九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题7.doc

九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题7抛物线与存在性-7一、解答题（共30小题）1、（2009铁岭）如图所示，已知在直角梯形OABC中，ABOC，BCx轴于点C、A（1，1）、B（3，1）动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q设P点移动的时间为t秒（0t4），OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将OPQ绕着点P顺时针旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由2、（2009天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tanACO=（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积3、（2009乌鲁木齐）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使CPN=90？若存在，请直接写出点P的坐标4、（2009宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BCOA，OC=ABtanBA0=，点B的坐标为（7，4）（1）求点A、C的坐标；（2）求经过点0、B、C的抛物线的解析式；（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由5、（2009烟台）如图，抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，3a），对称轴是直线x=1，顶点是M（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y=x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）6、（2009湘潭）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90交直线BC于点Q（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OABQ=APBP；（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）直线AB上是否存在点P，使POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7、（2009枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使MOB的面积是AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使OBN与OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由8、（2009营口）如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O（45），B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y=ax2+bx+c过点A1、B1、C1（1）求tan的值；（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由9、（2009益阳）阅读材料：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h）”我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及SCAB；（3）是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由10、（2009张家界）在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由11、（2009湛江）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将POC沿PC翻折得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PE、PF重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OP=x，AD=y，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标12、（2009资阳）如图，已知抛物线y=x22x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O，过点B和P的直线l交y轴于点C，连接OC，将ACO沿OC翻折后，点A落在点D的位置（1）求直线l的函数解析式；（2）求点D的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得SDQC=SDPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由13、（2009重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由14、（2010包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，2），直线x=m（m2）与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由15、（2010百色）已知抛物线y=x2+bx+c的图象过A（0，1）、B（1，0）两点，直线l：x=2与抛物线相交于点C，抛物线上一点M从B点出发，沿抛物线向左侧运动直线MA分别交对称轴和直线l于D、P两点设直线PA为y=kx+m用S表示以P、B、C、D为顶点的多边形的面积（1）求抛物线的解析式，并用k表示P、D两点的坐标；（2）当0k1时，求S与k之间的关系式；（3）当k0时，求S与k之间的关系式是否存在k的值，使得以P、B、C、D为顶点的多边形为平行四边形若存在，求此时k的值若不存在，请说明理由；（4）若规定k=0时，y=m是一条过点（0，m）且平行于x轴的直线当k1时，请在下面给出的直角坐标系中画出S与k之间的函数图象求S的最小值，并说明此时对应的以P、B、C、D为顶点的多边形的形状16、（2010巴中）如图，已知ABC中，ACB=90，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系此时，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx+c过ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y=x1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由17、（2010本溪）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；（2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式18、（2010赤峰）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（3，3），与x轴的一个交点为B（1，0）（1）求抛物线的解析式（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C在抛物线上是否存在点M，使得MBC的面积等于以点A、P0、B、C为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由19、（2010成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（3，0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=2（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为SABP、SBPC，且SABP：SBPC=2：3，求点P的坐标；（3）设Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，Q与两坐轴同时相切20、（2010丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AD=m，且E，F，D分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFD的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFD是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由21、（2010大田县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一交点A的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）连接AC，BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A，点B）不重合，过点E作EFAC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状，若不存在，请说明理由22、（2010达州）如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l点P是l上一动点设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0S18时，求t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且OP为直角边若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由23、（2010鄂尔多斯）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x236向右平移a（0a10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DEOA交CN于E，设CD的长为m，PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由24、（2010定西）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由25、（2010抚顺）如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（2，0）、C（6，0）过点A作ADx轴交抛物线于点D，过点D作DEx轴，垂足为点E点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，2）（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由26、（2010福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5若抛物线过点O、A两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由27、（2010恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积28、（2010海南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线lx轴于点M，交直线BC于点N若点P在第一象限内试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；求以BC为底边的等腰BPC的面积29、（2010广安）如图，直线y=x1与抛物线y=ax2+bx4都经过点A（1，0）、C（3，4）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由30、（2010怀化）下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，4）（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b；（b1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2009铁岭）如图所示，已知在直角梯形OABC中，ABOC，BCx轴于点C、A（1，1）、B（3，1）动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q设P点移动的时间为t秒（0t4），OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将OPQ绕着点P顺时针旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题；动点型。分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式（2）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式（3）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在解答：解：（1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0）把A（1，1），B（3，1）代入上式得：（1分），解得（3分）所求抛物线解析式为y=x2+x（4分）方法二：A（1，1），B（3，1），抛物线的对称轴是直线x=2设抛物线解析式为y=a（x2）2+h（a0）（1分）把O（0，0），A（1，1）代入得，解得，（3分）所求抛物线解析式为y=（x2）2+x（4分）（2）分三种情况：S=t2，BM=BN=1（t3）=4t当0t2，重叠部分的面积是SOPQ，过点A作AFx轴于点F，A（1，1），在RtOAF中，AF=OF=1，AOF=45，在RtOPQ中，OP=t，OPQ=QOP=45，PQ=OQ=tcos 45=t（6分）当2t3，设PQ交AB于点G，作GHx轴于点H，OPQ=QOP=45，则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGPAG=FH=t2，S=（AG+OP）AF=（t+t2）1=t1（8分）当3t4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC因为PNC和BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABCSBMNB（3，1），OP=t，PC=CN=t3，S=（2+3）1（4t）2S=t2+4t（10分）（3）存在t1=1（12分）t2=2（14分）点评：本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力，难度较大2、（2009天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tanACO=（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tanACO=，则A坐标为（1，0）将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标四边形AECF为平行四边形，则CEAF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，r），代入抛物线解析式即可求解（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x22x3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值解答：解：（1）方法一：由已知得：C（0，3），A（1，0）（1分）将A、B、C三点的坐标代入得（2分）解得：（3分）所以这个二次函数的表达式为：y=x22x3（3分）方法二：由已知得：C（0，3），A（1，0）（1分）设该表达式为：y=a（x+1）（x3）（2分）将C点的坐标代入得：a=1（3分）所以这个二次函数的表达式为：y=x22x3（3分）（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，3）（4分）理由：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：y=x3E点的坐标为（3，0）（4分）由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AECF以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形存在点F，坐标为（2，3）（5分）方法二：易得D（1，4），所以直线CD的解析式为：y=x3E点的坐标为（3，0）（4分）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，3）符合存在点F，坐标为（2，3）（5分）（3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得（6分）当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得（7分）圆的半径为或（7分）（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为y=x1（8分）设P（x，x22x3），则Q（x，x1），PQ=x2+x+2SAPG=SAPQ+SGPQ=（x2+x+2）3（9分）当x=时，APG的面积最大此时P点的坐标为（，），SAPG的最大值为（10分）点评：此题考查二次函数与x轴，y轴坐标求法，顶点坐标公式，二次函数图象与平行四边形，圆相结合，重点考查了平行四边形，圆的性质特征3、（2009乌鲁木齐）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点设点P是AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使CPN=90？若存在，请直接写出点P的坐标考点：二次函数综合题。专题：动点型；开放型。分析：本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题（1）通过POCPOD而证得PC=PD（2）首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；（3）此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标进而求的PED的周长；（4）要使CPN=90，则P点是以O为圆心OC长为半径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出P点的坐标解答：解：（1）点D是OA的中点，OD=2，OD=OC又OP是COD的角平分线，POC=POD=45，POCPOD，PC=PD（2）过点B作AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PMBF，PBF是等腰直角三角形，PM=BF=1，点P的坐标为（3，3）抛物线经过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx又抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），有解得抛物线的解析式为y=x22x；（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于AOC的平分线的对称点即为C点连接EC，它与AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），此时PED的周长最小抛物线y=x22x的顶点E的坐标（1，1），C点的坐标（0，2），设CE所在直线的解析式为y=kx+b，则有，解得CE所在直线的解析式为y=3x+2点P满足，解得，故点P的坐标为PED的周长即是CE+DE=+；（4）存在点P，使CPN=90度其坐标是或（2，2）点评：函数与四边形或三角形的综合考查，是近几年中考的一个热点问题对于这类问题，通常需要学生熟悉掌握多边形与函数的概念与性质及两者之间的联系4、（2009宜宾）如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BCOA，OC=ABtanBA0=，点B的坐标为（7，4）（1）求点A、C的坐标；（2）求经过点0、B、C的抛物线的解析式；（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：开放型。分析：（1）本题可通过构建直角三角形来求解，过C作CDOA于D，过B作BEOA于E，在直角三角形OCD和ABE中，可根据B点的纵坐标即CD，BE的长和两底角的正切值求出AE，OD的长，即可求出C、A的坐标（2）根据已知的三点坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式（3）应该有两个符合条件的P点，以过P且平行于AB的直线为例说明：可设过P且平行于等腰梯形一腰AB的直线与BC、OA的交点为M、N，那么平行四边形MBAN的面积就是梯形面积的一半，据此可求出BM，AN的长，即可求出BM、AN的长，即可求出M、N的坐标也就求出了直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求出P点的坐标，根据抛物线和等腰梯形的对称性，求出的P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意解答：解：（1）过C作CDOA于D，过B作BEOA于E，在直角三角形ABE中，BE=4，tanBAE=，AE=3，同理可求得OD=3因此C（3，4），A（10，0）（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，则有：，解得，y=x2+x（3）假设存在这样的P点，设过P点且与BA平行的直线交BC于M，交AO于N易知：BC=DE=4，OA=10，CD=4，S梯形ABCO=（BC+OA）CD=28SANMB=S梯形=14BM=AN=M（，4），N（，0）直线MN的解析式为：y=x+，联立抛物线的解析式有：，解得（不合题意舍去），P（，），根据抛物线和等腰梯形的对称性可知P点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合题意，因此符合条件的P点有两个：P（，），（，）点评：本题考查了等腰梯形的性质、二次函数解析式的确定、以及图形面积的求法等知识点5、（2009烟台）如图，抛物线y=ax2+bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，3a），对称轴是直线x=1，顶点是M（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y=x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：依题意联立方程组求出a，b的值后可求出函数表达式分别令x=0，y=0求出A、B、C三点的坐标，然后易求直线CM的解析式证明四边形ANCP为平行四边形可求出点P的坐标求出直线y=x+3与坐标轴的交点D，B的坐标然后证明AFE=ABE=45，AE=AF，可证得三角形AEF是等腰直角三角形解答：解：（1）根据题意，得，解得，抛物线对应的函数表达式为y=x22x3；（2）存在在y=x22x3中，令x=0，得y=3令y=0，得x22x3=0，x1=1，x2=3A（1，0），B（3，0），C（0，3）又y=（x1）24，顶点M（1，4），容易求得直线CM的表达式是y=x3在y=x3中，令y=0，得x=3N（3，0），AN=2，在y=x22x3中，令y=3，得x1=0，x2=2CP=2，AN=CPANCP，四边形ANCP为平行四边形，此时P（2，3）；（3）AEF是等腰直角三角形理由：在y=x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3直线y=x+3与坐标轴的交点是D（0，3），B（3，0）OD=OB，OBD=45，又点C（0，3），OB=OCOBC=45度，由图知AEF=ABF=45，AFE=ABE=45度，EAF=90，且AE=AFAEF是等腰直角三角形；（4）当点E是直线y=x+3上任意一点时，（3）中的结论成立点评：本题综合考查了等腰直角三角形的判定以及二次函数结合图形的应用，难度较大6、（2009湘潭）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90交直线BC于点Q（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OABQ=APBP；（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）直线AB上是否存在点P，使POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。专题：压轴题。分析：（1）根据已知利用相似三角形的判定得到AOPBPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OABQ=APBP；（2）由第一问可求求得BQ的值，从而求得l=3，所以可得到当m=2时，l有最小值；（3）因为POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根据等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值，从而就可确定点P的坐标解答：证明：（1）POPQ，APO+BPQ=90，在RtAOP中，APO+AOP=90，BPQ=AOP，OAPPBQ，则，即OABQ=APBP（3分）（2）OABQ=APBP，即BQ=，l=3当m=2时，l有最小值（6分）（3）解法一：POQ是等腰三角形若P在线段AB上，OPQ=90PO=PQ，又OAPPBQ，OAPPBQPB=AO，即3=4m，m=1，即P点坐标（1，3）（8分）若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，又AOPBPQ，AOPBPQ，AO=PB，即3=m4，即P点的坐标（7，3），故存在P1（1，3），P2（7，3）使POQ为等腰三角形（10分）解法二：POQ是等腰三角形PO=PQ，即PA2+AO2=PB2+BQ2（7分）则m2+32=（4m）2+（）2（8分）整理得m48m3+16m272m+63=0m48m3+7m2+9m272m+63=0m2（m28m+7）+9（m28m+7）=0（m1）（m7）（m2+9）=0m1=1，m2=7，m2=9（舍去）故存在P1（1，3），P2（7，3）使POQ为等腰三角形（10分）点评：此题考查学生对等腰三角形的性质，相似三角形的判定，矩形的性质及二次函数等知识点的综合运用7、（2009枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使MOB的面积是AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使OBN与OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x2）2+1，把O（0，0）代入即可；（2）MOB与AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为3即可，将y=3，代入解析式可求M点坐标；（3）由已知OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求AOB=BON，A、A要关于x轴对称，通过计算，不存在解答：解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x2）2+1，抛物线过原点，a（02）2+1=0，a=抛物线的解析式为y=（x2）2+1=x2+x（2）AOB和所求MOB同底不等高，且SMOB=3SAOB，MOB的高是AOB高的3倍，即M点的纵坐标是33=x2+x，即x24x12=0解之，得x1=6，x2=2满足条件的点有两个：M1（6，3），M2（2，3）（3）不存在由抛物线的对称性，知AO=AB，AOB=ABO若OBN与OAB相似，必有BON=BOA=BNO，即OB平分AON，设ON交抛物线的对称轴于A点，则A、A关于x轴对称，A（2，1）直线ON的解析式为y=x由x=x2+x，得x1=0，x2=6N（6，3）过N作NEx轴，垂足为E在RtBEN中，BE=2，NE=3，NB=又OB=4，NBOB，BONBNO，OBN与OAB不相似同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点所以在该抛物线上不存在点N，使OBN与OAB相似点评：本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性8、（2009营口）如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O（45），B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y=ax2+bx+c过点A1、B1、C1（1）求tan的值；（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据旋转的知识可知：四边形A1B1C1O为正方形，OC1=B1C1，OC1B1=90，C1OD=AOA1=，又D是B1C1的中点，在RtC1OD中，tan=tan的值是；（2）根据三角函数与勾股定理即可求得点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；要注意方程思想的应用；（3）将点A1，B1，C1的坐标代入解析式，利用方程组即可求得解析式，再求得对称轴；（4）一种是与线段B1C1垂直的直线：分别过点B1、C1；一种是根据直径所对的圆周角是直角求得，以线段B1C1为直径作圆，与对称轴的交点即是所求点解答：解：（1）四边形A1B1C1O为正方形，OC1=B1C1，OC1B1=90度又D是B1C1的中点，由旋转性质可知，C1OD=AOA1=，在RtC1OD中，tan=tan的值是（2分）（2）过点A1作A1Ex轴，垂足为点E在RtA1EO中，tan=，设A1E=k，则OE=2k，在RtA1EO中，根据勾股定理，得A1E2+OE2=OA12即，解得k1=1（舍），k2=1A1E=1，OE=2又点A1在第二象限，点A1的坐标为（2，1）（4分）直接写出点B2的坐标为（1，3），点C1的坐标为（1，2）（6分）（3）抛物线y=ax2+bx+c过点A1，B1，C1解得抛物线的函数表达式为（8分）将其配方，得抛物线的对称轴是直线（9分）（4）存在点P，使PB1C1为直角三角形（10分）满足条件的点P共有4个：，（14分）点评：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题此题考查了二次函数与一次函数，三角形、四边形的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用9、（2009益阳）阅读材料：如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h）”我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐