高考数学 第六章 第七节 数学归纳法课件 理 新人教A版.ppt

第七节数学归纳法 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 证明当n取 时命题成立 这一步是归纳奠基 2 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 这一步是归纳递推 完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 第一个值n0 n0 n n k 1 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 解析 1 错误 用数学归纳法证明时 第一步是验证当n取第一个可取值时结论成立 第一个可取值不一定是1 2 错误 例如 证明等式时 也可直接运用等比数列的求和公式证明 3 错误 用数学归纳法证明问题时 归纳假设必须用上 否则就不是用数学归纳法证明 4 错误 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时项数不一定都增加了一项 5 正确 当n 1时左边式子一共有4项 为1 2 22 23 答案 1 2 3 4 5 1 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 时 第一步应验证当n取何值时成立 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选c 由已知条件n 3 n n知 应验证当n 3时不等式成立 2 若则f 1 为 a 1 b c 1 d 解析 选d f 1 3 用数学归纳法证明 时 在第二步证明从n k到n k 1成立时 左边增加的项数是 a 2k b 2k 1 c 2k 1 d 2k 1 解析 选a 增加的项数为 2k 1 1 2k 1 2k 故选a 4 用数学归纳法证明等式 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 由n k到n k 1时 等式左边的变化是 a 多乘了 2k 1 b 多乘了2 2k 1 c 多乘了 2k 1 2k 2 d 多乘了2 k 1 解析 选b 当n k时 左边 k 1 k 2 k k 当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 k 1 k 2 k k k 1 k 2 k k 2 2k 1 所以多乘了2 2k 1 5 在数列 an 中 a1 且sn n 2n 1 an 通过求a2 a3 a4 猜想an的表达式 其结果是 解析 由a1 且sn n 2n 1 an得 a2 a3 a4 而可得答案 考向1用数学归纳法证明等式 典例1 2012 天津高考 已知 an 是等差数列 其前n项和为sn bn 是等比数列 且a1 b1 2 a4 b4 27 s4 b4 10 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记tn anb1 an 1b2 a1bn n n 证明tn 12 2an 10bn n n 思路点拨 1 第一问可分别求出公差和公比即得通项公式 2 第二问可用数学归纳法证明等式成立 规范解答 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由a1 b1 2 得a4 2 3d b4 2q3 s4 8 6d 由条件得方程组 an 3n 1 bn 2n n n 2 下面用数学归纳法证明等式tn 12 2an 10bn n n 成立 当n 1时 t1 12 a1b1 12 16 而 2a1 10b1 16 故等式成立 假设当n k k 1 且k n 时等式成立 即tk 12 2ak 10bk 则当n k 1时有 tk 1 ak 1b1 akb2 ak 1b3 a1bk 1 ak 1b1 q akb1 ak 1b2 a1bk ak 1b1 qtk ak 1b1 q 2ak 10bk 12 2ak 1 4 ak 1 3 10bk 1 24 2ak 1 10bk 1 12 即tk 1 12 2ak 1 10bk 1 因此n k 1时等式也成立 由 和 可知 对任意n n tn 12 2an 10bn n n 成立 拓展提升 用数学归纳法证明等式的注意点 1 明确等式两边项的构成规律 弄清由n k到n k 1时左边的项是如何变化的 由此明确变形的目标 2 注意合理利用恒等变形的常用方法 例如 因式分解 添拆项 配方等 变式训练 是否存在常数a b c 使等式1 22 2 32 n n 1 2 an2 bn c 对一切正整数n都成立 证明你的结论 解析 把n 1 2 3代入等式得方程组解得猜想 等式1 22 2 32 n n 1 2 3n2 11n 10 对一切n n 都成立 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 由上面可知等式成立 2 假设n k k 1 k n 时等式成立 即1 22 2 32 k k 1 2 3k2 11k 10 则当n k 1时 1 22 2 32 k k 1 2 k 1 k 2 2 3k2 11k 10 k 1 k 2 2 3k 5 k 2 k 1 k 2 2 当n k 1时 等式也成立 综合 1 2 对n n 等式都成立 考向2用数学归纳法证明不等式 典例2 由下列不等式 你能得到一个怎样的一般不等式 并加以证明 思路点拨 观察所给出的不等式 其左边是若干个分式相加 分子都是1 分母由1开始 每一项比前一项大1 最后一项是2n 1 因此左边的式子为不等式的右边是一个分数 依次为由此可得到一般的不等式 证明可采用数学归纳法 规范解答 根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式 即一般不等式为用数学归纳法证明如下 1 当n 1时 1 猜想成立 2 假设当n k k 1 k n 时 猜想成立 即则当n k 1时 即当n k 1时 猜想也成立 所以对任意的n n 不等式都成立 拓展提升 用数学归纳法证明不等式的注意问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 作差 作商 比较法 放缩法等证明 变式训练 求证 证明 1 当n 2时 左边不等式成立 2 假设n k k 2 k n 时命题成立 即则当n k 1时 当n k 1时不等式亦成立 原不等式对一切n 2 n n 均成立 备选考向 归纳 猜想 证明 典例 在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 2 2n n n 0 1 求a2 a3 a4 2 猜想 an 的通项公式 并加以证明 思路点拨 利用递推公式将n 1 2 3代入即可求得a2 a3 a4 然后再用数学归纳法证明猜想成立 规范解答 1 a2 2 2 2 2 2 22 a3 2 22 3 2 22 2 3 23 a4 2 3 23 4 2 23 3 4 24 2 由 1 可猜想数列通项公式为 an n 1 n 2n 下面用数学归纳法证明 当n 1时 a1 2 等式成立 假设当n k k 1 k n 时等式成立 即ak k 1 k 2k 那么当n k 1时 ak 1 ak k 1 2 2k k 1 k 2k k 1 2k 1 2k k 1 1 k 1 2k 1 即当n k 1时等式也成立 根据 和 可知 等式对任何n n 都成立 拓展提升 解 归纳 猜想 证明 题的关键环节 1 准确计算出前若干具体项 这是归纳 猜想的基础 2 通过观察 分析 比较 联想 猜想出一般结论 3 对一般结论用数学归纳法进行证明 变式训练 数列 an 中 求a3 a4 猜想an的表达式 并用数学归纳法证明你的猜想 解析 因为a1 1 a2 且所以同理可求得归纳猜想下面用数学归纳法证明猜想正确 1 当n 1时 易知猜想正确 2 假设当n k k 1 k n 时 猜想正确 即那么当n k 1时 即当n k 1时 猜想也正确 由 1 2 可知 猜想对任意正整数都正确 备选考向 用数学归纳法证明整除问题 典例 用数学归纳法证明 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 思路点拨 在第二步证明中 注意利用归纳假设 对n k 1时的式子进行合理变形 规范解答 1 当n 1时 3 1 1 7 1 27能被9整除 命题成立 2 假设当n k k n k 1 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 则当n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 7k 1 1 3 7k 1 3k 1 7k 1 6 3k 1 7k 3 7k 1 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k 由于 3k 1 7k 1和9 2k 3 7k都能被9整除 所以 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k能被9整除 即当n k 1时 命题也成立 故 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 拓展提升 证明整除问题的关键 凑项 证明整除问题的关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 将n k 1时的式子凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 变式训练 用数学归纳法证明42n 1 3n 2能被13整除 其中n为正整数 证明 1 当n 1时 42 1 1 31 2 91能被13整除 2 假设当n k k 1 k n 时 42k 1 3k 2能被13整除 则当n k 1时 方法一 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 42 k 1 1 3k 3能被13整除 方法二 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 42 3k 2 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 13 42k 1 13能被13整除 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 能被13整除 即42 k 1 1 3k 3能被13整除 当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对任意n n 42n 1 3n 2都能被13整除 易错误区 未运用归纳假设致误 典例 用数学归纳法证明 误区警示 本题错误在于证明当n k 1等式也成立这一步骤时 没有运用归纳假设 而是直接利用等比数列的前n项和公式求得这是错误的 规范解答 当n 1时 左边 右边等式成立 假设当n k k 1 k n 时 等式成立 即则当n k 1时 即当n k 1时 等式也成立 由 知 等式对n n 成立 思考点评 数学归纳法证题的关注点在运用数学归纳法证明问题时 两个步骤缺一不可 尤其是在证明第二步时 一定要运用归纳假设 即运用当n k时得到的结论 去证明当n k 1时命题的正确性 否则 若没有运用归纳假设 即使证明出当n k 1时结论成立 也不是利用数学归纳法证明问题 这种证法是错误的 1 2013 广州模拟 用数学归纳法证明1 2 3 n2 则当n k 1时左端应在n k的基础上加上式子 a k2 1 b k 1 2 c d k2 1 k2 2 k 1 2 解析 选d 当n k时 左端 1 2 3 k2 当n k 1时 左端 1 2 k2 k2 1 k2 2 k 1 2 因此应在n k的基础上加上式子 k2 1 k2 2 k 1 2 2 2013 九江模拟 用数学归纳法证明34n 1 52n 1 n n 能被8整除时 当n k 1时 对于34 k 1 1 52 k 1 1可变形为 a 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 b 34 34k 1 52 52k c 34k 1 52k 1 d 25 34k 1 52k 1 解析 选a 当n k时 34k 1 52k 1能被8整除 那么当n k 1时 34k 5 52k 3 52 34k 1 52k 1 52 34k 1 34k 5 34 52 34k 1 52 34k 1 52k 1 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 故选a 3 2013 江门模拟 凸n边形有f n 条对角线 凸 n 1 边形有f n 1 条对角线 则 a f n 1 f n n 1 b f n 1 f n n c f n 1 f n n 1 d f n 1 f n n 2 解析 选c 凸n边形有f n 条对角线 当边数增加1时 所得凸 n 1 边形的对角线由三部分构成 原来的f n 条 原来的一条边变成了对角线 新增加的顶点和原来的 n 2 个顶点构成 n 2 条对角线 所以凸 n 1 边形有对角线f n 1 f n 1 n 2 f n n 1 条 1 已知f n 12 22 32 2n 2 则f k 1 与f k 的关系是 a f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 b f k 1 f k k 1 2 c f k 1 f k 2k 2 2 d f k 1 f k 2k 1 2 解析 选