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学校教学主楼人员紧急疏散策略建模摘 要本文针对学校教学楼紧急疏散问题进行分析，讨论了通过每个门的人流排数、全部通过的时间等作为评价指标，建立了非线性规划数学模型。应用了matlab、方程的求解等知识。最后我们把总的时间划分为三部分，即：出教室的时间、一楼教室门到大门的时间、全体人员通过大门的时间；首先根据门的宽度及通过门的速度算出每个教室全部学生出去的时间，然后根据走廊的长度计算出通过走廊的时间，再根据每秒走的台阶个数及台阶的总数计算出通过楼梯时间，最后算出通过门的时间。虽然过程中每层楼都会有等待时间，通过计算及时间的转换，可以得出等待的时间被包含在出主教大门口的时间里，就不用考虑等待时间。问题一先计算出一楼通过教室时间，其最长时间为30.7s,讨论出教室时是否会不会堵塞，经计算得出出教室的时候会出现堵塞现象，所以取堵塞的时间，例如D区堵塞与不堵塞的时间分别为22.1s、21.36s；通过走廊的时间容易算出，我们考虑第一个人通过走廊的时间，所取的速度比较大（因为第一个人无阻碍，在紧急逃生情况下，所行走的速度比较大）为3m/s；在通过楼梯时候要考虑通过楼梯的人数，通过每个门（共有6个门，不考虑C区黑板后面的楼梯及BF区去之间的门，经观察此铁门长期不可已锈死，所以这2个门不考虑，即：有4个）的宽度计算出能通过几排人，针对每个楼梯单位排数所通过的人数相等，列方程计算（经计算得出教室距离门的距离对此方法的计算无太大影响）出每个门的人数安排情况，来计算出通过楼梯的时间；通过门口的时间课通过瓶颈效应计算出时间为205.32s。最终得出时间为236.02s。问题二在基于问题一的计算方法可以得出不需要电梯的所需时间为236.02s，由于电梯每运输10人消耗37.2s，基于六楼的特殊结构、五楼上楼消耗的时间得出，只需6楼分配60人去坐电梯，但由于下楼之后还是在等待，通过问题一的方法可知时间不改变，为236.02s；对于集散地的选择；可以考虑安全区来得出集散地的选择。 关键字：紧急疏散 ；非线性规划；瓶颈效应；一、问题的重述紧急疏散是发生较大突发事件时对周围地区人员进行撤离的一种重要方法。它是危机状况下最有效的、最大可能性保护人民群众的方法之一。例如 2004年在重庆天原化工厂氯气泄漏事故中紧急疏散了20余万人、同年陕京输气管道被挖裂事故紧急疏散了4千余人、2008年四川地震灾害唐家山堰塞湖紧急疏散了24万人、2011年美国飓风紧急疏散了230万人等，这些数据都说明紧急疏散在危机时刻的重要作用。紧急疏散不仅需要及时的预警系统，更需要一个强有力的决策系统，疏散方案的选择对人员的有效撤离有至关重要的作用。以学校教学楼为例，如何选择疏散策略，才能最大限度撤离学生？最大限度的将损害降到最低？国内有不少专家对此问题进行了相关研究，例如刘德成发表的“校园紧急疏散模型的研究”，沈文翠等发表的“学校教学楼的紧急疏散模型”、王顺耿发表的“寓安全教育于数学教学中的一个案例一校园紧急疏散数学模型的开发建立”等。以江西理工大学教学主楼为例，学校主楼是一个主要的教学区域，每天都有95%的教室使用率。主楼共有六层（C、D、E、F为阶梯教室，C、F有5层，D只有2层，E有4层），每层的平面示意图和每个教室的人数容量如图1所示。A区东西两侧分别有上下楼梯其宽度为1.64米和1.32米、C区南侧有一个宽度为1.35米上下楼梯、E区有一个宽度为2.7米的上下楼梯、A区东侧有两个电梯直接到一楼，容量为每台次小于10人，乘坐电梯只能从楼顶进入电梯，中间不停。(1)请结合我校教学主楼结构现状，建立数学模型，制定一个合理的学生紧急疏散计划。(2)在考虑使用电梯、选择就地保护和选择撤离集散地的情况下，建立数学模型，制定一个合理的学生紧急疏散计划。二、问题的分析1. 问题一的分析（1）教室疏散 要求出从教室疏散到走廊的总时间，也就是求最后一个人出教室的时间t是多少。教室门口通常情况下是一个颈瓶，所以在教室门口有可能发生堵塞现象。因此我们考虑堵塞和不堵塞两种情况，并分别求出堵塞时间和不堵塞时间，若是小于，那在教室门口就没有发生堵塞，颈瓶也就不存在，从教室疏散到走廊的时间为；若是小于，那在教室门口就发生堵塞，从教室疏散到走廊的时间为。（2） 一楼从教室疏散到各大门出口从教室疏散出来以后，人流就会向通往下一层的出口（楼梯出口和大门出口）。我们可以先大致的算出一楼人流的分配，即通往各大门的人数，然后比较离大门的距离是否会影响人通过大门的总时间，若是人流可以衔接上，那距离的影响就可以忽略。此时人流的分配就只与各大门的宽度有关，根据各出口的有效宽度可知道每个出口同时可以通过的人的排数，再由公式就可算出一楼所有人通过大门所花的总时间。然后与第二楼的人下楼所需的时间比较，我们就可以知道在二楼的人经走廊和楼梯下到一楼的时候，一楼的人是否已经疏散完毕。若没有疏散完毕，则在一楼楼梯口就有可能发生堵塞现象。若是发生堵塞现象，二楼的人就必须等一楼的人疏散，在这里就有一个等待时间。关于等待时间，假若我们单独拿出来算，是比较难算的，因为二楼的人与一楼的人衔接上的时间是比较模糊的一个时间，它夹在二楼的第一个人下来的时间与一楼的人全部疏散完毕的时间的中间。所以我们可以考虑把这段时间放在某一个大的过程中一起来考虑。所以这是我们可以就只考虑一楼的人通过大门出口的时间，因为发生堵塞，因此在一楼最后一个人通过大门时，二楼的第一个人会紧跟在一楼最后通过出口的那个人的后面，这就是一楼与二楼部分的疏散过程。同理考虑二楼以上楼层，由结果可得知在每一层的楼梯口处是否会发生堵塞现象，如果都发生堵塞，那根据以上分析，六层楼的总的疏散过程，就可以统一考虑到一楼的四个大门之中去。（3）六楼总体的疏散过程 基于（2）的思路，六楼总体的疏散过程就是各大门处人数的分配问题，但是，我们求出的总时间应该是四个大门出口的最后一个人通过大门的时间之中最长的一个时间。必然，每个大门的最后通过的人所花的时间不能相差太大，所以，我们可以考虑四个大门的最后通过的人所花的时间相差最短时的时间就是六楼总体的疏散时间。也就是时间的方差最小，即四个时间与四个时间的平均时间之差的平方和最小，因为有未知参数的平方，所以对于这个问题我们可以用非线性规划的方法来求解。则目标函数为方差最小，约束条件为通过每个大门出口的人数总和为六层楼里的实际总人数，即5367人，还有人数的正约束，即人数应该都是整数。而在这里，我们可以根据（2）的方法求出人数与时间的关系，最后应用matlab软件求解得到结果。2.问题二的分析基于第一问的模型、结果，以及电梯每运输一趟所消耗的时间，可以计算出有电梯之后的分配方案，考虑是否五楼也乘坐电梯，可以通过五楼到达电梯的时间及六楼第一个到达电梯的时间对比下，如果五楼到达电梯的时间大于六楼到达电梯的时间，则只需考虑六楼坐电梯；反之，则考虑五楼坐楼梯或两者均坐电梯。根据不同的楼层乘坐电梯 的方案计算出楼层的分配方案。通过与第一问的结果进行对比得出电梯运输的人数、时间。最后得出是否改变总方案，或许根本就不要用电梯逃生。调查或上网查资料关于赣州的地震情况，说明建立的模型是针对地震还是火灾等其它灾害的，来考虑主教的逃生方案。考虑灾难发生时人出主教多远才是安全的，即安全区。最后确定出逃生路线、区域。三、模型的假设1、假设学生都具有相同的疏散特征，且均具有足够的身体条件疏散到安全地点；2、假设学生都处于清醒状态，在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散，完全服从且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；3、任何个体均遵循普遍原则前进，不试图超越前方个体，亦不会留出过大间距。4、人在教室中均匀分布；5、在疏散过程中，学生人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配，即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配；6、第一个学生在不拥挤无阻碍的情况下，运动速度为3米/秒；7、学生从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变；8、每个学生所占的空间是相等的，不考虑高矮胖瘦；9、发生灾害要求疏散时每个教室都为满人，不考虑逃课、请假的情况；10、教学楼内安装有应急广播系统，但没有集中火灾报警系统；11、从发布疏散命令时刻起，当可用安全疏散时间小于必需安全疏散时间，为疏散失败。四、符号说明m: 人的肩宽：人的有效肩宽n: 人的身体厚度n：人的有效厚度:人体的投影有效面积D: 教室出口的宽度:教室出口的有限宽度S：教室面积a: 教室长度（长方形）b: 教室宽（长方形）c: 教室边长（六边形）：教室中的总人数n: 总人数(0.75m/s)d: 门的宽度或墙的厚度B：某一出口同时通过的排数：人在走廊中速度（1.25m/s）T：疏散的总时间Q：安全区的距离五、模型的建立与求解1.问题一的模型的建立与求解模型一（教室的疏散过程） 教室的紧急疏散情况非常复杂，很难对人群的个体特性进行一一考虑，而且在主教学楼的每个教室的人数相对较大、教室结果特殊，因此我们对教室环境做理想化处理，那我假设人群在教室等单位按照某一密度均匀分布，将人群疏散作为一个整体运动来处理。因为教室的使用率为95%，所以我们考虑一个平均效果，即每个教室的人数乘以95%为每个教室的实际人数。1.教室中的人流速度的分析与确定考虑到教室的人流速度与人群密度有密切关系，而人群密度，反映的是一个空间内人群的稠密程度，.人体投影面积，由人体各方向上的最大生理尺寸决定，常由肩宽m和胸厚度n决定，将人体抽象成矩形，为简便计算和实际应用，我们选取人体的矩形模型，此时人体水平投影面积S=mn,单位;根据参考文献，考虑到我国人口素质情况，取肩宽m=0.5m,身体厚度n=0.25m;另一方面，疏散行走时人的周围往往留有间隙，根据我国建筑设计资料集人活动空间尺度中的要求，行走时，人与人前后左右之间距离为40mm,我们规定人员行走水平投影有效面积为所以我们针对主教学楼不同类型的教室（A、B区，C区，D、E区与F区）作为以下分析 对于A、B区的教室，如图 教室的面积 教室的人数 人 对于C区的教室 教室的面积 教室的人数 人群密度 人/ 对于D、E区 教室的面积： 教室总人数： 人人群密度 ： 人/m 对于F区教室的面积： 教室的人数 人群密度 ： 对以上四个类型的教室的相关系数，予以下面表格数据汇总：教室类型A、B区C区D、E区F区面积S()63.54118.37189.93139.87人数74153221153人群密度1.1651.2931.1641.094对于教室内人流速度的确定参照下表所以我们取教室中人流的速度教室的出口是疏散的瓶颈，在出口处可能发生两种情况：堵塞、不堵塞。在不堵塞的情况下，我们把人流看作水流，有面积相等，经流体力学公式得：则其中，为人体投影的有效面积，为教室中的人数，为出口的有效宽度，为教室中人流的速度。出口的有效宽度与人的肩宽以及人与人之间的间隙有关，所以我们认为与有关，即一个人通过所需宽度至少为。在堵塞的情况下，总时间可以等效于教室每一个人通过长度为门宽时所用时间的总和除以每个教室出口能通过的人的排数，即其中，为墙的厚度，B为某一出口同时通过的人的排数，经测量墙的厚度。 对于A、B区教室不堵塞情形：堵塞情形： 对于C区教室不堵塞情形：堵塞情形： 对于D、E区教室不堵塞情形：堵塞情形： 对于F区教室不堵塞情形：堵塞情形：对于以上四个类型教室的疏散时间进行以下表格汇总：教室类型A、B区C区D、E区F区不堵塞时间14.3129.5821.3619.72堵塞时间14.830.622.120.4疏散时间14.830.622.120.4当时，教室疏散过程为不堵塞情形，取教室疏散所花总时间。当时，教室疏散过程为堵塞情形，取教室疏散所花总时间。在教室疏散中，通过对数据的比较，我们可以得出，在教室疏散的过程是堵塞的，所以我们取堵塞的时间。由于我们要求4个区域的教室都疏散完，所以取最长时间，则模型二（一楼走廊疏散过程）在主教学楼中，一共有4个出口，即E、F区之间的朝北大门（M）、南大门（M）、正对南大门（M）的后门和北大门（M）。忽略第一个人出教室的时间。下面计算出每个门口的通过人数： 由于教室到门口有一定的距离，则消耗的一定的时间到达门口。由于A、F区的大门不考虑，所以考虑到F区会有一部分会通过M2、M3出去，A区所有人通过门口的时间为s, 经测量，F区教室门口到A区门口的路程大致为8米左右，则F区教室门口到A区门口的时间38.5 s，即F区通过的时候会有等待时间，所以计算通过门的人数时可以不考虑距离问题。经测量M可通过128/542=4排人，M可通过163/54=3排人，M可通过165/54=3排人，M可通过165/54=3排人。针对每个门口单位排数通过的人数相等来建立模型。建立如下模型：1） 一楼 解得 （其中：x为F区分配到M的人数，y为B区分配到M、M的人数，把D、E区当做一个整体来讨论）由上面的结果可知，通过M的人数为：442-162=280人，通过M、M的人数为：148+153+162-44=419 人，通过M的人数为：152+222+44=418 人；其中D、E区分配162人至M、M，A区分配44人至M。2） 二楼由于DE区楼梯可通过人的排数为270/54=5排;AF区课通过的人的排数为 123/54=2排; AB区楼梯可通过人的排数为 164/54=3排；BC区楼梯可通过人的排数为 135/54=2排；则 建立如下方程： 解得 （其中:x为F区分配到楼梯1（D、E区楼梯）的人数，y为A区分配到楼梯2（AF区之间）的人数，z为B区分配到楼梯3（AB区之间）的人数）即：通过楼梯1 的人数为：442+55=497 人，通过楼梯2的人数为：153+100-55=198 人，通过楼梯3的人数为148+250-100=298 人，通过楼梯4的人数为;153+74-250=199人。则D、E区的均向楼梯1通过，F区向楼梯2分配100人、向楼梯2分配98人，A区向楼梯2分配100人，向楼梯3分配48人，B区向楼梯3分配250人，向楼梯4分配48人，C区均分配到楼梯4.3) 三楼 解得 （其中:x为F区分配到楼梯1的人数，y为A区分配到楼梯2的人数，z为B区分配到楼梯3的人数，此时C、D区无教室）即:E区均分配到楼梯1疏散，F区向楼梯1分配151人，向楼梯2分配2人，A区向楼梯2分配146人、向楼梯3分配767人，B区向楼梯3分配147人，向楼梯4分配149人。以此类推可以得出四、五、六楼向楼梯的分配情况，最后得出：通过4个门的人数为：M=1466 人；M=905人；M=1185人；M=1811人。通过上述模型的数据我们就可以得出每层的教室的分配情况，通过分配情况，我们可以知道疏散的路线。模型三（楼梯与走廊的疏散过程）通过对模型二的计算与分析，我们可知在每一层的疏散过程中，上一层楼的人都会在楼梯处等待下一层人的疏散，即有等待时间。但是，上一层楼人的等待时间可以归于下一层楼的疏散时间中，所以，我们可以从总体上考虑这六层楼人的疏散过程。大门的一扇门的宽度为，经测量得：，通过走廊的速度，大门能通过人的排数为，则,，由模型二可知，人流通过大门的时间：。六层楼的总人数。考虑疏散时间最短时，在从四个大门出去的最后一人通过大门的时间应几乎相等。所以，我们建立以下非线性规划模型。设通过大门的总人数为，则： 由Matlab编程解得（附录1）：所以， 则：全部人通过门口的时间为205.32 s.通过这三个模型的结果可以得出，将所有教室的所有学生疏散到教学主楼大门外的时间为疏散出教室的时间30.7s加上从教室门口疏散到教学主楼大门外的时间205.32s，即得出总的疏散出教学主楼的时间为236.02s2.问题二的模型建立与求解:i).使用电梯后经测定,每次只能载10人,且每次运输10人的时间为37.2s,通过问题一可以得出疏散总时间为 236.02s，相当于可以乘坐6次电梯的时间，可运输60(74)个人，由于5楼到电梯的时间大于6楼B区605教室第一个人到达电梯的时间，若5楼上楼坐电梯，就会产生堵塞现象；另一方面，6楼有一部分人也要下5楼，所以最后通过电梯运输的人为B区605教室的60个人，此时，6楼的分配如下：解得： （其中为B区分配到楼梯4的人数，此时，6楼只有B区）即：B区分别向楼梯3、楼梯4分配的人数142、94人；其它楼层的分配方案不变。由于6楼60个人到达1楼仍处于等待状态，只是分配方案、出去的顺序发生改变，但总的时间仍然不会改变。ii).撤离集散地的选择由于赣州历史上很少发生地震，所以不考虑发生地震的情况，只考虑发生火灾的情况。由于火灾的发生，我们考虑安全区的距离为Q（1） 当Q=50时，我们考虑把人群疏散到田径场、北区足球场、行政大楼门前。 六、 模型的验证问题一：对于问题一的结果为236.02s，平时在主教楼上课的时候，课间10分钟有下课与下课的人群，他们会在楼梯、大门口和教师门口堵塞，但一般可以在课间10分钟全部疏散，由于在上下楼的堵塞，会影响下楼梯的排数及人数，最终会影响到总时间，而在问题一中求的结果为236.02s因为上下楼梯就消耗了大量的时间，再加上合理的分配，就可以减少时间，所以结果合理。问题二基于对第一问的结果，考虑到坐电梯麻烦且时间长，经计算可知，只需分配6楼的人去坐电梯，其它楼层的分配方案不改变，且下楼还是在等待，只是出去的顺序发生改变，时间不改变。七、模型的评价优点：1. 本文的模型采用MATLAB软件或LINGO软件进行求解，计算出来的值的精确度和稳定性都较高；2. 本文把各楼层的阻塞时间转化为各个楼层的人通过门口的时间，起到了简化计算过程的优点；3. 本文的模型在建立模型时，忽略了一些影响因素，是模型得到了简化；4. 测量了主教学楼的一些实际数据，对于解决问题取到了良好的效果；5. 采用非线性规划方法，使计算过程得到简化；缺点： 模型建立时，忽略了一些影响因素，在实际情况中可能存在一定的误差。 在模型的计算时，没有考虑人在紧急事件发生时的反应时间。改进：解题时，在考虑到不同疏散位置的对应的速度时，没有权威的参考文献，实际速度参数都是参照其它疏散模型及实际生活中而得出的，所以应该参阅更有权威性的资料；没有考虑到人在紧