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第五节 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 平面及其方程 第七章 一 平面的点法式方程 一 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称 式为平面 的点法式方程 求该平面 的方程 法向量 量 则有 故 例1 求过点 2 3 0 且以n 1 2 3 为法向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 1 可得平面方程为 1 x 2 2 y 3 3 z 0 0 即 x 2y 3z 8 0 例2 求过三点 即 解 取该平面的法向量为 的平面的方程 利用点法式得平面 的方程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 过三点 的平面方程为 说明 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 二 平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程 与此点法式方程等价 的平面 因此方程 的图形是 法向量为 方程 特殊情形 当D 0时 Ax By Cz 0表示 通过原点的平面 当A 0时 By Cz D 0的法向量 平面平行于x轴 Ax Cz D 0表示 Ax By D 0表示 Cz D 0表示 Ax D 0表示 By D 0表示 平行于y轴的平面 平行于z轴的平面 平行于xoy面的平面 平行于yoz面的平面 平行于zox面的平面 例3 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 解 因平面通过x轴 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简 得所求平面方程 例4 设平面与x y z轴的交点依次为P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 三点 求这平面的方程 解 设所求平面的方程为 Ax By Cz D 0 因P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 三点都在这平面上 于是 aA D 0bB D 0cC D 0 所求平面的方程为 即 3 解得 此方程称为平面的截距式方程 三 两平面的夹角 设平面 1的法向量为 平面 2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 两平面法向量的夹角 常为锐角 称为两平面的夹角 即 特别有下列结论 规定 若比例式中某个分母为0 则相应的分子也为0 例5研究以下各组里两平面的位置关系 解 两平面相交 夹角 两平面平行 两平面平行但不重合 两平面平行 两平面重合 例6 求两平面x y 2z 6 0和2x y z 5 0的夹角 解 由公式有 因此 所求夹角 因此有 例7 一平面通过两点 垂直于平面 x y z 0 求其方程 解 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 解 点到平面距离公式 例如 求点A 1 2 1 到平面 x 2y 2z 10 0的距离 内容小结 1 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 2 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 作业P3301 2 6
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