高考数学 第六章 第六节 直接证明与间接证明课件 理 新人教A版.ppt

第六节直接证明与间接证明 1 直接证明 所要 证明的结论成立 结论 充分条件 2 间接证明 1 反证法的定义假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 的证明方法 2 利用反证法证题的步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 由假设出发进行正确的推理 直到推出矛盾为止 由矛盾断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 简言之 否定 归谬 断言 假设错误 原命题成立 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 6 证明不等式最合适的方法是分析法 解析 1 错误 综合法和分析法都是直接证明的方法 2 错误 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充分条件 不必是充要条件 3 错误 应假设 a b 4 错误 反证法只是将结论进行否定 然后将这个反设作为条件 推出矛盾 5 正确 用分析法可以发现解决问题的思路 然后用综合法写出证明的步骤 6 正确 欲证的不等式两边都含有根号 且都大于0 因此可用分析法 通过平方等逐步寻求使其成立的条件 答案 1 2 3 4 5 6 1 若a b 0 则下列不等式中成立的是 a b c d 解析 选c a b 0 又b a 2 用分析法证明 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 a 充分条件 b 必要条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立 即 所以 是 的必要条件 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60 时 假设正确的是 a 假设三内角都不大于60 b 假设三内角都大于60 c 假设三内角至多有一个大于60 d 假设三内角至多有两个大于60 解析 选b 至少有一个不大于 的否定为 都大于 4 已知a b x均为正数 且a b 则与的大小关系是 解析 答案 5 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 2 2 a2 b2 2 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件的是 填上序号 解析 取a 2 b 1 则a2 b2 2 从而 2 推不出结论 1 能够推出结论 即若a b 2 则a b中至少有一个大于1 可用反证法证明如下 假设a 1 且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 即a b中至少有一个大于1 答案 1 考向1综合法的应用 典例1 2013 南昌模拟 对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足以下三条 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 试判断g x 2x 1 x 0 1 是否为理想函数 如果是 请予证明 如果不是 请说明理由 思路点拨 根据理想函数的定义 分析判断g x 是否满足理想函数的三个条件即可 规范解答 g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 证明如下 因为x 0 1 所以2x 1 2x 1 0 即对任意x 0 1 总有g x 0 满足条件 g 1 21 1 2 1 1 满足条件 当x1 0 x2 0 x1 x2 1时 于是g x1 x2 g x1 g x2 由于x1 0 x2 0 所以 于是g x1 x2 g x1 g x2 0 因此g x1 x2 g x1 g x2 满足条件 故函数g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 互动探究 本例中条件不变 问题变为 若函数f x 是理想函数 证明f 0 0 如何求解 证明 令x1 x2 0 则满足x1 0 x2 0 x1 x2 1 于是有f 0 0 f 0 f 0 得f 0 0 又由条件 知f 0 0 故必有f 0 0 拓展提升 综合法证题的思路 变式备选 设a 0 b 0 a b 1 求证 证明 方法一 a 0 b 0 a b 1 又当且仅当a b 时取等号 ab 方法二 a b 1 故 等号成立的条件是a b 考向2分析法的应用 典例2 已知函数f x 3x 2x 求证 对于任意的x1 x2 r 均有 思路点拨 用分析法证明 从要证明的不等式出发 将其逐步简化 直至得出明显成立的不等式 规范解答 要证明即证明因此只要证明即证明因此只要证明 由于x1 x2 r时 由基本不等式知显然成立 故原结论成立 拓展提升 分析法证题的技巧 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法由条件证明这个中间结论 从而使原命题得证 变式训练 已知a 0 求证 证明 要证只要证 a 0 故只要证即从而只要证只要证 即而该不等式显然成立 故原不等式成立 考向3反证法的应用 典例3 2013 广州模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 2 1 求数列 an 的通项公式 2 求证数列 an 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列 思路点拨 第 1 问利用sn与an的递推关系求通项 第 2 问利用反证法证明 规范解答 1 当n 1时 a1 s1 2a1 2 则a1 1 又an sn 2 an 1 sn 1 2 两式相减得an 1 an an 是首项为1 公比为的等比数列 an 2 反证法 假设存在三项按原来顺序成等差数列 记为ap 1 aq 1 ar 1 p q r 则 2 2r q 2r p 1 又 p q r r q r p n 式左边是偶数 右边是奇数 等式不成立 假设不成立 原命题得证 拓展提升 适合用反证法证明的六类问题适合用反证法证明的题型有 1 易导出与已知矛盾的命题 2 否定性命题 3 唯一性命题 4 至多 至少型命题 5 一些基本定理 6 必然性命题等 变式训练 已知非零实数a b c构成公差不为0的等差数列 求证 不能构成等差数列 证明 假设能构成等差数列 则由于是得bc ab 2ac 而由于a b c构成等差数列 即2b a c 所以 a c 2 4ac 即 a c 2 0 于是得a b c 这与a b c构成公差不为0的等差数列矛盾 故假设不成立 因此不能构成等差数列 满分指导 分析法与综合法的综合应用 典例 14分 2013 长沙模拟 已知函数f x ln x 2 a b c是两两不相等的正实数 且a b c成等比数列 试判断f a f c 与2f b 的大小关系 并证明你的结论 思路点拨 规范解答 f a f c 2f b 2分证明如下 因为a b c是两两不相等的正实数 所以由基本不等式可得a c 2 4分又因为a b c成等比数列 所以b2 ac 于是a c 2 2b 8分而f a f c ln a 2 c 2 ln ac 2 a c 4 2f b 2ln b 2 ln b2 4b 4 10分 由于ac 2 a c 4 b2 2 a c 4 b2 4b 4 且函数f x ln x 2 是单调递增函数 12分因此ln ac 2 a c 4 ln b2 4b 4 故f a f c 2f b 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 上海模拟 a 是 对任意正数x 均有x 1 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 当x 0时 x 令 1解得a 因此当a 时 必有 对任意正数x 均有x 1 反之不成立 所以是充分不必要条件 2 2013 韶关模拟 用反证法证明命题 若a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应该是 a a b都能被5整除 b a b都不能被5整除 c a b不都能被5整除 d a能被5整除 解析 选b a b中至少有一个能被5整除 的否定是 a b都不能被5整除 3 2013 汕头模拟 有下列条件 ab 0 ab 0 a 0 b 0 a 0 b 0 其中能使 2成立的条件的个数是 解析 要使 2 只要 0且 0 即a b不为0且同号即可 故有3个 答案 3 4 2013 宁德模拟 设函数f x 定义在 0 上 f 1 0 导函数f x g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 2 是否存在x0 0 使得 g x g x0 0成立 若存在 求出x0的取值范围 若不存在 请说明理由 解析 1 由题设易知f x lnx g x lnx g x 令g x 0得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调递增区间 因此x 1是g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 2 满足条件的x0不存在 理由如下 假设存在x0 0 使得 g x g x0 0成立 即对任意x 0 有lnx0 使得 g x g x0 0成立 1 已知集合p 1 4 9 16 25 若当a p b p时 有a b p 那么运算 可能是实数四则运算