高中数学复数的概念与运算的考点解析及例题辅导.doc

复数的概念与运算知识点归纳 1虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2 与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数05复数集与其它数集之间的关系：NZQRC6 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小也只有当两个复数全是实数时才能比较大小7 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i9 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i10 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z111 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)12乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数13乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z314除法运算规则：15*共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z=a+bi和=abi(a、bR)互为共轭复数16 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量 17复数减法的几何意义：两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应18复数的模：题型讲解 例1 计算解：例2计算解：例3 在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）A B C D解：可用直推法， 且且m(3,4) 故选D例4 已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设z=x+yi(x、yR)，z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=2=(x2i)(2+i)=(2x+2)+ (x4)i由题意得x=4，z=42i(z+ai)2=(12+4aa2)+8(a2)i，根据条件，已知解得2a6，实数a的取值范围是(2，6)例5 设aR,zC,满足(z2a2)/(z2+a2)是纯虚数，求x,y应满足的条件解：设(z2a2)/(z2+a2)=ki(kR,k0) 则z2a2=ki(z2+a2)z2(1ki)=a2(1+ki), (x2y2+2xyi)(1ki)=a2+a2ki,消去参数k即得：x2+y2=a2,点评： (1)纯虚数的概念; (2)虚部的概念; (3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,bR);(4)若两个复数能比较大小，则它们都是实数 (5) 实轴和虚轴的概念例6 设复数z=lg（m22m2）（m23m2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限剖析：利用复数的有关概念易求得解：(1)由lg（m22m2）=，m23m2，得m=3(2)由m23m2=，得m=1或m=2(3)由 lg（m22m2），m23m2，得1m1或1m3点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样例7 设zC，求满足z+R且|z2|=2的复数z分析：设z=a+bi(a、bR)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程解法一：设z=a+bi，则z+=a+bi+=a+bi+=a+(b)iRb=b=0或a2+b2=1当b=0时，z=a，|a2|=2a=0或4a=0不合题意舍去，z=4当b0时，a2+b2=1又|z2|=2，(a2)2+b2=4解得a=，b=，z=i综上，z=4或z=i解法二：z+R，z+ = +(z)=0，(z)=0z=或|z|=1，下同解法一点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化这些都是解决复数问题的常用方法例8 已知z1=x2+i，z2=(x2+a)i对于任意xR均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围分析：求出|z1|及|z2|，利用|z1|z2|问题转化为xR时不等式恒成立问题解：|z1|z2|，x4+x2+1(x2+a)2(12a)x2+(1a2)0对xR恒成立当12a=0，即a=时，不等式成立;当12a0时，1a综上，a(1，点评：本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围例9 设z是虚数，=z+是实数，且12（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数；（3）求u2的最小值（1）解：设z=a+bi(a、bR，b0)，则=a+bi+=(a+)+(b)i是实数，b0，a2+b2=1，即|z|=1=2a，12，z的实部的取值范围是(，1)（2）证明：u= =ia(，1)，b0，u为纯虚数（3）解：u2=2a+=2a+=2a=2a1+=2(a+1)+3a(，1)，a+10u2223=1当a+1=，即a=0时，上式取等号u2的最小值为1小结：1复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行2求解计算时，要充分利用i的性质计算问题3在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用4复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件练习 1数，则在复平面内的对应点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：D2已知，则在复平面上与对应的点所在的象限是()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案：B3已知复数对应的点位于复平面的虚轴上，则实数 为（） A 1 B 1或 2 C-1 D2答案：C4的值等于 （）A 1 B 1 C D 答案：C5 复平面内若复数 所对应的点在第二象限则实数的取值范围是（） 答案：C6已知是复数，以下四个结论正确的是（）若若，则若若，则向量仅正确仅正确正确仅正确答案：A7 i2的共轭复数是A2+i B2I C2+i D2i解析：由共轭复数的定义知选D答案：D8计算(2+i)+(3+i3)+(4+i5)+(5+i7)(其中i为虚数单位)的值是A10 B12 C14 D16解析：(2+i)+(3+i3)+(4+i5)+(5+i7)=2+3+4+5=14答案：C9设复数=+i，则1+等于A B2 C D解析：1+= +i=(i)=答案：C10复数z1=3+i，z2=1i，则z=z1z2在复平面内的对应点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：z=z1z2=(3+i)(1i)=42i答案：D11设x、yR，且=，则x+y=_解析：由已知得=，即5x2y+(5x4y)i=5+15i，x=1，y=5答案：612下列命题中：任意两个确定的复数都不能比较大小；若z