高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课后习题 新人教A版选修21.doc

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时演练促提升a组1.下列说法中正确的是()a.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底b.不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底c.单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直d.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底解析:单位正交基底中的三个向量必须是模等于1,且两两垂直,因此只有选项c正确.答案:c2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c,其中可以作为空间一个基底的向量组有()a.1个b.2个c.3个d.4个解析:如图,令a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b+c=.由a,b1,c,d1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选c.答案:c3.已知空间四边形oabc,m,n分别是oa,bc的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为()a.a+b+cb.a-b+cc.-a+b+cd.-a+b-c解析:如图,b+c-a=-a+b+c.答案:c4.已知向量p在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底i,j,k下的坐标是()a.(12,14,10)b.(10,12,14)c.(14,12,10)d.(4,3,2)解析:=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:a5.设oabc是四面体,g1是abc的重心,g是og1上的一点,且og=3gg1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()a.b.c.d.解析:如图,由已知=)=)=()+()=,从而x=y=z=.答案:a6.设命题p:a,b,c为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则命题p是q的条件.解析:若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面.故a,b,c中一定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底.答案:充分不必要7.在正方体abcd-a1b1c1d1中,设=a,=b,=c,a1c1与b1d1的交点为e,则=.解析:如图,)=)=-a+b+c.答案:-a+b+c8.已知i,j,k是空间直角坐标系oxyz的坐标向量,并且=-i+j-k,=3i-2j-4k,那么的坐标为.解析:因为=(-i+j-k)-(3i-2j-4k)=-4i+3j+3k,所以=(-4,3,3).答案:(-4,3,3)9.如图,四棱锥p-oabc的底面为一矩形,设=a,=b,=c,e,f分别是pc和pb的中点,用a,b,c表示.解:)=)=-a-b+c.=-=-)=-a-b+c.10.已知abcd-a1b1c1d1是棱长为2的正方体,e,f分别是bb1和dc的中点,试找出空间的一个基底,并写出向量在此基底下的坐标.解:易知为空间的一个基底.=-,所以的坐标为.=-,所以的坐标为.,所以的坐标为.b组1.在正三棱柱abc-a1b1c1中,已知abc的边长为1,三棱柱的高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量对应坐标正确的是()a.=(0,0,-2)b.c.=(0,1,2)d.解析:设与方向相同的单位向量为i,j,k,则i,j,=2k,故=2k,从而=(0,0,2),故a不正确.i-j,即,故b不正确.j+2k,即,故c不正确.=-=-i-j+2k,即,故d正确.答案:d2.三棱锥p-abc中,abc为直角,pb平面abc,ab=bc=pb=1,m为pc的中点,n为ac的中点,以为基底,则的坐标为.解析:如图,)-)=,故.答案:3.如图,已知pa垂直于正方形abcd所在的平面,m,n分别是ab,pc的中点,并且pa=ad=1,建立适当的坐标系,并写出的坐标.解:pa=ad=ab,pa平面ac,adab,可设=e1,=e2,=e3.以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系,如图.=)=-e2+e3+(-e3-e1+e2)=-e1+e3,=(0,1,0).4.已知e1,e2,e3为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.(1)判断p,a,b,c四点是否共面;(2)能否以作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.解:(1)假设四点共面,则存在实数x,y,z使=x+y+z,且x+y+z=1,即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得与x+y+z=1矛盾,故四点不共面.(2)若向量共面,则存在实数m,n