掉 问以下事件的概率 第一次打开 第二次打开 第三次打开 均匀分布均匀分布 设随机变量X的值只落在 a b 内 其密度函数 xf 在 a b 上为常数 k 即 0 k xf 其他 其中 k ab 1 则称随机变量X在 a b 上服从均匀分布 记为 X U a b 分布函数为 x dxxfxF 当 a x1 x2 b 时 X 落在区间 21 x x 内的概率为 0 xb a x b 14 P 则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布 X 的分布函数为 记住几个积分 1 0 dxxe x 2 0 2 dxex x 1 0 1 ndxex xn 0 1 dxex x 1 5432 考研论坛 友情提供下载 例 2 15 一个电子元件的寿命是一个随机变量X 它的分布函数 xF 的含义是 该电子元件的寿命不超过x 的概率 通常我们都假定电子元件的寿命服从指数分布 试证明服从指数分布的随机变量具有 无记忆性 000 xXPxXxxXxP 正态分布正态分布 设随机变量X的密度函数为 2 2 2 2 1 x exf 为常数 则称随机变量X服从参数为 的正态分布或高斯 Gauss 分布 记为 2 NX xf 具有如下性质 1 xf 的图形是关于 x 对称的 2 当 x 时 2 1 f为最大值 3 xf 以ox轴为渐近线 特别当 固定 改变 时 xf 的图形形状不变 只是集体沿ox轴平行移动 所以 又称为位置参数 当 固 定 改变 时 xf 的图形形状要发生变化 随 变大 xf 图形的形状变得平坦 所以又称 为形状参数 若 2 NX 则X的分布函数为 xf x e 0 x 0 0 x xF 1 x e 0 x 0 x 0 15 dtexF x t 2 2 2 2 1 参数 0 1 时的正态分布称为标准正态分布 记为 1 0 NX 其密度函数记为 2 2 2 1 x ex x 分布函数为 dtex x t 2 2 2 1 x 是不可求积函数 其函数值 已编制成表可供查用 x 和 x 的性质如下 1 x 是偶函数 x x 2 当 x 0 时 x 2 1 为最大值 3 x 1 x 且 0 2 1 如果X 2 N 则 X 1 0 N 所以我们可以通过变换将 xF的计算转化为 x 的计算 而 x 的值是可以通过查表得到的 12 21 xx xXxP 分位数的定义 例 2 16 设 4 1 NX 求 2 75 XP 6 10 c 2P X c 例 2 17 某人需乘车到机场搭乘飞机 现有两条路线可供选择 第一条路线较短 但交通比较拥挤 到达机场 所需时间 X 单位为分 服从正态分布 N 50 100 第二条路线较长 但出现意外的阻塞较少 所需时间 X 服 从正态分布 N 60 16 1 若有 70 分钟可用 问应走哪一条路线 2 若有 65 分钟可用 又应选择哪一条 路线 3 3 随机变量函数的分布 随机变量函数的分布 随机变量Y是随机变量X的函数 XgY 若X的分布函数 xFX或密度函数 xfX知道 则如何求出 XgY 的分布函数 yFY或密度函数 yfY 1 1 X是离散型随机变量是离散型随机变量 已知X的分布列为 LL LL 21 21 n n ippp xxx xXP X 显然 XgY 的取值只可能是LL 21nxgxgxg 若 ixg互不相等 则Y的分布列如下 LL LL 21 21 n n i ppp xgxgxg yYP Y 若有某些 ixg相等 则应将对应的iP相加作为 ixg的概率 16 例 2 18 已知随机变量X的分布列为 3 1 3 1 3 1 2 1 0 P X 求 2 XY 的分布列 2 2 X是连续型随机变量是连续型随机变量 先利用 X 的概率密度 fX x 写出 Y 的分布函数 FY y 再利用变上下限积分的求导公式求出 fY y 例 2 19 已知随机变量 0 则 A 例 2 22 21 xfxf 是概率密度函数的充分条件是 1 21 xfxf均为概率密度函数 2 1 0 21 xfxf 例 2 23 一个不懂英语的人参加 GMAT 机考 假设考试有 5 个选择题 每题有 5 个选项 单选 试求 此人答 对 3 题或者 3 题以上 至少获得 600 分 的概率 例 2 24 设随机变量 X U 0 5 求方程0244 2 XXxx有实根的概率 例 2 25 设随机变量 X 的概率密度为 其他 0 6 3 9 2 1 0 3 1 x x xf 其使得 3 2 kXP 则 k 的取值范围是 例 2 26 已知某种电子元件的寿命 单位 小时 服从指数分布 若它工作了 900 小时而未损坏的概率是 9 0 e 则该种电子元件的平均寿命是 17 A 990 小时B 1000 小时C 1010 小时D 1020 小时 例 2 27 设随机变量 X 的概率密度为 2 1 xex x 则其分布函数F x 是 A 0 1 0 2 1 x xe xF x B 0 2 1 1 0 2 1 xe xe xF x x C 0 1 0 2 1 1 x xe xF x D 0 且 P x 2 1 则 2 2 函数分布 函数分布 例 2 30 设随机变量 X 具有连续的分布函数 F x 求 Y F X 的分布函数 F y 或证明题 设 X 的分布函数 F x 是连续函数 证明随机变量 Y F X 在区间 0 1 上服从均匀分布 例 2 31 设随机变量 X 的分布函数为 F x 则 Y 2lnF X 的概率分布密度函数fY y 例 2 32 设 X U 2 2 并且 y tanx 求 Y 的分布密度函数 f y 例 2 33 设随机变量 X 服从指数分布 则随机变量Y min X 2 的分布函数 A 是连续函数 B 至少有两个间断点 C 是阶梯函数 D 恰好有一个间断点 18 第三章第三章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 第一节第一节基本概念基本概念 1 1 二维随机变量的基本概念 二维随机变量的基本概念 1 1 二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布 二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布 如果二维随机向量 X Y 的所有可能取值为至多可列个有序对 x y 时 则称 为离散型随机量 理解 X x Y y X x Y y 设 X Y 的所有可能取值为 2 1 L jiyx ji 且事件 ji yx 的概率为pij 称 2 1 L jipyxYXP ijji 为 X Y 的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示 Y X y1y2 yj pi x1p11p12 p1j p1 x2p21p22 p2j p2 MMMMMM xipi1 pi MMMMMM p jp 1p 2 p j 1 这里pij具有下面两个性质 1 pij 0 i j 1 2 2 1 ij ij p 对于随机向量 X Y 称其分量 X 或 Y 的分布为 X Y 的关于 X 或 Y 的边缘分布 上表中的最后一列 或行 给出了 X 为离散型 并且其联合分布律为 2 1 L jipyxYXP ijji 则 X 的边缘分布为 2 1 L jipxXPP ij j ii Y 的边缘分布为 2 1 L jipyYPP ij i ii 例 3 1 二维随机向量 X Y 共有六个取正概率的点 它们是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它们的概率相同 则 X Y 的联合分布及边缘分布为 Y X 1012p1 1 6 1000 6 1 19 2 6 1 6 10 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 11 2 2 二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对于二维随机向量 YX 如果存在非负函数 yxyxf 使对任意一个其邻边 分别平行于坐标轴的矩形区域 D 即 D X Y a x b c y d 有 D dxdyyxfDYXP 则称 为连续型随机向量 并称 f x y 为 X Y 的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度 分布密度 f x y 具有下面两个性质 1 f x y 0 2 1 dxdyyxf 一般来说 当 X Y 为连续型随机向量 并且其联合分布密度为 f x y 则 X 和 Y 的边缘分布密度为 dxyxfyfdyyxfxf YX 注意 联合概率分布 边缘分布 例 3 2 设 X Y 的联合分布密度为 其他 0 0 0 43 yxCe yxf yx 试求 1 常数 C 2 P 0 X 1 0 Y yfxf YX 分别为 X Y 的边缘分布密度 例 3 3 设二维随向量 X Y 的联合分布为 XY0 40 8 20 150 05 50 300 12 80 350 03 求 1 X 与 Y 的边缘分布 2 X 关于 Y 取值 y1 0 4 的条件分布 3 Y 关于 X 取值 x2 5 的条件分布 4 4 常见的二维分布 常见的二维分布 均匀分布均匀分布 设随机向量 X Y 的分布密度函数为 其他 0 1 Dyx S yxf D 其中 SD为区域 D 的面积 则称 X Y 服从 D 上的均匀分布 记为 X Y U D 例如图 3 1 图 3 2 和图 3 3 y 1 D1 O1x 图 3 1 y 1 O2x 图 3 2 y d D2 1 D3 21 c Oabx 图 3 3 例 3 4 设二维连续型随机变量 X Y 在区域 D 上服从均匀分布 其中 1 1 yxyxyxD 求 X 的边缘密度 fX x 画线观察积分上下限 正态分布正态分布 设随机向量 X Y 的分布密度函数为 12 1 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 yyxx eyxf 其中1 0 0 2121 共 5 个参数 则称 X Y 服从二维正态分布 记为 X Y N 2 2 2 1 2 1 由边缘密度的计算公式 可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布 反推则错 即 X N 2 2 2 2 11 NY 5 5 二维随机向量联合分布函数及其性质 二维随机向量联合分布函数及其性质 设 X Y 为二维随机变量 对于任意实数 x y 二元函数 yYxXPyxF 称为二维随机向量 X Y 的分布函数 或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数 分布函数是一个以全平面为其定义域 以事件 2121 yYxX x1时 有 F x2 y F x1 y 当 y2 y1时 有 F x y2 F x y1 3 F x y 分别对 x 和 y 是右连续的 即 0 0 yxFyxFyxFyxF 4 1 0 FxFyFF 2 2 随机变量的独立性 随机变量的独立性 1 1 一般型随机变量 一般型随机变量 F X Y FX x FY y 22 2 2 离散型随机变量 离散型随机变量 jiij ppp 例 3 5 二维随机向量 X Y 共有六个取正概率的点 它们是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它们的概率相同 则 X Y 的联合分布及边缘分布为 Y X 1012p1 1 6 1000 6 1 2 6 1 6 10 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 11 3 3 连续型随机变量 连续型随机变量 f x y fX x fY y 联合分布 边缘分布 f x y fX x fY y 直接判断 充要条件 可分离变量 正概率密度区间为矩形 例 3 6 如图 3 1 f x y 8xy fX x 4x 3 f Y y 4y 4y 3 不独立 例 3 7 f x y 其他 0 10 20 2 yxAxy 4 4 二维正态分布 二维正态分布 12 1 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 yyxx eyxf 0 5 5 随机变量函数的独立性 随机变量函数的独立性 若 X 与 Y 独立 h g 为连续函数 则 h X 和 g Y 独立 例如 若 X 与 Y 独立 则 3X 1 和 5Y 2 独立 3 3 简单函数的分布 简单函数的分布 两个随机变量的和两个随机变量的和 Z X YZ X Y 离散型 例 3 8 设 X Y 的联合分布为 23 XY012 0 12 1 6 1 12 1 1 3 1 6 1 6 1 求 i Z1 X Y ii Z2 X Y iii Z3 XY 的分布列 连续型 fZ z dxxzxf 两个独立的正态分布的和仍为正态分布 2 2 2 121 例 3 9 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量 且 X U 0 1 Y e 1 求 Z X Y 的分布密度函数 fz z 混合型 例 3 10 设随机变量 X 与 Y 独立 其中 X 的概率分布为 7 03 0 21 X 而 Y 的概率密度为 f y 求随机变量 U X Y 的概率密度 g u 第二节第二节练习题练习题 1 1 二维随机变量联合分布函数 二维随机变量联合分布函数 例 3 11 如下四个二元函数 哪个不能作为二维随机变量 X Y 的分布函数 A 0 0 0 1 1 1 其他 yxee yxF yx B 3 arctan 22 arctan 2 1 2 2 yx yxF C 12 0 12 1 3 yx yx yxF 24 D 的泊松分布 每位乘客在中途下车的概率为 p 0 p 1 并且他们在中途下车与否是相互独立的 用 Y 表示在中途下车的人数 求 1 在发车时有 n 个乘客的条件下 中途有 m 人下车的概率 2 二维随机向量 X Y 的概率分布 例 3 13 一射手进行射击 击中目标的概率为 p 0 p 1 射击直到击中目标两次为止 设以 X 表示首次击中 目标所进行的射击次数 以 Y 表示总共进行的射击次数 试求 X 与 Y 的联合分布律及条件分布律 例 3 14 设 X Y 只在曲线 y x 2与 x y2所围成的区域 D 中不为零且服从均匀分布 试求 1 X Y 的联合密度 2 边缘密度 yx YX 3 P Y X 例 3 15 设随机变量 X Y 的概率密度为 YXP 例 3 16 设随机变量X在区间 1 0 上服从均匀分布 在 10 YXP 2 2 随机变量的独立性 随机变量的独立性 例 3 17 设 X Y 的联合分布密度为 0 10 其他 xyyxC yxf 1 求 C 2 求 X Y 的边缘分布 3 讨论 X 与 Y 的独立性 4 计算 P X Y 1 例 3 18 设 X Y 的密度函数为 0 0 其他 xyxe yx y 试求 1 X Y 的边缘密度函数 并判别其独立性 2 X Y 的条件分布密度 25 3 P X 2 Y 4 3 3 简单函数的分布 简单函数的分布 例 3 19 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为 7 03 0 31 i P X 4 06 0 42 j P Y 求随机变量 1 Z X Y 2 Z XY 3 Z max X Y 的分布律 例 3 20 设两个相互独立的随机变量 X 与 Y 分别服从 N 0 1 和 N 1 1 求 P X Y 1 或选择题为 A 2 1 0 YXP B 2 1 1 YXP C 2 1 0 YXP D 2 1 1 YXP 例 3 21 设随机变量 X Y 的分布密度为 0 0 103 其他 xyxx yx 试求Z X Y 的分布密度 例 3 22 设 X 与 Y 相互独立 且都服从 0 a 上的均匀分布 试求 Y X Z 的分布密度与分布函数 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第一节第一节基本概念基本概念 1 1 一维随机变量的数字特征 一维随机变量的数字特征 1 1 一维随机变量及其函数的期望 一维随机变量及其函数的期望 设 X 是离散型随机变量 其分布律为 P k xX pk k 1 2 n n k kkp xXE 1 期望就是平均值 例 4 1 100 个考生 100 分 10 人 90 分 20 人 80 分 40 人 70 分 20 人 60 分 10 人 求期望 26 例 4 2 设某长生产的某种产品不合格率为 10 假设生产一件不合格品要亏损 2 元 每生产一件合格品获利 10 元 求每件产品的平均利润 设 X 是连续型随机变量 其概率密度为 f x dxxxfXE 例 4 3 设在某一规定的时间间隔里 某电气设备用于最大负荷的时间 X 以分钟计 是一个随机变量 其概 率密度为 其他0 30001500 1500 3000 15000 1500 2 2 x x x x xf 求EX 数学期望的性质 1 E C C 2 E CX CE X 3 E X Y E X E Y n i n i iiii XECXCE 11 4 E XY E X E Y 充分条件 X 和 Y 独立 充要条件 X 和 Y